> Энциклопедический словарь Гранат, страница 565 > Аффинная геометрия

Аффинная геометрия

Аффинная геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при аффинном преобразовании пространства. Аффинное преобразование переводит каждую конечную (на конечном расстоянии) точку пространства в другую, тоже конечную, точку так, что всякая плоскость при этом переходит в плоскость и, следовательно, всякая прямая в прямую (самое название происходит от лат. слова affinitas — сродство).

В геометрии Евклида равными называются фигуры, которые при наложении совпадают. Отсюда следует, что движение не меняет свойства фигур. Лучше сказать, что в Евклидовой геометрии рассматриваются только те свойства фигур, которые не меняются при передвижении. Всякое передвижение фигуры есть преобразование пространства, которое переводит каждую точку фигуры (и окружающего пространства) в такую лее точку этой фигуры в ее новом положении. Совокупность всех передвижений образует группу двиоюепий в том смысле, что всякие два последовательно выполненные передвижения фигуры из положения А в пололеепие В и из положения В в С можно заменить одним движением, которое непосредственно переведет фигуру из А в С. При всяком движении длина линии (углы, площади, объёмы) сохраняется. Таким образом, длина линии, или еще проще— расстояние между двумя точками, есть инвариант группы движений, а самая геометрия называется метрической (смотрите XLI, ч. 7, нрнл. теорстич. основания математики, 369/75).

Присоединим к группе движений все подобные преобразования; мы получим основную группу пространства. Геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющихся при всех преобразованиях основной группы, называется элементарной, или конкретной. Подобное преобразование переводит фигуру (и точки окрулсающего пространства} в фигуру подобную, все размеры которой изме-пепы в одном и том лее отношении. С точки зрения копкретнои геометрии все подобные фигуры, наир, вое круги, все квадраты и так далее, эквивалентны. Эти сообраясения высказал Клейн (1872, Erlanger Programm; ср. XLY1I1, нрнл. соврем, деятели, пауки, 3/4), который поставил затем общую программу геометрии, данной группы преобразований: «дано многообразие (папр., многообразие точек и ростр аи-ства) и на этом многообразии группа преобразований; исследовать те свойства принадлежащих многообразию геометрических образов, которые по меняются преобразованиями группы». В то время примером такой геометрии была проективная геометрия {см. XIII, 319/20, прил. 50/62,. и XLI, ч. 7,377 сл.), которую Клейп определяет как геометрию группы всех проективных преобразований. Впоследствии был создан целый ряд новых геометрий (конформная, геометрия Laguer-ге’а), среди них Л. г.

Рассмотрим аффннпоо преобразование плоскости Р в плоскость Q. Всегда молено совместить так обо плоскости, чтобы любая точка О плоскости Р переходила в аффинном преобразовании и ту л;о самую (совпадающую) точку плоскости Q и дво взаимно поропопдшеулярпые прямые Ох и Оу переходили сами в себя. Выполияя над плоскостью Р подобное преобразование, можно достигнуть того, чтобы всо точки прямой Оу остались па место. Все другие точки плоскости будут тогда передвигаться параллольпо Ох тем больше, чем дальше опи дожат от Оу. Это преобразование есть специальное аффинпоо преобразование. Всякое аффиппоо преобразование слагается из передвиженияподобного преобразования и специального аффинного преобразования. Наглядный образ такого прообразования получим, растягивая резиновую ленту с изображенной на ной фигурой. Окружность при этом перейдет в эллипс (чертёж I), квадрат — в параллелограмм (чертёж 2). Параллельпыо линии остафигуры (или объём в пространстве) есть относительный инвариант аффинной группы преобразований. Можно, однако, выделить подгруппу эквиаффиппых преобразовании, которые сохраняют величипу площади (в пространство—объём). Эта подгруппа положена в основу аффинной дифференциальной гоо-

иутсл параллельными, по направленно их изменится. Величина угла но сохранится, мепяотся и длина отрезков (диаметры круга пероходят в диаметры эллипса). Площади фигур тожо меняются, по все в одном и том лее отпошении (пропорцпопальпо растяжению Ох) так, что отношение площадей сохраняется. Поэтому Л. г. по содержит учения о перпендикулярности прямых, об изморопии углов или отрезков; зато учопио о параллельных прямых целиком переходит сюда из эломонтарпоа геометрии. Аффинное преобразование есть частный случай проективного преобразования, когда бесконечно удаленная плоскость переходит сама в себя. Поэтому А. г. занимаот сродпсо место между проск-тивпой и элементарной. При переходе от эломоптарпой геометрии к аффинной теряется учонио о перпендикулярности, при порохом от аффинной к проективной— учеппс о параллельности.

Проективная геометрия зпаст только один вид действительной по распадающейся кривой 2-го порядка. А. г. различает эллипс, гиперболу и параболу, по, наир., все эллипсы вдссь эквивалентны. В элементарной—эллипсы различаются эксцентриситетом, но параболы ощо эквивалентны. В Евклидовой — параболы различаются величиной параметра, а эллипсы —двумя постоянными (панр., двумя полуосями). Понятия цоптра мнряжоипых диаметров, асимптот принадлежат А. г.; тоо-рия полюсов и поляр, касательных — проективной; главных осой, вершин, фокусов — элементарной.

Длипа отрезка ость абсолютный нпварнант в метрической геометрии и отпоситольпый в элементарной (подобное преобразование «охраняет отношение отрезков). Площадьмотрни Blaschke - Thomson’a, которая находится в таком жо отношении к А. г., как мотричеокая к элементарной. Эта теория развивается совершенно параллельно метрической, что ещо подчеркивается созвучными названиями. В основу теории плоских кривых положено понятие аффинной длины дуги. Впитом в даипую дугу ломаную линию и рассмотрим площади G/f сегментов, ограниченных сторонами ломаной и стягивающими их дугами кривой. При неограниченном увеличении числа сторон ломаной продол

2- (у) 3lim

есть аффинная длина дуги. Центр кривизпы кривой есть центр соприкасающейся кривой 2-го порядка. Если 2а и 26 есть пара сосопряжеппых диаметров, то A“.— rt(а6)“з ость аффинпая кривизна — положительная, если соприкасающаяся кривая есть эллипс, отрицательная—если гипербола. Аффинная нормаль есть прямая, соединяющая точку кривой с цоптром кривизны и так далее

Теория кршшх и пространство и теория поверхностей строится вполне аналогично. Здесь мы имеем аффнппую пормаль, аффинные линии кривизпы, аффинную полную и сродпюю кривизну поверхности и так далее Замечательна теория аффинно-минимальных поверхностей, которыо осуществляют наименьшую аффинную площадь поверхности при задапном контуро, и теория аффинных сфер, все аффннныо пормали которых проходят через одну точку. Это достаточно широкий класс поверхностей, среди которых эллипсоид выделяется как единственнаявсюду выпуклая поверхность. Все эти аф-фипныо попятил существенно разнятся от одноименных метрических. Например: аффинная площадь выпуклой поверхности F равпа

f/h

где V есть объём слоя моясдуповерхностью F и другой поверхностью Fflt которая проведена так, что касательная плоскость к F отсекает от i) объём всегда равный. $.

Аффинное преобразование ость наиболее общее линейпое преобразование. Если точка М (ж, у, г) переходит в точку М (so, у, .г), то координаты связаны линейпыми формула.

ми: х — ах -j- by сг -4- d, и так далее Всякое непрерывное преобразование в бесконечно малом линейно. Этим объясняется, что для математического обоснования эйнштейновской теории относительности Вейль (смотрите XLVIII, прнл. соврем, деятели пауки, 2) и Картап (смотрите там лее, ст. 3) построили новое пространство (пространство аффинной связности) па основе аффинного пространства. Пространство аффипной связности в каждой своей точке и бесконечно-малой окрестности ее обладает всеми свойствами аффинного пространства (пространства А. г.).-При переходе из одной точки в другую параллельность векторов устанавливаетсясовершенно произвольно, при единственном условии, чтобы при сближении точек в пределе параллельные векторы совпадали. Таким образом, если, обходя по замкнутому контуру, переносить вектор, оставляя его параллельным (в расширенном смысле), то по возвращении в исходную точку он не совпадает со своим первоначальным направлением Образовавшийся угол а зависит, конечио, от величины обхода. При бесконечно-малом контуре предол отпошения угла а к площади контура завпеит от римановой кривизны (смотрите XLI, ч. 7, 39J) пространства в данпой точке.

Аффиппые преобразования впервые рассматривал Эйлер, «Iiitronuctio in analy>em inunitorum», 174ч, гл. XVIII, § 442. Аффинные свойства фигур выделил Mdbius, «Dor

baryzontrische Calcul», 1827, Abschn II, гл. HI. См. такжо Bet!ter u. Kohler, «Lohrbuch dor anaytischen Geometric», 1904. Аффипная дифференциальная геометрия создана Hlaschlce, Thomsen m и их учениками. Ряд статей под общим заглавием «Uber atfin Geometric» изложен во II томе lilaschke, «Vorlesungon uber I Mfferentialgeomotrie», 1923. Простран ство аффипной связности дали Wcyl, «Каши, Zeit und viatono». 1918, и Cartan, «Sur les variotfi- a connexion aftine oi a ihfioriodela roiativitfi g(5n6niLis6e», Ann. Ec. Norm., t. 40,

С. Фиников.