> Энциклопедический словарь Гранат, страница 15 > Алгебра

Алгебра

Алгебра, часть математики, задачи и границы которой различно определяются разными авторами; з особенности трудно отграничить А. от арифметики. Одни считают характерным для А. ея общие методы исследования, находящие себе выражение в буквенном обозначении изучаемых величин; на этой, в науке совершенно оставленной, точке зрения стоит и по настоящее время наша школьная А. Между тем, это определение не только не устанавливает вовсе содержания А., но и не отмежевывает ея ни от арифметики, в научном изложении которой в настоящее время числа всегда также обозначаются буквами, ни от других частей анализа. Другие считают, что

А. начинается с введения отрицательных чисел; в согласии с этим установилось даже название „алгебраической суммы“ для результата последовательного производства ряда сложений и вычитаний. Третьи определяют А., как науку об уравнениях; хотя эта последняя точка зрения имеет за себя многое, так как учение об уравнениях несомненно составляет основание и важнейшую часть А., она все-таки недостаточно правильна уже потому, что не всякое уравнение относится к области А. Наиболее установившаяся в настоящее время в науке точка зрения заключается в следующем. Изучением чисел (всяких—положительных и отрицательных, рациональных и иррациональных, вещественных и мнимых) и действий, над ними производимых, занимается арифметика. Изучению переменных величин и числовых зависимостей, которыми эти величинымогут быть связаны, посвящены остальные, высшия отрасли математического анализа. Отдельные его дисциплины отличаются одна от другой характером изучаемых зависимостей (функций) и проблемами, составляющими предмет изучения этих зависимостей. Наиболее простой вид зависимости, связывающей переменную в с переменной х, заключается в том, что значения первой определяются по значениям последней выражением вида:

в=аха- -bхй~5+czn~2+ .. .+кх +1 (1), где а, b, с,..Л суть заданные количества. Вряд ли будет преувеличением сказать, что изучение всевозможных однозначных аналитических зависимостей (однозначных функций) в конечном счете приводится к изучению выражений вида (1). Это выражение представляет собой, как мы видим, сумму определенного числа членов, каждый из которых имеетвид дх, где показатель г есть целое число. Если переменная в зависит не от одной, а от нескольких переменных х, у, z, то простейший вид зависимости аналогичным образом выражается суммой членов видадху z h- Изучение этого рода выражений и составляет предмет А., так что самия эти выражения называются целыми алгебраическими функциями (смотрите функция). Задача этого изучения заключается, главным образом, в том, чтобы определить, можно ли переменной [в случае выражения (1)} или переменным (если их несколько) дать такие значения, чтобы данное выражение (функция) приняло наперед заданное значение, и если можно, то каковы эти значения переменных. Мы приходим таким образом к уравнениям, решение которых действительно составляет главную задачу А., но изложенные соображения устанавливают, какие собственно уравнения относятся к области А.

Изучение алгебраических выражений (функций) и решение алгебраических уравнений черезвычайно облегчается, если переменные обозначены буквами и действия над ними—знаками. Эти ;обозначения действительно установились на пути алгебраических исследований, чем и объясняется указанная выше первая точка зрения на А.; но этот символизм вырабатывался черезвычайно медленно. Известный историк математики Несельман, имея в виду промежуточные стадии, отличает три типа А.: 1) риторическая А., в которой нет никаких символов, а все выражается словами; 2) синкопированная А., в которой все задачи и предложения тоже выражаются словами, но в тексте изложения часто повторяющиеся термины обозначаются значками, представляющими сокращения соответствующих названий (сохранившееся у нас обозначение логарифма loga;, представляющее лишь сокращение самого этого слова, может служить отличным примером синкопированного обозначения); 3) символическая А., в которой все величины и операции выражаются разработанной системой символов, совершенно не зависящей от какого-либо устного их выражения.

Эволюция понятия о числе (введение отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных или мнимых чисел) происходила, главным образом, по запросам А., чем и объясняется указанная выше вторая точка зрения на А. Нужно однако сказать, что развитие А. и арифметики шло рука об руку.

В древнейшем математическом памятнике, в египетском папирусе Ахмеса (XYH — XVIII ст. до Р. X., см. Ахмес и арифметика), наряду с чисто арифметическими задачами, встречаются уже и такия, которые носят ясно выраженный характер уравнения. Ахмес называет неизвестную величину „Хау“, т. е. „куча“; вместе с тем у него встречаются такого рода задачи: куча, ея седьмая часть и еще одна куча составляют вместе 19; сколько составляет кучае Дальше этих простейших уравнений первой степени Ахмес не идет, и если он встречает затруднения при решении таких задач, то только со стороны арифметики (смотрите), точнее, со стороны счисления.

Греки, творцы геометрии и теоретической ачифметики, в эпоху расцвета не внесли в А. ничего. Уже в эпоху упадка, у Никомаха, Ямвлиха, Теона появляются задачи, которые сводятся к простейшим уравнениям первой степени. Но в конце Александрийского периода появляется однако черезвычайно замечательное сочинение александрийского математика (IV ст. по Р. X.) Диофанта, которое представляет собой трактат по А., сохранивший высокий интерес по этой день. Сочинение это состояло из 13 книг, из которых до нас дошли однако только первия 6.