> Энциклопедический словарь Гранат, страница 37 > Арифметика есть первая составная часть математики

Арифметика есть первая составная часть математики

Арифметика есть первая составная часть математики, имеющая своим предметом изучение чисел и действий, над ними производимых. Первая задача, которая здесь возникает,— выработать удобные приемы для производства счета и для отметки или записывания получаемых результатов (чисел),—несмотря на кажущуюся простоту, представляла собой едва ли не труднейшую задачу человеческой мысли; успешное же ея разрешение, данное индусами и перешедшее от них через арабов в Европу, знаменовало, быть может, важнейший шаг в истории точного знания (смотрите счисление).

Знаниями по А. несомненно владели финикияне, хотя мы не имеем точных сведений об объёме и характере этих знаний. Древнейшим памятником египетской А. является иератический папирус из коллекции Рин-да в Британском музее, написанный жрецом Ахмесом; это сочинение относят к ХВП—XVIII веку до Р. Хр., некоторые же авторы—к еще более ранней эпохе. Та часть этого сочине-нения, которая посвящена А., не содержит никаких общих правил или теорем относительно производства действий. Простейшия действия над целыми числами в то время уже производились, вероятно, при помощи счетной доски (смотрите ниже); большия затруднения при тяжеловесном счислении и при иероглифическом и даже иератическом изображении чисел представляли действия над дробями; для упрощения этих действий каждую дробь старались представить в видесуммы дробей, имеющих числителями единицу. Ахмес дает ряды таких преобразований (например 2/43=1/42+1/86+ +1/129+1/301); чтобы взять 1/5 от 2/43, Ахмес предлагает взять 1/5 от 1/42, от 1/83, от 1/129, от 1/103. Из этого примера видно, как необычайно громоздки были вычисления. Общих правил для этих преобразований Ахмес также не дает; он приводит еще ряд отдельных задач с их решениями, не указывая, как они были получены. Время, когда был составлен папирус Ахмеса, (возможно, что последний был лишь простым переписчиком), было эпохой расцвета египетской математики, и все следующее тысячелетие, кроме широкого распространения и некоторого усовершенствования счетной доски, ничего в А. не внесло; египетскому математику недоставало хорошей системы счисления.

Недалеко ушли и вавилоняне, но-они вместо египетского разложения дробей выражали дроби в шестидесятых долях, которые вновь раздроблялись на шестидесятия части, и так далее; эти дроби соответствуют нашим десятичным дробям в шестидесятиричной системе счисления, которая была распространена у вавилонян (смотрите счисление).

Греки заимствовали у египтян и вавилонян их способы счисления и счетную доску—абак. Описание важнейших типов этого прибора, господствовавшего в течение почти трех тысячелетий во всех культурных странах, будет дано в статье числительные машины, здесь укажем только, что этот прибор давал возможность выражать число в десятичной (хотя и не вполне выдержанной) системе и чисто механически производит сложение и вычитание целых чисел; в дальнейшем развитии им пользовались также для простейших случаев умножения и деления и действий над небольшими дробями. Русские торговые счеты, собственно, представляют собой разновидность абака.

Греки были замечательными геометрами, но в практическую науку чисел они внесли не так много. Эту практическую сторону дела уже Платон резко отличал от теоретической, присваивая название „А.“ только последнейвъотличие от „логистики“— искусства производить вычисления. И именно теоретические результаты, добытые греками, имеют высокое значение; но интерес к этим изысканиям был у греков почти всегда связан с их приложением к геометрическим исследованиям. Впрочем, пифагорейцы (VI — V ст. до Р. X.), как известно, смотрели на числа, как на основу мироздания; но они были больше заняты мистическим одухотворением чисел, чем А. Некоторые любопытные подразделения чисел, введенные ими (смотрите число) относятся скорее к теории чисел (смотрите ниже), чем собственно к А., но и там они серьезного значения не имеют. Существеннее то, что пифагорейцы ввели понятия об арифметической, геометрической и гармонической пропорциях. Нужно, однако, сказать, что наши сведения о пифаго-рейской А. имеют позднейшее происхождение; что собственно дали пифагорейцы, и что заимствовано Евклидом от них, остается невыясненным.

Безсмертные „Начала“ Евклида (III ст. до Р. X.) есть сочинение геометрическое; но при том глубоком развитии, которое геометрия в нем получает, нельзя было не столкнуться с целым рядом арифметических вопросов. Учение о подобных фигурах неразрывно связано с теорией пропорций; и Евклид действительно строит замечательную теорию пропорций, применяющуюся не только к тем геометрическим величинам, которые имел в виду автор, но и ко всем измеримым величинам вообще. Книги VIII—IX „Началъ“ посвящены уже непосредственно числам, хотя внешним образом Евклид и здесь остается на геометрической почве, изображая числа отрезками, уподобляя их произведения прямоугольникам и так далее Здесь мы впер-вые находим определение простого числа и доказательство предложения, что простых чисел существует безчисленное множество; здесь дан способ нахождения общого наибольшого делителя последовательнымделением, составляющий и по настоящее время основу теории чисел и даже алгебры,—указаны способы нахождения общого наибольшого делителя и наименьшого кратного нескольких чисел. Немногим позже Эра-тосфен (276—194) указал способ отделения простых чисел, и таким образом к концу III ст. до Р. X. уже была построена и логически обоснована вся так называемая элементарная теория делимости целых чисел. Но Евклид пошел дальше;×книга „Началъ“ посвящена учению об иррациональных величинах; здесь геометрическая форма изложения имеет еще более глубокую почву, так как отношения несоизмеримых отрезков—Евклид, а за ним и другие греческие писатели, решительно не признают числом; для греков существовали только рациональные числа. Но помимо этих чисто арифметических книг, мелкие теоремы, особенно во II книге Евклида, представляют собой только геометрическое выражение общих арифметических истин. Так, предложение IV гласит, что квадрат, построенный на сумме двух отрезков, равен сумме квадратов, построенных на. этих отрезках, и двух прямоугольников, сторонами которых также служат эти отрезки. Ясно, что это есть геометрическая формулировка теоремы о квадрате суммы двух количеств.

Что касается счетных операций, то все, что выходило за пределы абака, встречало величайшия затруднения, и сравнительно простое, на наш взгляд, вычисление могло быть выполнено только гением Архимеда (смотрите). Этот величайший геометр сделал попытку (II в до Р. X.) приспособить греческое счисление к выражению весьма больших чисел и посвятил этому особое сочинение „О счете песка“. Здесь проводится та же идея производства счета при помощи групп возрастающих в геометрической прогрессии, которая служит основанием нашего устного счисления; но она растворилась в господствовавшей тяжелой системе счисления и осталась лишь памятником борьбы гения с этой системой.

Систематическое изложение А., совершенно уже освобожденное даже от внешней связи с геометрическими образами, появляется в Греции впервыф, повидимому, около начала II столетия после Р. X. Речь идет о книге Никомаха из Геразы (Аравия) „ЕЕассгыут) ариЭ(И)том)“, более известной по латинскому переводу под названием „lntroductio Arithmetica“. Книга эта содержит систематическую сводку всего, что было сделано по А. пифагорейцами, Евклидом, Эратосфе-ном и другими; она носит также строго теоретический характер, и практических правил для производства арифметических операций мы в ней не находим вовсе. Книга эта получила весьма широкое распространение, и некоторые авторы склонны приписывать ей в А. то же значение, какое имеют „Начала“ Евклида в геометрии; однако, это совершенно несправедливо: в разработке материала книга Никомаха носит даже явные следы эпохи упадка. Несравненно выше Никомаха стоит Диофант (III—IY ст. по Р. X.), но его замечательная „Арифметика“ в действительности относится уже к алгебре.

Римляне не внесли в историю А., можно сказать, ничего. Они пользовались не менее тяжеловесной системой счисления, чем греки, а вычисления производили при помощи абаков несколько иных типов. Нужно только отметить, что у римлян были распространены двенадцатиричные деления мер и двенадцатиричные дроби вместо вавилонских шестидесятиричных. Единственное выдающееся сочинение по А. в римской литературе, „De institutione Arithmetica“ Боэция (V— VI ст. по Р. X.), представляет собой лишь перевод книги Никомаха и отчасти переработку ея, даже уступающую оригиналу.

Угасшее с упадком греческой культуры математическое творчество возродилось в Индии. Индусские математики, в противоположность грекам, были плохими геометрами; это были астрономы, разрабатывавшие А., поскольку она была им нужна для астрономических вычислений; наиболее замечательны из них—Арьяб-1

хатта (V ст.), Брахмагупта (VI ст.) и гораздо позже Бхаскара (XII ст.); в их астрономических сочинениях А. посвящены отдельные главы. Индусы твердо ввели десятичную систему и основной принцип письменного счисления, по которому значение цифры зависит от места, занимаемого ей в изображении числа; кроме того, они ввели в употребление 0 (нуль), что имело необычайно большое значение для системы счисления. В соответствии с этим они выработали также весьма совершенные правила производства арифметических действий, хотя еще значительно отличные от тех, которыми мы пользуемся теперь; это обусловливалось, между прочим, тем, что индусы писали на досках, посыпанных цветным песком, с которых было очень легко стирать написанное: к этому и были приспособлены вычисления. Индусам принадлежит также известный способ поверки действий числом 9. Кроме того, индусы хорошо владели всеми тройными правилами и умели суммировать арифметическую и геометрическую прогрессии. Наконец, индусы первые ввели в употребление отрицательные и иррациональные числа в чисто арифметическом их значении. На положительные и отрицательные числа индусы смотрели, как на „имущества“ и „долги“, но Бхаскара умеет уже перемножать эти числа и знает правила знаков; нужно сказать, однако, что зачатки этой теории встречаются уже и у Диофанта (смотрите алгебра).