> Энциклопедический словарь Гранат, страница 131 > В математике

В математике

В математике, как элементарной, так и высшей, линия определяется, как геометрическое место точек, построенных по некоторому закону, который дается в виде уравнения. Так, прямая есть геометрическое место точек, одинаково удаленныхот двух данных точек; окружность есть геометрическое место точек, находящихся в равном расстоянии от центра; эллипс—геометрическое место точек, у которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, постоянна, и так далее В аналитической геометрии каждое такое равенство, определяющее геометрическое место, выразится в виде уравнения между координатами каждой точки данной линии. Так, в случае прямоугольных декартовых осей координат для прямой линии мы получим уравнение 1-ой степени: у=ах- -b (1), где b есть величина отрезка, образуемого данною прямою

АВ на оси у (чертёж 2), а а есть tg угла а, образуемого прямою АВ с осью х. Это значит, что какую бы точку М на прямой АВ мы ни взяли, ея координаты удовлетворят уравнению (1). Обратно, всякая пара величин х и у, удовлетворяю щ и х уравнению (1), определяет точку, лежащую напрямой АВ. В этом смысле говорят, что прямая АВ выражается уравнением (1). Так же точно окружность,с центром в О.радиусаЕ (чертёж 3)выразится уравнением: х2- -у2= =В2 (2). Эллипс, у которого фокусы F1 и F2 лежат на оси х в равном расстоянии от О, выразится уоавнением:

;Ге у”

-а + р=1 (3), причем а и Ь суть

Величины отрезков, образуемых эллипсом на осях координат: они называются полуосями эллипса (чертёж 4).

Подобным же образом всякая линия на плоскости выразится уравнением, которому должны удовлетворять координаты каждой ея точки. Обратно, каждое уравнение между координатами выразить собою некоторую линию на плоскости. Решение всевозможных задач, касающихся линий на плоскости, сводится к исследованию и различным преобразованиям их уравнений. Так, желая найти точки пересечения двух данных линий на плоскости, мы должны найти такие величины х и у, которые удовлетворяли бы одновременно уравнениям обеих линий; а это значит, что мы должны решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Например, желая найти точки пересечения прямой (1) с окружностью (2), мы должны решить систему уравнений (1) и (2); из начальной алгебры известно, что такая задача сводится к решению одного квадратного уравнения.

Итак, способ координат приводит решение сложных геометрических задач к сравнительно более простым алгебраическим выкладкам. Он дает геометрам общие методы для решения задач, из которых почти каждая прежде требовала особого приема, большой изобретательности и напряженного воображения. Понятно, что со времен Декарта изложение геометрии значительно упростилось и наука быстро пошла вперед.

Систематическое изучение по методу координат свойств плоских кривых, выражаемых алгебраическими уравнениями, составляет содержание курсов аналитической геометрии на плоскости. Такие кривия называются алгебраическими кривыми и классифицируются по степени их уравнений в декартовых координатах. Линия, выражаемая уравнением первой степени, называется линией 1-го порядка и есть всегда прямая линия, как было упомянуто выше. Кривия 2-го порядка существуют трех видов: эллипс (к этому виду, как частный случай, принадлежит и окружность), гипербола и парабола. Форма уравнения в значительной степени зависит от положения кривой относительно осей координат. Поэтому стараются выбрать оси координат так, чтобы уравнение кривой было как можно проще. Выше мы видели, что при том выборе осей, который изображен на черт, 4, эллипс выражается уравнением (3). Точка О называется центром эллипса; относительно нея все точки кривой расположены попарно симметрично; всякая хорда, проходящая через центр, делится в нем пополам и называется диаметром

эллипса; диаметры АА и ВБ называются главными осями: каждая из них делит эллипс на две равные и симметрично расположенные части.

Гипербола есть кривая, все точки которой расположены так, что разность их расстояний от двух данных фокусов есть величина постоянная. Если выбрать оси координат подобным лсе образом, как для эллипса, то она выразится уравнением:

F — 1 (4). Эта кривая состоит а2 b2

из двух отдельных ветвей (чертёж 5) безконечного протяжения; ветви, по мере удаления в безконечность, приближаются к двум прямым линиям, изображенным на чертеже 5 пунктиром и называемым асимптотами. Гипербола имеет центр и две главные оси, к которым асимптоты равно наклонены. Угол между асимптотами определяется величинами коэффициентов а и Ь уравнения (4). Если а=Ь, то асимптоты взаимно перпендикулярны, и гипербола называетсятогдарав-

Ян о с т о р о н-нею. Приняв асимптоты за оси координат, мы _ представим уравнение гиперболы в еще более простом виде: осу=с (5). Р авно сторонняя гипербола впрямоугольных координатах выразится уравнением (5). Расположение ея относительно осей координат представлено на чертеже 6.

Парабола есть кривая, каждая точка которой равно отстоит от данного фокуса и от данной прямой, называемой директрисою. Если принять перпендикуляр FP (чертёж 7), опущенный из фокуса F на директрису DD за ось х, средину О отрезка FP за начало координат, а перпендикуляр, восстановленный в этой точке к оси х, за ось у, то парабола выразится уравнением: у2=2рх (6). Парабола состоит из одной ветви безконечного протяжения, асимптот она не имеет,

Черг. 6.

не имеет и центра. Ось х служит для нея единственною главною осью. Характерное свойство параболы то, что касательная в какой угодно ея точке М равно наклонена к прямой MF, соединяющей эту точку с фокусом F, и к оси х. Этим свойством пользуются физики при устройстве параболического зеркала.

Чертёж 7.

Кривия 2-го порядка были найдены еще древними и изучались, как сечения прямого круглого конуса различными плоскостями. Поэтому оне II до этих пор часто называются коническими се-ч е и и я м и.

Аналитическая геометрия значительно облегчила изучение этих кривых.

Мысль рас-пространит ь метод координат и применить его к геометрии в пр о странстве принадлежит самому Декарту. Она была осуществлена вскоре его последователями. Чтобы построить

Декартовы координаты в пространстве, берут три произвольные, но определенным образом выбранные плоскости, пересекающияся в одной точке и называемия плоскостями координат (чертёж 8). Оне разделят все пространство на 8 частей и пересекутся попарно по трем прямым, которые называются осями координат; осью х, осью у, осью г. Для определения положения какой-либо точки М, мы проводим через нее прямую параллельную оси г до пересечения с плоскостью хОу в точке N и из N ведем прямую NP, параллельную оси е/, до пересечения с осью х в точке Р. Отрезок ОР обозначаем буквою х, отрезок PN—буквою у, отрезок NМ—буквою г. Величины х,у,г суть координаты точки М. Для определения положения точки в какой угодно из 8 частей пространства вводится правило знаков подобно тому, как в геометрии на плоскости. Если оси координат попарно взаимно перпендикулярны, то оне называются прямоугольными Декартовыми осями координат.

Одно уравнение между координатами в пространстве выражает собою поверхность: всякая точка, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, лежит на поверхности, им выражаемой. Если даны два уравнения между координатами точек пространства, то в отдельпости они выразят собою две поверхности; совокупность же их выразит собою линию пересечения этих поверхностей. Поэтому линия в пространстве выражается системою двух уравнений.

Поверхности подразделяются по степени их уравнений в Декартовых координатах. Поверхность 1-го порядка есть всегда плоскость. Поверхности 2-го порядка, кроме конуса и цилиндра, бывают пяти различных видов: эллипсоид (изображенный на чертеже 9), гиперболоид с одною полостью, гиперболоид с двумя полостями, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. Первия три из этих поверхностей имеют центр и по три главные плоскости, из которых каждая делит поверхность на две равные и симметрично расположенные части; последния две поверхности лишены центра и имеют только по две главные плоскости. Эллипсоид, гиперболоид с двумя полостями и эллиптический параболоид суть поверхности всюду выпуклыя; гиперболоид с одною полостью и гиперболический параболоид суть поверхности седлообразныя; характерная особенность этих двух поверхностей та, что на каждой из них прямая линия может уложиться на всем своем протяжении, и таких прямолинейных образующих на каждой из упомянутых двух поверхностей существует безконечное множество.

Курсы аналитической геометрии в пространстве посвящаются, главным образом, систематическому изложению свойств и решению задач на поверхности первых двух порядков и на прямую линию, причем, понятно, прямая рассматривается как пересечение двух плоскостей и выражается поэтому системою двух уравнений первой степени.

Основное положение аналитической

Чертёж 9.

геометрии на плоскости: „линия выражается уравнениемъ11 позволяет, как видно из сказанного выше, исследовать свойства кривых помощью алгебры; та же положение позволяет графически изображать законы изменения функций.

Если решить уравнение, выражающее кривую, относительно у, то в правой пасти равенства получится некоторая формула, содержащая в себе х; она выражает собою некоторую функцию аргумента х; следовательно, во всякой линии ордината ея точки есть вполне определенная функция абсциссы. Мы находим выражение этой функции, решив уравнение относительно у. Поэтому говорят, что и в своем первоначальном виде уравнение определяет собою эту функцию, только в неявной форме. Простые примеры сказанного представляют приведенные выше уравнения:(1), (2), (5).Уравнениф(1)пред-ставляется уже решенным относительно и/;решив уравнение (2) относительноу, найдем:«/ — [/R2 — х2; уравнение (5)

представится в виде: г/=Л. Еслинам дана какая-либо функция, имеющая теоретический интерес или выражающая некоторый закон природы, то мы строим ея величины в виде ординат для соответствующих значений аргумента; геометрическое место конечных точек построенных перпендикуляров будет кривая линия, изображающая наглядно течение данной функции. Когда построена такая кривая, то, рассматривая ее, измеряя ординаты различных ея точек и представляя себе точку, непрерывно бегущей по этой кривой, мы легко уясняем себецелыйрядъособенностей функции: мы видим, при каких значениях аргумента функция положительна, и где она отрицательна; где функция увеличивается с возрастанием аргумента, и где убывает; где она достигает наибольшого своего значения, и где наименьшого, и так далее Хороший пример представляет приведенная выше равносторонняя гипербола ху=с (5), изображеннаяна чертёж 6. Физика показывает, что, если изменять объём данного количества газа при постоянной температуре, то произведение объёма на давление есть величина постоянная; если буквою х обозначить объём газа, а буквою у его давление, то уравнение (5) выразит собою упомянутый закон физики, а чертёж 6 даст конкретное изображениеэтого закона. Так, из чертежа видно, что при малых значениях объёма х давление у очень велико; при беспредельном увеличении объёма х давление у падает, асимптотически приближаясь к нулю, но никогда его не достигая.