> Энциклопедический словарь Гранат, страница 103 > В этом замещении трех функций одной векториальной функцией и заключается сила векториальнаго анализа

В этом замещении трех функций одной векториальной функцией и заключается сила векториальнаго анализа

В этом замещении трех функций одной векториальной функцией и заключается сила векториального анализа

Положим, что мы дадим независимой переменной в рассмотренной выше зависимости е=f (s) (рисунок 4) сначала значение s, а потом наращенное значение s + h; этим значениям будут отвечать векторы ОА=f (s) и ОА/= f (s + h). Вектор АА=ОА—ОА представляет собой геометрическое наращение, которое получает переменный вектор, когда независимая переменная получает наращение h, т. е. АА=f (s -j- h) — f (s). Если мы разделим это наращение на h, то получим вектор, который при положительном h направлен в ту же сторону, что АА, при отрицательном — в проти-вополояшую. Когда h стремится к нулю, то отношение

АА f (s + h) — f (s) h ~ h

может стремиться к определенному предельному вектору; этот предельный вектор (буде он существует) называется геометрической производной вектора г. Если А есть движущаяся точка, то геометрическая производная ея радиуса- вектора представляет собой скорость движения, геометрическая производная скорости есть ускорение.

Геометрические производные сохраняют многие свойства обыкновенной производной (смотрите высшая математика и дифференциальное исчисление); например, в силе остаются правила составления производной суммы и векториального произведения. Что наиболее замечательно, при надлежащих условиях остается в силе формула Тайлора. Другия свойства обыкновенных производных в векториальном анализе изменяются—и таким образом получается своеобразное дифференциальное исчисление векторов, из которого в том же порядке идей получается интегральное исчисление. Обе дисциплины отличаются необычайным изяществом и черезвычайно

богаты приложениями к геометрии, механике и теоретической физике.

Как мы видели на рисунке 4, радиусом-вектором f вполне определяется положение точки А (при данном начале О), и соотношение г=f (s) можно рассматривать, как векториальное уравнение кривой. Эта замена трех уравнений аналитической геометрии одним векториальным и послужило точкой отправления векториального исчисления.

Если не считать Бесселя (Wessel) и Аргана (Argand), у которых эти идеи выражены еще недостаточно определенно, то отцом векториального анализа нужно признать Мёбиуса (Mobius); в сочинении „Der baryzentrische Cal-cul“ (1827) он устанавливает действия не над векторами, а над точками; но эти операции совпадают с преобразованиями, которым в векториальной алгебре подвергаются конечные точки векторов при действиях над ними. В сочинениях Веллави-тиса (Bellavitis), особенно в его книгах „Metodo delle equipollenze“ (1835) и „Sposizione del metodo delle equipol-lenze“ (1855), установлены уже прямия действия над векторами и даны многочисленные применения к геометрии. Когда Коши, следуя Аргану, показал, что операции над векторами представляют собой геометрическую интерпретацию действий над комплексными числами, то это составило эпоху, ибо послужило наиболее сильным импульсом ко всеобщему признанию комплексных величин. Однако, комплексные числа изображаются только векторами, расположенными в одной плоскости; но вскоре Гамильтон (Hamilton, „On Quaternions“ 1843 — 1844; „Lectures on Quaternions“ 1852) и Грас-ман (H. Grassmann, „Die Ausdehnungs-lehre“—сочинен., написанное в 1844 г. и совершенно переработанное в 1866 г.) указали новыя, высшия комплексные числа—кватернионы {см.). Каждый кватернион состоит из скалярной и векториальной части; геометрическим изображением последней служит вектор в трехмерном пространстве. Все развитие векториального анализа находится в теснейшей связи с учением о кватернионах. Однако, учениеэто довольно долго не встречало сочувствия среди математиков. Только, когда Дж. Максуэль (J. Maxwell, „А treatise on Electricity and Magnetism“, 1873) воспользовался ими для выражения своих замечательных идей в области электродинамики, то кватернионы,- а вместе с ними и векториальный анализ, получили значительное распространение, которое быстро росло по мере того, как идеи Макс-уэля получали преобладание. В новых трактатах по теоретической физике изложение ведется почти исключительно методами векториального анализа. Нужно, однако, сказать, что эти методы имеют и своих решительных противников.

Bucher er, „Elemente der Vektoranaly-sis“, Leipzig, 1905; Gans, „Einfuhrung in die Vektoranalysis“, Leipzig, 1905; Ignatowsky, „Die Vektoranalysis“, Leipzig, 1909—1910; П. О. Сомов, „Векториальный анализ и его приложения“, Спб. 1907 г. В. Каган.