> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Алгебра

Алгебра

Алгебра. Современная А. делится довольно резко на два больших отдела. j

I. Отдел, посвященный исследованию численных значений корней алгебраических уравнений, или, поскольку мы имеем дело с комплексными корнями, расположения этих корней на плоскости комплексного переменного. Этот отдел тесно соприкасается но мстодико с математическим анализом, и его методы сравнительно легко переносятся на изучение корней трансцендентных функций (смотрите функция), что, строго говоря, лежит вно пределов А. Основными задачами этого отдела являются: а) вычисление корней и Ь) отделение корпон.

А) Вычисление корней. Из известных способов приближенного вычисления корней мы остановимся только на одном способе, носящем назпаппе способа Графе (Griiffe), так как остальные способы (Ньютона, итсрацип, regula falsi и так далее) но имеют ничего специфического для А. и, кроме того, мепсс удобны практически, так как требуют предварительного отделения корней (сл«. II, 90/7).

Идея способа Грэфо принадлежит еще Д. Бернулли. Еще до Графе она получила некоторое развитио у И. И. Лобачевского. Графе принадлежит разработка практически удобного приема, который и свою очередь был усовершенствован Энке (Enclic).

Пусть дано алгебраическое уравпенио

f(x)=хп + щяр-1 + +

+ “и 1 + ал-9

(Б

«n-ой степени с всществеппыми коэффициентами. Известно, что такое уравнение имеет и корней xt, ж2,, хп и что полипом f(x) можно представить в следующем виде:

ствеино к |[, х1х2,, х1х2хл. Основанный па этом факте способ Графе заключается в том, что в качестве приближенных зпаченин для | ost |, | ж2 |,, j х„

f (х)=(ж — asj) (ж — Хо) (х — х„) (2).

Отсюда нетрудно получить следующие соотношения между коэффициентами икорпями,{см. функции симметрические, XLV, ч. 2,23):

Ж1 + х2 4“ + я’п=— я1»

1»2 + ж1з + ЭД + +

Ч“ я2>

xtx2.. .Хп_х + +

+ ж2ж;|..,хп=( — 1)”-Ч-1,

х х2..,хп=(—1 )пап.

Составим теперь выражение

h(x)=f( Vх) f (— Vх),

которое тоже является полиномом относительно х. Этот полипом имеет корнями величины X]2, х$,, х„а. Точно так л:е полином

fd)=h(Vx) f2{- Vx)

-имеот корнями величипы х, х2л,, ж„-Повторяя процесс дальше, мы придем к полиному

f2m ()= + Al(’“)xn~l 2 + -(-+ АГЬ + А„(“>,

имеющему корнями величины aе2m, сс$т,

2т

-

Теперь предположим, что всо корпи х х2,, хп различны по абсолютным зпачо-мпям и расположены в порядке убывающих полиции: | х, I > | ж21 >.. > | ж„. Тогда из легко получаемых формул

2’’ __

/ А,Г)1=

=|,„.у|1+(|Г++(Г|,

2т _

/ А2Г)1 =

i/ AJ“‘)=lxlx2xn

мы убедимся, что при достаточно большом т

2”>_ 2т__

величины /lAl(“‘)l, / А2(т)1,

2 w __

~l/ An{m) сколь угодно близки соотвот-

2т _

берут величины “

А2Г) |

МЛ1

Ап(т)

М„-1<т>Г

при достаточно боль

шом т. На практике для получения коэффициентов Atim) обыкновенно пользуются логарифмами, причем особенно удобно пользоваться Гауссовыми таблицами логарифмов сумм и разностей. Из хода вычислений бывает видпо, па каком значении т можно остановиться.

Если абсолютные значения некоторых корней равпы друг другу (что тоже обнаруживается при самом ходе вычислений), то необходимо несколько изменить прием. Это случится всегда, если среди корней есть мнимые.

Ь) Отделение корней. Этот отдел возпиге в силу необходимости для большинства методов приближенного вычисления корней их предварительного отделения, то есть нахождения таких интервалов, внутри калсдого из которых содержится по одному и только но одпому корню. В настоящее время способ Графе не требует такого отделения, по тем пе мепее задача отделения корней продол лсаст развиваться, совершенствуя свои методы и расширяя свою формулировку. Причиной этому служит, с одпой стороны, необходимость быстрой ориентировки в расположении корпей, а с другой — изучение целых классов уравнений, корни которых доллены быть определенным образом распо-лолсепы. Эта задача имеет большие приложения в техпико, например к вопросам устойчивости, в силу чего служит предметом усиленного пзучоппя.

Первоначальная задача отдолопия состоит в указании числа корпей, заключенных в заданном иптервале. Для рошепия этой задачи наиболее совершенным теоретически является метод Штурма (Sturm), состоящий в следующем: делят полином f(x) па его производную /(ж) и изменяют знак прп остатке / (ж). Затем делитель /(ж делят па остаток f (ж) и опять м зияют знак при остатке /3 (ж); далее делят t x) на f2(x), и так далее Получаемая так. обр. система функций f(x), /(ж), / (х), fm{x) носит назпапие ря а Штурма. Чтобы узнать, каково число корпей в иптервале (а, Ь), подставим зиа-чоняе ж=а во все функции штурмова ряда и выпишем подряд зпаки получаемых чисел. Если два стоящие рядом знака различны, будем говорить, что они образуют перемену. Если подсчитать число перемеиво всем ряду и проделать то же самое для значения х — b, то разность полученных тан. обр. чисел равна как раз числу корней уравнении f (х) — 0 в интервале (я, Ь).

Л. Ёропекср (Kroneoker) поставил более общую задачу: указать, сколько (комплексных) корней заданного уравнения ложпт внутри заданного контура. Для оо решения он предложил общин метод, носящий название метода характеристик и состоящий в следующем. Пусть дана система замкнутых кривых <р (//)=0, i|i (х,у)=0, f (х.у)=0. Будем обходить в определенном направлении (принято совершать обход в таком иапра-влепии, чтобы внутренность контура оставалась слева от направления обхода) кривую=0 и отмочить точки со пересечений с кривой <J>=0, различая точки входа во внутреннюю часть области, ограниченной кривой ф=0, и точки выхода. Разность между числом точек входа и точек выхода, расположенных внутри области, ограниченной кривой f — 0, называется характеристикой чашей системы кривых.— Число корней уравнения

F{x + гу)=о (х, у) + vl (х, y)z=0

вцутри кривой f(x,y)=0 равно характеристику системы кривых

¥=0, Ф=0, /=0.

А. Гурвиц (Hunvitz) прилоэкил метод характеристик к нахождению числа корней, имеющих отрицательные вещественные части. Для этого в качоство кривой f(x)=0 надо взять мвпмую ось х—0. Гурвиц выразил решение задачи в виде явных неравенств, имеющих место для некоторых определенным образом построенных определителей (смотрите). Эта задача возпикла при рошепии одного вопроса, связаппого о конструкцией турбпп (Стодола). Оиа была та клее рошона независимо Раутом (Routh).

13 настоящее время проблема Раута — Гурвица, а также родственная ей проблема определения числа корней впутри круга |л-|=1, рошаотся при помощи квадратичных форм и их пеносродствеииого обоб-щопия — эрмитовых форм. Под квадратичной формой разумеется однородная функция второй стопопи от многих поремонпых

<t, U,, tn: alft;tp гдо вещественныекоэффициенты a{j удовлетворяют усдоншо 0(,=e«. Наир., квадратичная форма от двух пероменпых имеет вид аи<,2 + 2а12«,<2 + + 022f22- Всякую квадратпчпую форму можпо представить, притом миогпмп способами, в виде суммы квадратов (о теми или другими знаками) от я или мопьшего числафункций первой степени. При этом, если форма представлена в виде суммы возможно мопьшего числа квадратов, то, каково бы ни было эго разложение, всегда число положительных и число отрицательных квадратов будет одним и том же (закон инерции).

Рассмотрим форму

(h + ж(2 + х(Ч3 + - + п~Ня)2,

где а.], ж2,, хп—корни нашего уравнения, a <j, t2, tn — пезавиеимыо перемоппыо. Ее коэффициентырацпопально выражаютсяче-рез коэффициенты нашего уравнопия, а число отрицательных квадратов рагшо числу пар его комплексных корней.

Непосредственным обобщением попятив квадратичной формы является эрмитова форма, т.-о. форма вида

2 a4xtj>

«V

где Xj символ для обозначения еопрязкенио-комплексной с Xj воличипы (то есть если Xj —=а + гР, то Xj=а—ф). Коэффициенты atj здесь, вообще говоря, комплексны и удовлетворяют условию aji — ajj. Эрмитову форму молено разлозкить на сумму квадратов абсолютных значений от некоторых линейных фупкцин, причем опять пыеот место закоп инерции.

М. Фудживара (Fujiwara) решил проблому Гурвица следующим образом. Пусть дано уравпопио f (аз)=а0 -{- atx апхп — 0.

Составим полипом

f (х) — ао— «,++ (—1)·апхп, а такжо выражоиие

K(f) — f 1 (У) — f (у) f (х) __

х — у

= 2 Анх‘Ук-

i,k

Замоияя в этом выражопии х1 через uL и ук через (—1)·м4, мы подучим эрмитовуформу в разложении которой

itk

число отрицатольпых квадратов равно числу тех корней уравнения / (ж“ — 0, которые пмоют положительные вещоствепиыо части. 13 случае чисто-мпимых корпей задача осложняется. Аналогично формулируется условие нахождения корпей уравпепия внутри круга.

II. Отдел, посвященный чисто-алгебраическому решению уравнений. Понятно «чисто-

11-U

Алгебраического» решения подвергалось в различные эпохи значительным изменениям. Первоначально под алгебраическим решеппем уравнений разумелось их решепие в радикалах. Лагранж (Lagrange) подверг (1771— 1772) критическому пересмотру все существовавшие до него способы решения уравнений в радикалах. При этом он первый воспользовался понятием подстановки, которое впоследствии сделалась фундамоптальпым в теории решения уравнений в радикалах. Вскоре (1799) II. Руффими (Ruffini) дал неполное и Н. Г. Абель (Abel) — полное доказательство невозможности решения уравнений выше 4-й степени в радикалах (1824). Но Абель рассматривал уравнения с бук-веппыми коэффициентами, по подчиненными никаким частным ограничениям. Вопрос лее о разрешимости каждого иидивидуальпо заданного уравнения был впервые поставлоп и разрешен гониальным французским математиком Э. Галуа (Galois), которому при-иадлслшт также первая четкая формулировка понятия группы, играющего основпую роль в вопросе о решении уравнений в радикалах (ем. II, 97).

А. Группы. В настоящее время под группой разумеется совокупность каких-пибудь предметов (пазываомых элементами группы; их природа пе определяется), если установлен закон, по которому каждым двум элементам Ап В группы, взятым в определенном порядке, одпозпачпо сопоставляется третий элемент, О. Это сопоставление обычно записывается в форме умножения: АВ= G. При этом доллены соблюдаться следующие условия:

a) имеет место ассоциативный закон:

(АВ) D — A (BD);

b) существует единица I, от умножения на которую любого элемента группы ятот элемент но меняется:

XI-=Х и IX — X;

c) каждому элементу А группы соответствует обратпый элемепт А~ для которого имеет место AA~i= I я А~Ы=I.

Коммутативпый закон: АВ=ВА, вообще говоря, не имеет места. То л:о группы, для которых он соблюдается, носят назвапио абелевых групп.

Если группа состоит из коночного числа элементов, то она называется конечной группой, а число ее элементов — порядком этой группы. В А. применяются, гл. обр., коночные группы. Примером конечпых групп могут служить группы подстановок, или субституций (смотрите), т.-о. операций персмо-щенпя нескольких цифр между собой. Капр.,

(1 9 з 1

3 2 1/ 0СТЬ 0П0Раяш1> пероводящая цифру 1 в 3, оставляющая 2 па место и переводящая 3 в 1. Иод произведенном двух подстановок мы будом разуметь результат последовательного производства подстаповок-мнолштслей. Наир.,

/1 2 3 /1 2 3 /1

Ь 2 iy-2 3 ) — (l

В теории групп природа элементов группы но играет роли, а потому две группы не считаются существенно различными, если они состоят из одинакового числа элементов и если каждому элементу И. первой группы можно сопоставить элемент а второй группы: А—а так, что если А—и В+—+b, то и АВ—аЬ. Группы такого рода называются изоморфными (или имеющими одинаковую структуру). Оказывается, что для любой коночной группы можпо найти изоморфную с ней группу подстановок.

Если часть Sj эломептов некоторой коночной группы © сама составляет группу, то она носит пазваиио подгруппы, или делителя группы ©. Порядок подгруппы является всегда делителем порядка группы. Частное этих порядков называется индексом группы относительно ®.

Если все элементы подгруппы & преобразовать при помощи какого-нибудь элемента А группы ©, т.-о. умножить слева на А~1 и оправа на А, то получится новая подгруппа /1-|£и1, вообще говоря отличная от §. В том жо случае, если для всевозможных эломептов А группы © имеет мосте А=£, говорят, что § есть нормальный делитель группы ©. Нормальные делители играют большую роль в вопросе о разрешимости уравпепий в радикалах Если в группе ©имеется нормальный делитель©!, индекс которого относительно © есть простое число; далее, если ©, содержит в свою очоредь пормальпый делитель ©2 простого индекса и так далее до конда,— то группа © поент название разрешимой. В том жо случае, если © вовсе не содоржит нормальных дглптолой, говорят, что © ость простан грг/ппа.

Разберем два примера. Если группа © — абелева, то опа непремеппо разрешима. G другой стороны, рассмотрим совокупность всех возможных подстановок, перемещающих цифры I, 2,, п. Они составляют группу, порядок которой, очевидно, равеп числу перестановок из и цифр, т.-о. я!=1,2, 3,- - п. Эта группа пазывается симметрической. Симметрическая группа содоржит нормальный делитель индекса 2 то есть порядка,

поеящлп пазвапио знакопеременной группы. Оказывается, что ирп и > 4 знакоперемоп-пая группа проста и потому неразрешима.

Поэтому но можп1 быть разрешимой и симметрическая группа при 4.

Кроме коночных групп, в матоматико большую роль играют так паз. непрерывные группы преобразований, каждое из которых переводит точки некоторого пространства в другие точки того жо пространства (ср. Х1Л,ч.7, прил.309777)Л1апр., преобразование

Применял, палр., к первому из них подста-

(1 2 3 4

2 1 4 3/’ мы переводом ого в не-верпоо соотношонио ху=х£, а потому взл-тая нами подстановка наворпоо по припадле-жит к группе нашего уравнения. Эта группа, как легко проворить, состоит из следующих подстановок:

х=х cos а — е/ sin a -f- а, у’=х sin а -ф- у cos а -)- b.

/12 3 4

U 2 3 4

/1234

Г 2 4 1 3

12 3 4 3 I 4 2

>

Меняя вэличипы а, а, Ь, мы будом получать различные преобразования группы. Таким образом, в выражение прообразоваппл входят, кромо коордипат точки пространства, еще пекоторыз величины, допускающие непрерывное пзмспонио, которые носят название параметров группы. Непрерывные группы применяются в вопросах интегрирования систем дифференциальных уравнении, а также в гопмотрпи, гдо в основу классификации различных геометрий кладется та или птпя попрерывпая группа (Ф. Клейн). Основателем теории попрорывных групп является знаменитый норвежский математик Софус Ли (Lio).

И послодпоо время матоматики начали заниматься такжо тоорпой боскопочных прерывных групп, которыо пмеют большое применение if топологии (смотрите XLI, ч. 8, 424/25). Однако, до этих пор эта теория находится в зачаточпом состоянии.

В. Теория Галуа. Для рошоипя вопроса о разрешимости в радикалах того или иного заданного уравпоипя Галуа ввел попятив группы уравнения, называемой в настоящее вромя группой Галуа. Группой Галуа называется совокупность всох подстановок, которыо но нарушают соотношений ( с рациональными коэффициентами), имеющих мосто молсду корплмп пагпого уравнения. К такого рода соотношениям принадлежат прол!де пссго соотпогазпия (3); этп соотпошепия, однако, по нарушаются пн при каких подстановках, так как их левые части являются симметрическими функциями от корней. Для некоторых частных случаев можно, кроме того, указать соотношения молсду корнями, которыо при некоторых подстановках нарушаются. Возьмем, папр., уравпонио

А« + ®з + а!2+а, + 1_а

!м’о корнями являются так паз. корпи 5-й степени из одипицы:

4-тс в mi 8 к If

Между ними им чот место соотношения:

x‘i — ®Г> а3 — Кх3, xt=Х.

/1 2 3 44 4 3 2 1/

Отметим одно ваясноо свойство группы Галуа: всякая функция от корней, по меняющая своей чпелоппой величины при всех подстановках группы Галуа, равпа рацнопаль-пому числу,— Разрешимость уравнепия в радикалах зависит от структуры его группы. Имоппо, оказывается, что для этого необходимо идостаточно, чтобы группа этого уравнения была разрешимой, то есть имола нормальные долитсли описанных вышо типов. В частности, это условно всегда выполняется, если группа Галуа уравнения есть абелева группа, то есть если произведения со подстановок по зависят от порядка множителей (такого рода уравнепия толсо называются абелевыми). Рассмотренное нами в ппдо примера ypau-иоп по как раз аболсво. Вместо с том существуют уравпепия, группы которых неразрешимы. Папр., уравнения, молсду корнями которых пот других рациональных соотношений, кромо соотношений (а) и их следствий, имеют в качоство групп Галуа симметрические группы и но могут при «>4 решаться в радикалах в силу неразрешимости симметрических групп при и > 4. Вместо стом нетрудно дать способ построолия уравнений с симметрической группой (называемых также иногда уравнешгями без аффекта). Таким образом, задача решения уравпошш в радикалах в общом случао повозможпа. В настолщоо вромя изродка появ лютея работы, ставящпо собо задачой охарактеризовать, по возмолспостп, всо классы уравнений, разрешимых в радикалах. Однако, молепо констатировать, что интерес к вопросу о разрешимости уравнений значительно пал. Это пнкоим образом но относится к самой теории Галуа, которая ставила и продоллсаот ставить себе другпо, болоо широкие задачи, сделалась неотъемлемой составной частью тоорпп алгобрапчоских чисод и, наконец, идеп которой нашли собо применение и других областях математического апалпза: в теории функций, в дифферопциальных ураппепнях, в топологии и др. Одной из трудпейших задач современной теории Галуа являот-н задача построения уравпепий с заданной группой Галуа. Эта задача пока решена и > -

11Д1

яостыо тальк.) дли случая симметрических и знакопеременных групп.

C. Построения при помощи циркуля илипецки. Метод теораи Галуа дает возможность решить, имеет ли та или другая данная задача решение при помощи циркуля и линейки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы алгебраическое уравнение, к которому она приводится, решалось при помощи последовательных извлечений квадратных корней. Если мы обратимся к группе 1адуа итого уравнения, то можем убедиться, что порядок этой группы должен быть равен степени двойки. Таким путем удалась доказать возможность деления окружности па и равных частей в том и только в том случае, если все входящие в и нечетные простые множители имеют форму 2 ! (например 3, 5, 17,

257 и так далее) и притом входят вив первой степени. Метод деления окружности на 17 равных частей был впервые иредложеп знаменитым немецким матоматиком Гауссом (Gauss). Далее, с помощью теории Галуа была доказана повозмолшость де ионня произвольного угла на почетное (в частности 3) чн лопастей. Так. обр., появляющиеся нередко работы по «трпсокции угла» (с.и.) наверное содержат ошибку.

D. Проблема резольвент. Рассмотрим уравнение а» -f- apcn-i —(- —f- а№=0 с переменными коэффициентами аЛ, а2,, ап. Его корни являются неявными функциями от и коэффицизитов. Возникает вопрос, нельзя ли выразить эти корпи явным образом через функции, зависящие от мепьшзго числа параметров. Если уравнение решаотся в радикалах, то очевидно, что его корпи выражаются чороз функции одного параметра, так как извлечение корня ость операция над одной величиной. Поэтому проблема резольвент может считаться обобщением задачи решения уравпелий в радикалах. Можно формулировать эту задачу ещо так: требуется подыскать для нашего уравнения такое рациональное прообразование, чтобы преобразованное уравнение содержало возможно меньшее число параметров.

Эта проблема была впервые формулирована Ф. Клейном («Formenproblem»). Оказалось, что для того, чтобы уравнение имело /«-параметрическую розольвситу, необходимо и достаточно, чтобы в й-мершш пространство существовала непрерывная группа, содержащая в качества делителя конечную группу, изоморфную с группой Галуа этого уравнения. Вопрос о нахождении такого рода непрерывных групп ещо но получил о’“чша-тсльиого разрешения.

Д. Гильберт (Hilbert) обобщил проблему Клейна, поставив вопрос о приведении уравнения к цепи резольвент с возможно мень- |

шим числом параметров. Эта проблема до этих пор ио переведена па язык теории групп. Том нс мепэе, дли нее получены некоторые результаты. Именно, Гильберт показал, что для уравнений степеней и —б, 6, 7, 8, 9 наименьшее число параметров соответственно § 1, 2, 3, 4, 4. А. Пиман (Wiman) дополнил этот результат, показав- что при пй9 имеет место 7с§# — 5.

Е. Алгебраические числа. Этот отдел мо-л;ет быть с равным правом отнзееп как к А., так и к теории чисел. Алгебраическим числом называется корень алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Совокупность всевозможных рациональных функций от корня алгебрапчоского уравнения носит название поля(== корпус —тело) алгебраических чисел.— Таким образом их теория тесно связана с теорией Галуа, с другой стороны—близко соприкасается с теорией чисел (смотрите).

Основным понятием этой теории служит целое алгебраическое число, т.-с. кореш, уравнении хп + -f ап=0, гдекоэффициенты «j, а3,, а„—цолыо рациональные числа. Отсюда легко установить понятие делимости алгебраических чисел, а также их разложения на мнозкители. При этом оказывается, что разложение чисел на простые мнолсители не всегда выполняется однозначно. Для восстановления однозначности этого процесса Куммер (Кшптег) ввел понятие несуществующих па самом деле идеальных чисел. Это понятие было в шрвые строго формулировано Г. Дедекин-дом (DedeWnd),который рассматривал вместо числа — совокупность делящихся па него чисел, определил такие совокупности при помощи двух следующих свойств:

a) сумма (или разпость) двух чисел совокупности тозко принадлежит к в“ч)й совокупности;

b) нроизведепио числа совокупности па любое целое число есть число совокупности.

Называя такого рода совокупности идеалами, Додекипд показал, что идеал внутри ноля иррациональных алгебраических чисел может не соответствовать никакому числу, па которое всо числа идеала делятся. Вводя понятия общего наибольшего делителя и произведения идеалов, он доказал однозначность разлолсения алгебраических чисел на простые идеалы. Если частное двух идеалов ость главный идеал, т.-с. может быть определено одним числим, па которое всо числа идеала делятся, то юворят, что долимоо и делитель припадлазкат к одному классу. Оказывается, что калсдое пола алгебраических чисел содор-жит лишь копечпоо число классов. Это обстоятельство было открыто Кум мар ом при попытках дать доказательство «последней творимы Ферма»: уравнение азп у”=гппри полком п>2 по имеет решопин в целых рациопалыгых числах. Куммеру удалось доказать эту тоорсму для тех значений и (достаточно ограничиться случаями, когда и простое число), когда число классов поли п-ых степеней из единицы не делится на п.

Теория алгебраических чисел дает возможность решать мпогпо задачи, относящиеся собствснппо к теории Галуа. 13 частности, ее методы позволяют выяснять структуру полей, образованных корнями уравнений, имеющих ту или иную группу. Примером может служить знаменитая теорема, ныека-:щпиая Куммером и впервые доказанная Г. Вебером (Weber):

корни всякого уравпония с абелевой группой рационально выражаются через корпи пз едиппцы.

Р. «Алгебры». Сонремсппыо алгебраисты уделяют много шгамапия вопросам структуры всевозможных полей, т.-с. совокупностей величии, воспроизводящихся при производстве над ними четырех арифметических действий. 13 последнее время появились попытки обобщить понятие поля, отбрасывая условие коммутативности умножения, а также отсутствия «дедитолей нуля», т.-с. величии, неравпых пулю и даюпщх в попзведопип пуль. К числу таких обобщении отпосятся изучаемые американскими математиками во главе с Л. Диксоном (Diclcson) «алгебрые (от которых существенно по отличаются введенные немецкими математиками гипер-компжкеиые числа). Перенося па «алгебры» понятие идеалов, а также другие осповные иопятпя теории алгебраических чисел, современным алгебраистам удалось получить несколько общих результатов, имеющих важное значение и для обыкновенной Л.

Литература: Д. А. Граве, «Основы тзысшеП

Алгебры». Киев, 1914; Я. Weber, «Lchrbuch der Algebra», Braunschweig. Bd. 1 —1912, Bd. 2—1899; L. E. Dicks>е/, «Algebren und ihre ZahJcntheorio» (нем. пер.), Zurich, 1927; Л. L. van dcr Waerdent cModerne Algebra», 1 Toil, B., 1930 (pyccrc. nep.—1934), II Teil, B., 1931. По теории Галуа: Я. Чеботареву «Основы теории Галуа», в 1._Л,—М., 1934. По проблеме резольвент: D. Rilbcr/, «Uber die Gleichnng nennten Grades», Math. Ann. 97 (1926):Wiman, «Uber die Amvendnng der Tschimhausentransformation», Nova Acta, Uppsala, 1927; N. Tschebotarow, «Uber ein algebraischos Гго-Ыетп von Ilerm Hilbert», I, Math. Ann. 101; II, Math. Ant,. 105 (1931). и Т1еботарев