> Энциклопедический словарь Гранат, страница 37 > Арабы перенесли индусскую А

Арабы перенесли индусскую А

Арабы перенесли индусскую А. в Европу, и это большая их заслуга; наша система счисления и наши цифровые знаки долго считались даже

Арабскими. Перевод арабских рукописей на латинский язык начинается в XII столетии. Однако, индусская система должна была выдержать упорную борьбу с абаком, укоренившимся в Европе. Математики даже разделились в этом отношении как бы на два лагеря: абацистов, работавших абаком (к числу их принадлежит даже такой выдающийся человек, как Герберт), и алгорифмиков (смотрите алгорифм), придерживавшихся определенных правил вычисления по индусско-арабской системе. Можно сказать, что эта борьба началась знаменитой книгой Леонарда Пизанского „Liber abaci“ (1202 г., второе изд. в 1223 г.) и закончилась трактатом Луки Пачиоли „Summa de Arithmetical (1494). Книга Леонарда является первым сочинением, в котором твердо и настойчиво проводится индусская система; она была даже усовершенствована талантливым автором, давшим новые методы вычисления. „Liber abaci“ получил очень широкое распространение; Леонард Пизанский, а не Никомах мог бы, пожалуй, соперничать с Евклидом по тому значению, какое приобрела его книга. Но прошло три столетия, пока новая система получила всеобщее признание, пока выработались общепринятия обозначения, пока методы вычисления приняли наиболее подходящую форму, приспособились к бумаге и чернилам, пока они вылились в книге Пачиоли в ту форму, которая в остове своем, можно сказать, и по настоящее время остается типом элементарного руководства по А. В 1482 г. вышла в свет первая печатная А. Вагнера в Бамберге.

Впрочем, двух существенных улучшений еще требовала А. времен Пачиоли. Во-первых, нужно было усовершенствовать счет больших чисел. Введенное индусской системой, счисление по разрядам оказывалось недостаточным для очень больших чисел, так как каждому разряду приходилось давать новое название; идей эту нужно было развить подразделением чисел на класс—задача, которую наиболее удачно разрешил даровитый французский ученый Шюке

(кон. XV в.), введший счет биллионами, триллионами и так далее Впрочем, в Германии утвердилась позже несколько видоизмененная система. С другой стороны, приближенные вычисления при делении, при извлечении корней стали наводить различных математиков на мысль о распространении десятичного счисления на числа, меньшия единицы; в ясной и определенной форме учение о десятичных дробях изложено в первый раз в небольшом сочинении замечательного бельгийского ученого Симона Стевина (1548—1620) „Le Disme“, появившемся в 1585 г. Замечательно, что Стевин настаивал также и на десятичном подразделении мер,—идея, нашедшая всеобщее признание и применение лишь через 3 столетия.

С введением десятичных дробей, приближенные вычисления, каковия в подавляющем большинстве случаев приходится производить, можно было доводить уже до высокой степени точности. Но огромное усовершенствование в этом деле было достигнуто, когда барон Непер (1550—1617) открыл логарифмы. Этот глубокий мыслитель всю жизнь был занят упрощением и приведением в систему А., алгебры и тригонометрии; в каждую из этих отраслей он внес существенные вклады, но наиболее ценными являются его сочинения „Mirifici logarithmorum cano-nis descriptio“ (1614) и „Mirifici logarithmorum canonis constructio“ (1619), где помещены логарифмы синусов для углов первой четверти от минуты к минуте и объяснено их употребление. Логарифмы Непера несколько отличаются от того, что мы теперь называем „натуральными“ логарифмами (смотрите логарифмы). Употребление логарифмов было значительно облегчено, когда Бригг и его последователи перечислили их к основанию 10 и издали так называемые обыкновенные логарифмы.

С введением индусской системы счисления, десятичных дробей и логарифмов А. достигла высокой степени совершенства. Но вместе с тем мы приходим к эпохе, когда зародился анализ безконечно малых, и все усилия математиков были направленык развитью нового исчисления. Здесь А. играла лишь служебную роль и в течение двух столетий находилась, можно сказать, в пренебрежении.

Однако, в истекшем столетии математика вновь возвратилась к А. и при том с различных сторон. От А. ответвляется прежде всего дисциплина, получившая название теории чисел (смотрите). Зачатки этой дисциплины мы находим уже у древних (у пифа-горейцев, Евклида и Диофанта); в XVII столетии важные открытия в этой области сделал Ферма (1601— 1665). Эта дисциплина посвящена изучению таких свойств целых чисел, которые не имеют прямого отношения к производству вычислений, но которые проистекают, главным образом, из учения о делимости и находятся в связи с вопросами, стоящими на рубеже между А. и алгеброй (подробнее см. теория чисел). С другой стороны, обширные вычисления, которые в настоящее время производятся в различных отраслях точного знания, потребовали усовершенствования их, как в смысле возможного их упрощения, так и в смысле гарантии определенной и выдержанной степени точности. Для этой цели, независимо от теоретических усовершенствований, придуманы числительные машины, логарифмические линейки и др. приборы (смотрите числительные машины), многообразные таблицы (смотрите математические таблицы), графические методы и графические таблицы. Этот отдел представляет собой непосредственное развитие основных задач А.; к нему должна быть отнесена и коммерческая А. (смотрите), которая имеет целью дать наиболее практичные методы для вычислений, производимых в торговой практике; нужно, впрочем, сказать, что методы коммерческой А. тоже имеют зачатки уже в древности.

Совершенно иные задачи преследует так называемая теоретическая А. Она возникла на почве обнаружившейся в истекшем столетии необходимости дать более глубокое и более тщательное обоснование всего математического анализа. Для этого пришлось обратиться прежде всего к А., вы-снить ея начала или к основные посылки, из которых А. может быть построена строго логически без пособия интуиции. Эти тенденции стоят в связи с философскими вопросами о сущности числа и арифметических операций, об источнике наших арифметических познаний (ср. математика). Этими вопросами много занимались также философы, но математики второй половины истекшого столетия подошли к ним совсем с другой стороны, чуждой всякой метафизики, со строго математическими методами исследования. Первую, если не законченную, то во всяком случае успешную попытку обосновать А. в этом именно смысле слова дал Герман Грассман (смотрите) в небольшом сочинении „Lehrbuch der Arithmetik“ (1861). После него этим вопросом много занимались выдающиеся математики— Вейерштрасс, Дедекинд, Г. Кантор и др. Вопрос не может считаться исчерпанным и по настоящее время; главные трудности сосредоточены в обосновании теории целых чисел, остальное уже выводится без больших затруднений.

Наиболее полное изложение теоретической А. в современной обработке содержится в соч. О. Stolz und I. Gmeiner, „Theoretische Arithmetik“ (1902). На русском языке научное изложение А. можно найти в I томе переводного сочинения Г. Вебер и I. Вельштейн, „Энциклопедия элементарной математики“ (1907).

В. Каган.