> Энциклопедический словарь Гранат, страница 131 > Введение производных высших порядков дало возможность еще глубже проникнуть в свойства кривых линий и функций

Введение производных высших порядков дало возможность еще глубже проникнуть в свойства кривых линий и функций

Введение производных высших порядков дало возможность еще глубже проникнуть в свойства кривых линий и функций. Этим способом исследуют направление выпуклости и вогнутости плоских кривых линий, их кривизну, особия точки (примеры таких точек представлены начертёж 11)

9я

Чертёж 11.

и другия свойства. Одним словом, дифференциальное исчисление создало теорию кривых линий плоских и пространственных (не укладывающихся на плоскости), а также теорию кривых поверхностей. Эта теория в настоящее время стала выделяться в отдельную науку, называемую дифференциальной геометрией, которая, в свою очередь, выдвинула различные специальные вопросы. К числу их принадлежит изучение свойств линий на данной поверхности, так называемая геометрия на кривой поверхности, служащая обобщением планиметрии. Изучение линий на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной привело Бельтрами к конкретному истолкованию геометрии без постулата Эвклида, созданной Лобачевским в средине XIX века.

Одно из важнейших приложений дифференциального исчисления к изучению функций есть разложение их в безконечные ряды. Рядом называется совокупность безконечного числа членов, расположенных в определенном порядке. Если члены уменьшаются но числовой величине, по мере их удаления от начала ряда, то их сумма может оказаться конечною, хотя число слагаемых безконечно велико. Примером может служить известная из начальной алгебры безконечно нисходящая геометрическая прогрессия. Ряд, у которого сумма есть конечная и определенная величина, называется сходящимся. Признаки, позволяющие решать вопрос о том, сходится ли данный ряд или нет, называются признаками сходимости. Формулы Тайлора и Маклорена позволяют разлагать огромное большинство функций в сходящиеся ряды, расположенные по целым и положительным степеням аргумента. Так для sinx и cosx существуют следующия разложения:

х3. х5

smx=x

1.2.3 1 1.2.3.4.5

х1

1.2.3.4.5.6.7

cosx=1

х2 ж4

lT2 1.2.3.4 ж°,

1.2.3.4.5.6

справедливия при всяком конечном ж. Ряды позволяют исследовать свойства функций, а также вычислять их величины и составлять таблицы для этих величин. Этим способом были составлены таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др.

Отдельные исследования в области анализабыли собраны, обработаны ипри-ведены в стройную научную систему впервые Эйлером в XVIII веке. Он издал свои труды в трех обширных трактатах. Понятие о функции и связанные с ним методы анализа быстро нашли себе применение в области естествознания и техники. В механике длина пути, пройденного движущейся точкой за некоторый промежуток времени, есть функция длины этого промежутка, или, как говорят, есть функция времени. Первая производная от этой функции есть скорость движения точки, а вторая производная есть ускорение этого движения. Благодаря тесной связи механики с анализом создалась аналитическая механика, которая получила применение в физике, астрономии, а также в технических науках: инженерном деле, машиностроении, артиллерии и так далее

Установив понятие о производной и разработав прием дифференцирования, Лейбниц поставил и обратную задачу: как по данному выражению производной найти первоначальную функцию, для которой данная служила бы производной. Иными словами, как найти функцию у, которая удовлетворяла бы уравнению =f (ж), где f lx) ax

есть выражение данноее Эту искомую функцию Лейбниц назвал интегралом и обозначил так:

Выражение f (ж) называется подъинте-гральная функция, а ж — переменное интеграции. В противоположность производной, которая есть функция вполне определенная, интеграл содержит в своем выражении некоторый произвол: функций, удовлетворяющихуравнению — f (ж), существует без-ахконечное множество, но все оне разнятся друг от друга только прибавкою некоторого постоянного слагаемого. Так, например, интеграл

/рЗ

от ж2 представится в виде — + с,

где с есть какое угодно постоянное число. Различные выражения интеграла от ж2 будут разниться друг от друга только значениями постоянного слагаемого с. Вследствие присутствия в формуле интеграла произвольного постоянного слагаемого, интеграл получил название неопределенного интеграла. Мы видели выше, что производная от элементарной функции есть тоже функция элементарная и может быть всегда найдена по общим формулам дифференциального исчисления. Интегральное исчисление имеет иной характер: интеграл обыкновенно сложнее подъинтегральной функции по своим свойствам; очень часто интеграл довольно простой элементарной функции уже в элементарных функциях не выражается. Поэтому не может существовать и общих правил для нахождения интеграла, хотя мы и знаем, что интеграл существует. Первия главы курса интегрального исчисления посвящаютсяизу-чению тех классов элементарных функций, у которых интегралы выражаются в элементарных функциях, а также изложению различных приемов, позволяющих находить выражения интегралов в элементарных функциях, где такое выражение возможно.

Разработка интегрального исчисления обогатила науку еще большим числом открытий, чем дифференциальное в-исчисле-j/ ние, и расширило область математики вомногих р а з и и ч-ных направлен а~ ях. Мы

укажем Чертёж 12.

только некоторые из них, наиболее резко выраженные.

I. Возьмем кривую, соответствующую уравнению у=f (ос) (чертёж 12), проведем в ней две ординаты АА и ВВ, соответствующия двум произвольно выбранным абсциссам О А== а и ОВ — b, лишь бы кривая в промежутке АВ была непрерывна. Вычислим разность между величинойинтеграла

при ж=Ь и ея

Величиной при ж=а. Эту разностьпринято обозначать так:

Так как при вычитании двух значений интеграла друг из друга произвольное постоянное сократится, то

Величина f(x)dx

/>

будет вполнеопределенная; она называется поэтому определенным интегралом. Величины а и b называются его пределами. Ясно, что определенный интеграл не зависит от ж. Величина его определяется только видом подъинтегральной функции Дж) и величинами пределов. Если в выражение Дж) или в выражения пределов входят какиелибо буквенные коэффициенты, то определенный интеграл будет функцией этих коэффициентов. Геометрический смысл определенного интеграла таков: он равен площади криволинейной фигуры ААВВ. Отсюда следует, что интегральное исчисление дает общий способ решить указанную выше основную задачу геометрии: вычислить площадь, ограниченную кривой линией. Всякий раз, когда такая площадь выражается в элементарных функциях, интегральное исчисление доводит решение задачи до конца.

Как только был решен вопрос о площади, ограниченной кривой, тотчас удалось найти выражения в определенных интегралах для длиныдуги кривой линии, для объёма и поверхности тела, ограниченного кривыми поверхностями, а также в механике выражения для моментов инерции и координат центра тяжести различных тел.

П. Та особенность неопределенных интегралов, что они часто не могут быть выражены в элементарных функциях, дала новый толчек к дальнейшему развитью анализа. Такие интегралы стали изучать, как новия функции, разработали их свойства, составили для них таблицы, и они вошли в математику наравне с элементарными функциями, служа новым орудием для решения различных задач, которые прежде казались неразрешимыми. Так создалась теория эллиптических, ультраэллиптических, Абелевых и др. функций.

III. Определенные интегралы, как упомянуто выше, суть функции тех буквенных величин, которые входят в подъинтегральную функцию и в пределы. Если определенный интеграл не выражается в элементарных функциях, то он может быть изучаем, как новая функция сказанных буквенных величин, или, как говорят, параметров. Эта теория определенных интегралов особенно многим обязана Эйлеру. Функции, выражаемия в виде определенных интегралов, обладают своеобразными особенностями, совершенно чуждыми элементарным функциям. К числу таких функций принадлежат так называемые Эйлеровы интегралы -

Теория определенных интегралов нашла себе приложение в некоторых главах физики и механики, между прочим, в теории потенциала электрических и магнитных сил и притяжения матерьяльных масс.

ГВ“. Задача найти функцию у, удо-

ЛУ S, S

Влетворяющую уравнению=f (х),

есть частный случай более общей задачи: найти у из уравнения, в которое, кроме независимого переменного х, входит неизвестная функция у и ея производные различных порядков. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется его интегралом. Дифференциальные уравнения классифицируются по порядку старшей входящей в них производной от неизвестной функции. Так уравнение du

-)- у=Xs + 2х есть дифференциальное уравнение 1-го порядка. Простою поверкою можно убедиться, что ему удовлетворяет выражение: у=х2. Изучение различных видов дифференциальных уравнений, приемов их интегрирования и свойств интегралов уравнений, не интегрирующихся в элементарных функциях, составляет содержание теории дифференциальных уравнений.

К дифференциальным уравнениям приводится множество задач геометрии, механики и физики. Особенно широкое применение имеют дифференциальные уравнения в задачах, касающихся движения точек, тел твердых, жидких и газообразных, а также движения теплоты, электричества и так далее

Большой интерес по своим последствиям имела постановка и решение задачи о колебании натянутой струны. Эта задача, так же как и все ей подобные, сводится к интегрированию некоторого дифференциального уравнения. Решил ее в общем виде впервыф Даниил Бернулли в XVIII веке. Он представил ординату произвольно взятой точки струны как функцию абсциссы для любого момента времени, выразив эту функцко в виде безконечного ряда, расположенного по синусам величин, кратных одной и той же дуги. Такие ряды получили название тригонометрических рядов. Из рассмотрения решения Бернулли оказалось, что при помощи тригонометрического ряда может быть в известных пределах выражена уравнением всякая кривая, хотя бы она состояла из отдельных кусков геометрических кривых (отрезков прямых, окружностей, эллипсов и так далее) или даже просто без всякого правила начерчена от руки. С первого взгляда этот результат показался парадоксальным; он вызвал возражения со стороны ученых XVIII века против решения Бернулли и горячий спор между ними. Этот спор выяснил, что решение, найденное Бернулли, было верно, и в то же время оказал еще и другую пользу науке. Он привел к более правильному определению функций и к новой их классификации. Те функции, которые способны разлагаться в ряд Тай-лора, получили название аналитических функций; остальные функции—неаналитических. Всякая аналитическая функция имеет как первую, так и всевозможные производные высших порядков. Между неаналитическими функциями есть такия, которые не имеют даже первой производной, хотя оне при этом могут быть непрерывными. Литература, касающаяся таких функций, в последния десятилетия получила довольно широкое развитие и уяснила некоторые философские вопросы анализа.

Отдельную область математики, тесно связанную с теорией дифференциальных уравнений, составляет вариационное исчисление. Оно образовалось постепенно из отдельных задач на maxima и minima особого рода. Приведем из них несколько в виде примеров: 1) найти кривую, служащую кратчайшим путем между двумя точками на данной кривой поверхности (задача о геодезической линии); 2) найти вид кривой линии между двумя данными точками пространства под условием, чтобы тяжелая материальная точка проходила ее в кратчайшее время (задача о брахистохроне);

3) найти вид тела вращения, встречающого наименьшее сопротивление при поступательном движении в жидкости по направлению оси вращения (задача Ньютона); 4) найти вид поверхности, проходящей через данный контур в пространстве и имеющей в пределах его наименьшую площадь и так далее Основание вариационного исчисления относят к 1696 году, когда Иван Бернулли предложил упомянутую выше задачу о брахистохроне. Сначала задачи вариационного исчисления решались искусственными приемами на основании общих методов теории безконечно-малых; значительные улучшения в этих приемах были сделаны Эйлером, но больше всего вариационное исчисление обязано Лагранжу, который построил его по такому же плану, как построено дифференциальное исчисление; он предложил для так называемой вариации новый символ S, который по своему определению и свойствам очень близок к символу дифференциала. Приемы Лагранжа были впоследствии разработаны дальше и до настоящого времени лежат в основе курсов вариационного исчисления.

Характерную особенность математики XIX века составляет так называемая теория функций комплексного переменного. В алгебре давно уже чувствовалась необходимость наравне с действительными величинами ввести мнимое выражение У —1, которое обозначают обыкновенно символом г (от слова imaginaire). Комплексным количеством называется выражение вида: а + Ы, где а и Ь суть величины действительные. Основное свойство комплексных количеств состоит в том, что какие бы алгебраические действия мы над ними ни совершали, в результате получится выражение того же вида, т. е. опять комплексное (действительное количество есть частный случай комплексного, когда b — 0). Следовательно, комплексное число есть наиболее общий вид числа, к которому способна привести алгебра. Введение этих количеств в алгебру позволило получить для теорем формулировку самую простую и в то же время обицую. В теории функций ком-

шиексного переменного самый аргумент функции есть величина комплексная. Эта теория была основана в начале XIX века Коши и получила быстрое и широкое развитие благодаря трудам самого Коши и его учеников, а затем Римана и целой школы немецких математиков, учеников и последователей Римана. Теория функций комплексного переменного дала сильное орудие для вычисления определенных интегралов, для выражения аналитических функций помощью различных видов безконечных рядов и для исследования свойств этих функций; она уяснила многое прежде непонятное в свойствах функций, привела к открытью новых видов функций и совершенно преобразовала существовавшия ранее теории эллиптических, ультраэллиптических, Абелевых и друг. функций. Теория дифференциальных уравнений получила тоже новую обработку. Прежде усилия математиков в этой области были направлены, главным образом, к тому, чтобы найти выражения интегралов дифференциальных уравнений в элементарных функциях, где это возможно, или, по крайней мере, выразить эти интегралыпомощью символа

/

неопределеннагоинтеграла. Количество задач, разрешимых этими способами, довольно ограничено. Теперь стали изучать интегралы дифференциальных уравнений, как функции переменных, входящих в уравнение, стремясь выразить их помощью безконечных рядов и раскрыть их главные свойства. Через это в математике появились неизвестные ранее виды функций, к числу которых принадлежат гипергеометрические.