> Энциклопедический словарь Гранат, страница 103 > Всякий отрезок

Всякий отрезок

Всякий отрезок (а следовательно и вектор) определяется проекциями на три оси; поэтому и вектор может быть задан численно, но не одним числом, а тремя числами, выражающими его проекции на три оси.

При всяком изучении векториальных величин приходится определенным образом комбинировать векторы, переходить от одних векторов к другим, по некоторым данным векторам строить новые результирующие векторы: по слагающим силам приходится определять равнодействующую, по данным силам и осям приходится определять моменты этих сил и тому подобное. Все эти операции можно сводить к арифметике и к анализу, в том смысле, что проекции искомого вектора могут быть вычислены арифметически по данным проекциям исходных векторов. Так,

если X, Y. Z суть численно заданные проекции одной силы, X, Y, Z’—проек ции другой силы, то×-р X, Y + Y, Z -р Z сутй проекции равнодействующей. При более серьезных вычислф ниях этот путь осложняется в большой мере тем, что в каждом случае приходится делать три вычисления—разыскивать численно три проек ции. Даже равенство двух векторов выражается не одним, а тремя уравнениями, устанавливающ. в отдельности равенство соответственных проекций; например, чтобы выразить, что приведенные выше две силы равны, нужно написать×= X, Y=Y’, Z=Z. В целях упрощения этого процесса мы приходим к мысли производить операции непосредственно над векторами, подобно тому, как мы в арифметике производим действия над числами. Осуществление этой идеи и приводит к алгебре векторов, а дальнейшее ея развитие — к векториальному анализу.

Два вектора считаются равными, если имеют одинаковую величину и направление; иначе говоря, если отрезки имеют одинаковую длину, параллельны и обращены в одну и ту « же сторону (отрезки гЛ АА (а) и ВВ (Ь) на рисунке 1); они могут, / следовательно, отличаться один от другого только начальной точкой.

Рнс. и. Алгебра векторов. устанавливает понятия о сумме, разности, произведении и частном двух векторов, подобно тому как в арифметике устасЯ.

(е

„Я

Рисунок 2.

навливаются те же понятия в применении к числам. Положим, что намдано несколько векторов, скажем, а, Ь, с (рисунок 2). От произвольной точки А, как начальной, строим вектор, равный данному вектору а; из конечной точки А проводим вектор АВ, равный второму данному вектору Ь, из конечной точки В проводим вектор В’С, равный третьему вектору с. Вектор AC (s), идущий от начальной точки А к конечной—С, называется суммой векторов а, Ь, с и обозначается, как и в арифметике, символом s=a +Ь + с. Эту сумму векторов часто называют геометрической суммой, чтобы оттенить ея отличие от арифметической суммы чисел. Точно также, чтобы отметить, что символы а, Ь, с s означают не числа, а векторы, их обыкнов. отмечают черточками сверху или жирн. шрифт. Равнодействующая неск. сил выражается геометрической суммой векторов, изображающих слагающия силы.

Разность двух векторов а и b определяется как такой вектор с который нужно прибавить к вектору Ь чтобы получить вектор а; т. е. с=а — Ь, если α= b -р с. Легко видеть, что на рисунке 2

s=а + Ь, а потому b=s — а; и=s + с а потому с — s — s.

Основные свойства арифметической суммы, из которых разматываются все свойства суммы и разности, заключаются в так называемых пе-ремгъстительном и сочетательном законах, которые выражаются тождествами:

а -р b — b -р а; а -f (b -j- с)=(а Ь)-(- с.

Эти соотношения остаются в силе, как в этом легко убедиться, и в применении к геометрической сумме векторов. Так, на рисунке 2 мы видим, что

s=a-pb + c‘=s+c, где s=а + Ь, так что

s=(а + Ь) —[— с и в то же время

s=а -р ё“, где ё“=о 4- с так чтоё=а -Р (b ~р £),

а потомуа -р (b -Р с)=(а -р Ь) -р с-

Вследствие того, что эти основные законы остаются в силе, выражение, представляющее результат геометрического сложения и вычитания векторов, может быть подвергнуто всем тем преобразованиям, какие допустимы в так называемой алгебраической сумме. В пределах сложения и вычитания арифметика векторов формально совпадает с арифметикой чисел. Но дело обстоит сложнее при умножении. Под произведением из вектора а на положительное число а разумеют вектор (а. а), который имеет то же направление, что и вектор а, но длина которого увеличена в а раз. Под произведением из вектора а на отрицательное число — разумеют вектор а. а, повернутый на 180°, т. е. взятый в противоположном направлении. Эти произведения из векторов на числа все еще подчиняются тем же формальным законам, что и арифметические произведения. Но дальнейшее развитие тех же идей приводит нас к перемножению векторов. Установить понятие о произведении двух векторов так, чтобы такого рода произведения сохранили ва основные свойства произведения чисел, не удалось. Напротив, установлены двоякого рода произведения векторов—ска-аярное и векториальное. Каждое из этих произведений сохраняет одни свойства арифметического произведения и теряет другия.

Пусть а и b будут два вектора, и и р—числа, выражающия их длины в одной и той же линейной единице, “—угол между направлениями векторов. Под скалярным произведением векторов а и Ь, которое мы будем здесь отмечать символом а×Ь, разумеют число арСоэш.

Из этого определения непосредственно ясно, что скалярное произведение обладает свойством переместительности, т. е. что а×b=b×а; немного более внпмательное размышление обнаруживает, что скалярное произведение обладает также распределительностью, т. е. что (а-)-Ь)Хс==аХс + ЬХс- Но закон сочетательности здесь уже не приложим, т. е. соотношение (а×b)×с=а×(b×с) неимеет места. Чтобы видеть, в какой мере скалярное произведение векторов отличается от арифметического, достаточно заметит, что оно обращается в нуль всякий раз, как перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны; между тем арифметическое произведение никогда не обращается в нуль, если ни один из множителей не равен нулю.

Если материальная точка движется по прямой линии и пробегает вектор Ь, а в числе действующих на точку сил какая - либо остается постоянной и выражается вектором а, то работа этой силы на уисазанном пути выражается скалярным произведением а×b. Эта сила не производит работы на этом пути, если она остается перпендикулярной к траектории; скалярное произведение равно нулю.

Под векториальным протведением а. b вектора а на вектор b разумеют вектор, определенным образом составленный по данным векторам а и b. Именно, длина этого вектора выражается числом ае sin ы; направлен же он перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а и b, и при том так, что наблюдатель, стоящий вдоль вектора а и смотрящий на вектор Ь, видит произведение с направленным слева направо (рисунок 3). Из этого опре-делен. видно, что вект. с имеет одинак. длину, выражает ли он произведение а. b или b. а; но согласно указанной ориентировке он будет во втором случае направлен не в ту сторону, как в первом, а в противоположную; иными словами, а. Ь=— b. а. Векториальное произведение таким образом не обладает переместительностью; но свойство сочетательности и здесь остается в силе, т. е. (а -(- Ь). с== а.. с + b. с.

Но указанное отступление уже корен-

ным обр. отражается на дальнейшем развитии операций над векторами.

Как бы на смену нарушенных тождеств обыкновенной арифметики здесь появляются новия своеобразные соотношения, например, замечательное тождество Якобиа. (Ь. с) -f- b. (с. а) -j- с. (а. b)=О.

Эти новия свойства, сплетаясь с сохранившимися обычными свойствами суммы, разности, произведения, частного, и составляют своеобразную арифметику или, как принято не совсем правильно говорить,—алгебру векторов. Но отсюда только один шаг к анализу.

Как мы различаем постоянные и переменные величины, выраженные численно, так можно различать также постоянные и переменные векторы. Представим себе постоянную точку О (начало) и движущуюся — А; тогда каждому положению точки А будет соответствовать определенный вектор ОА—ея радиус-вектор; этот вектор будет, очевидно, меняться с положением точки А, это перемгънный вектор. Если точка А описывает кривую, и s есть скаляр — число, выражающее длину кривой от некоторой постоянной точки Ао, то при движении точки А изменяется s, и каждому значению s отвечает определенный радиус-вектор ОА (е) (рисунок 4). Векторг являет-X оя функ-

f цией скаляра s ;f= f(s). Вообще, относя каждому значению некоторого скалярного переменного s вектор г, мы приходим к функциональной зависимости между вектором и скаляром. Изучение этой зависимости составляет предмет векториального анал. подобно тому, как обьик-жвенный анализ изучает численно затанные функции. Если вектор е есть функция скаляра s, то три его щоекции — вернее, числа х, у, z, выражающия длины этих проекций—также суть функции от s и векториальная зависимость f=f (s) эквивалентна трем числовым зависимостям x=g(s), y=h(s), z=k(s).