> Энциклопедический словарь Гранат, страница 131 > В теории чисел можно различать три главнейших отдела: 1) теория сравнений и теория квадратичныхъ форм

В теории чисел можно различать три главнейших отдела: 1) теория сравнений и теория квадратичныхъ форм

В теории чисел можно различать три главнейших отдела: 1) теория сравнений и теория квадратичных форм, рассматривающая различные вопросы в связи с решением неопределенных уравнений в целых числах, 2) теория прерывных или числовых функций, 3) теория алгебраических чисел. Основания теории прерывных функций были положены Эйлером в XVIII веке. Примеры таких функций представляют собою р (и) — число делителей целого числа и,

/

(и)—сумма делителей целагочисла и, ср (п)—функция, выражающая число чисел меньших и и с ним взаимно простых и так далее Теория чисел изучает свойства и зависимость между числовыми функциями и отчасти применяет свои теоремы к теории рядов. Большое усовершенствование было внесено в эту теорию профессором Бугаевым благодаря его учению о числовых производных, применению теории эллиптических функций и целому ряду работ по теории чисел. Числовая производная в теории чисел играет роль, сходную с обыкновенной производной в анализе. Теория алгебраических чисел изучает не только целия и рациональные числа, но и вообще числа, способные удовлетворять алгебраическим уравнениям. Она возникла из некоторых задач, выдвинутых высшей

;илгеброй, которая, вместе с исчислением конечных разностей, составляет как бы связующее звено между анализом и теорией чисел.

Исчисление конечных разностей имеет дело с конечным приращением функции (аналитической или числовой), соответствующим конечному приращению аргумента. Если обозначить приращение аргумента буквою h, то приращение функции f (ж) выразится так f(x + li) — f (х). Его обозначают символом Д f (х). В дифференциальном исчислении приращение h безконечно мало, тогда и A f(x) безконечно мало, а предел отношения его к df(x) есть 1. В исчислении конечных разностей h остается конечным, в большинстве задач й=1. Выражение Д f (х) называется конечною разностью. Теория конечных разностей дает формулы для нахождения Д f (х) по данной функции f (ж), а также решает обратную задачу: найти вид функции по данному выражению ея конечной разности. Эта функция называется интегралом по конечным разностям и обозначается так:

fix). Отдел исчисления, занимающийся решением двух сказанных задач, очень напоминает собою соответствующия главы дифференциального и интегрального исчислений. Формулы этого отдела имеют применение к суммированию безконечн. рядов, к приближенному вычислен. определенных интегралов и к интерполяции. Последняя задача имеет значение практическое. В опытных науках часто приходится производить непосредственное измерение величины функции при различных возможно близких между собою значениях аргумента; этот опытный матерьял можно расположить в таблицу или построить помощью его кривую, выражающую приблизительно течение наблюдаемой функции; задача интерполяции состоит в том, чтобы подобрать формулу, которая выражала бы как можно ближе построенную опытным путем кривую. Такие формулы носят название эмпирических формул. Оне встречаются в физике, практическоймеханике, инженерном искусстве и так далее.