> Энциклопедический словарь Гранат, страница 131 > Вляет собой непосредственное применение идеи Декарта в аналитической геометрии

Вляет собой непосредственное применение идеи Декарта в аналитической геометрии

Вляет собой непосредственное применение идеи Декарта в аналитической геометрии (смотрите высшая математика и геометрия). Если нам приходится вычислять значения функции y=f(x), то мы стараемся начертить на основании геометрических соображений кривую, выражаемую этим уравнением; затем наносим данное значение х в качестве абсциссы и строим соответствующую ординату, длина которой выражает значение у. Удобство этого метода заключается в том, что он дает также возможность по данному значению у определить соответствующее значение (или значения) х. Затруднение заключается, конечно, только в вычерчивании кривой. Этот метод применяется поэтому обыкновенно в тех случаях, когда приходится постоянно вычислять значения одной и той же или нескольких определенных функций. Вычерченная кривая представляет собой как бы графическую таблицу значений этой функции. Дальнейшее развитие этой идеи представляет собой определение величин, связанных уравнением z —=f(x, у). В этом случае каждому значению z отвечает некоторая кривая.Сообразно этому строится целая сеть кривых, соответствующих последовательным значениям z через известные интервалы; на каждой кривойу одного из ея концов отмечается соответствующее значение z. Желая с помощью этой „графики“ определить значение z, отвечающее данным значениям х, у, мы строим точку х, у и смотрим, на какую кривую или вблизи какой кривой она падает. Ясно, что этим способом молено по значениям z и х определить у, а также по значениям z и у определить х. Мы имеем возможность выяснить здесь лишь простейшие приемы графического В. Нужно сказать, однако, что более сложные приемы и практически мало применимы и часто остаются лишь свидетельством остроумия их изобретателя.

Дисциплина, специально посвященная графическим методам выражения функциональной зависимости и вычисления, называется номографией.

Из аппаратов, служащих для приближенного В., наибольшее значение имеет так называемая логарифмическая линейка. Этот прибор состоит из двух скользящих друг по другу одинаковых скал, на которых деления нанесены пропорционально логарифмам отмеченных на них чисел (фигура 7). Это значит, в начале скалы ставят не 0, как обыкновенно, а 1 (ея логарифм=0); далее, 2 ставят на таком расстоянии, чтобы оно было равно lg2 в известных единицах; 3 ставят так, чтобы расстояние (1 3) было равно lg3 в тех же единицах и так далее Чтобы при помощи логарифмической линейки помножить, скажем, 2,75 на 3,25, мы ставим начало второй скалы против деления 2,75 первой; так как сложение логарифмов соответствует перемножению чисел, то деление первой скалы, стоящее теперь против деления 3,25 второй скалы, выражает произведение. Этот прибор представляет для умножения, деления и возвышения в степень те же удобства, какие дают счеты для сложения и вычитания. Трудность изготовления счетной линейки заключается в необходимости большой точности при нанесении скалы; кроме того, на небольшом протяжении линейки трудно поместить значительную скалу. Отсюда — различныямодификации в форме линейки, расположении скал, указателей и так далее После счетов ни один аппарат не получил такого распространения, как логарифмическая линейка.

Числительные машины имеют для приближенных В. второстепенное знананесении в каждом частном случае. Мы ограничимся тем, что приведем рисунок машины Торреса (фигура 8).

Наконец, для механического решения уравнений предложено не мало чисто физических методов: весовой метод Гранта (G. Grant, 1896), в кото-

Фигура 8.

чение. Относящиеся сюда приборы имеют в виду, главным образом, механическое решение уравнений. Собственно, принципы такой машины указаны, и именно—Бегаге (Wehage, 1877), Вильямом Томсоном (1878), Торресом (1895); но трудность заключается в многообразии коэффициентов и в ихром коэффициенты отмечаются различной нагрузкой, гидростатический метод Демоне (Demonet), электрический метод Люка (Lucas). Однако, все эти приемы также служат больше славе изобретателя, чем нуждам калькулятора.

В. Каган.

□

382 есть 618. Если число А содержит и цифр, то его дополнение А= 10“ —А. Очень часто действия над числами упрощаются, если заменить данные числа дополнениями или комбинировать их с дополнениями. Так, например, тождество В—А —В - -А—10“ показывает, что фтим путем можно сводить вычитание к сложению, что очень существенно, когда приходится комбинировать много сложений и вычитаний. Но при умножении и делении также часто бывает полезно пользоваться дополнениями.

Однако, из предыдущого видно, что число приемов непосредственного точного В., имеющих значительные достоинства, очень ограничено. Не слишком большое значение имеют для точного В. и таблицы. Для точных В. употребляются таблицы двоякого рода: с одним ходом и с двойным ходом. Таблицы двойного хода— это попросту большия таблицы умножения. Множимия располагаются вертикально, множители — горизонтально (два хода); на скрещении помещаются произведения. Наилучшими из этого рода таблиц считаются А. L. Сгеиие „Rechentafeln“ (9-ое изд. 1904 г.); значительной известностью пользуются и русские таблицы Дьякова. Таолицы с одним ходом представляют собой, в сущности, только таблицы степеней. Таблицы квадратов имеют то значение, что оне дают возможность выполнять также умножение на основании формулы

(+y)2_fc-i/)2’ (2)

J 4 4

Отсюда видно, что нужны собственно не квадраты, а четверти квадратов (J. Blater, „Tafel der Viertel-Quadrate“, Wien, 1887); дроби при нечетных числителях опускаются; так как дробная часть всегда равна V и входит в оба члена выражения (2), то она не нужна. Для специальных надобностей имеются таблицы более высоких степеней. Значительное распространение в деле точного В. получили механические способы. О них и о приближенных В. см. приложение Счетные аппараты и пособия. В. Каган.