> Энциклопедический словарь Гранат, страница 131 > Высшая яиатетатика

Высшая яиатетатика

Высшая яиатетатика. Это название принадлежит тем отделам математических знаний, которые стали развиваться с перьой половины ХВП века, благодаря идеям Декарта, Ньютона, Лейбница и целого ряда их великих последователей.

Математика вообще (и элементарная, и высшая) есть наука о величинах. Между величинами, которые мы встречаем как в теоретических соображениях, так и при изучении природы, мы различаем два различных класса: одне величины—постоянные, другия—переменные. Первия из них по существу дела проще вторых. Поэтому понятно, что внимание древних геометров было обращено на величины постоянные. Однако, как непосредственное наблюдение, так и изучение внешнего мира приводит нас к сознанию, что постоянных величин в природе очень мало, даже почти нет. Вокруг нас все непрерывно меняется, только с большей или меньшей скоростью: с течением дня меняется яркость солнечного света, меняется температура и давление атмосферы, земля непрерывно движется около солнца и вместе с солнцем участвует в более сложном мировом движении; едва ли во всей вселенной найдется одна неподвижная ма-терьяльная точка. Эти изменения переменных величин происходят не случайно; они связаны между собою определенными законами. Меняя одну из величин, мы замечаем, что при этом и некоторые другия связанные с ней величины меняются, подчиняясь каждый раз одному и тому же определенному правилу. Так, сжимая газ под поршнем воздушного на

coca, меняем его давление и температуру; нагревая металлический стержень, меняем его длину; вводя новое сопротивление в гальваническую цепь, меняем силу тока и так далее Переменная величина, которая меняется по определенному закону при изменении другой, называется функцией этой другой величины, а эта последняя называется аргументом, или независимым переменным функции. В приведенных выше примерах давление газа мы назовем функцией его объёма; длину данного металлического стержня назовем функцией его температуры, и так далее Функция может зависеть от одного или нескольких аргументов: например, давление данного количества газа есть функция объёма и температуры; сила тока есть функция электродвижущей силы и сопротивления и так далее Понятие о функции есть основное понятие, присутствие которого составляет отличительную черту В. м. от элементарной. Это уясняет одну из причин, почему древние так мало подвинули вперед изучение природы: им было чуждо понятие о функции; их математические методы давали возможность решать простейшие вопросы о площадях, объёмах, о свойствах некоторых линий, о равновесии тел. Для того, чтобы создать теорию движения и тех изменений, которые происходят в природе, нужны были новия понятия и связанные с ними методы. В. м. стремится выразить функциональную зависимость между переменными величинами помощью формул, изучить свойства этих функций помощью особых методов, составляющих содержание так называемого математического анализа, и уяснить их конкретно помощью наглядных геометрических образов. Преследуя свои отвлеченные теоретические цели, она в то же время дает натуралисту в руки сильное орудие для изучения природы, а технику позволяет овладеть этой природой и заставить еф служить для практических нужд человека. То широкое развитие техники, которым мы теперь пользуемся, есть результат приложения блестящих успехов, достигнутых в области математического анализаи естествознания в два последния столетия.

Самое слово функция было введено в математику Лейбницем в 1692 г. Но понятие, соответствующее этому названию, вырабатывалось постепенно еще раньше, как это часто бывает в науке. Для полного уяснения нового понятия недоставало простого геометрического образа, который придал бы ему наглядность. Геометрия была доведена еще древними математиками до высокого совершенства; к началу XVII века уже значительно подвинулась вперед разработка алгебры. Но эти две науки не были между собою связаны общей идеей: геометрия того времени требовала большого напряжения воображения, алгебра была совершенно отвлеченною наукою. По словам Декарта, он задался мыслью исправить недостатки одной науки достоинствами другой. Это сближение геометрии с алгеброй было им осуществлено в 1637 году и послужило толчком к возникновению и быстрому развитью В. м. Новая наука, созданная Декартом, получила название аналитической геометрии.

Сущность метода аналитической геометрии заключается в том, что положение каждой точки на плоскости чертежа определяется помощью двух числовых величин, называемых координатами этой точки. Этой цели можно достигнуть различными способами, так что могут существовать разнообразные системы координат. Наибольшее применение имеет самая простая из этих систем, принадлежащая Декарту. Берем в плоскости чертежа две произвольные, но определенно выбранные пересекающияся прямия Ох и Оу (чертёж 1), называемия осями координат. Оне разделят плоскость на 4 части, сходящияся в точке пересечения осей О, называемой началом координат. Эти части плоскости называются по порядку: первая, вторая, третья, четвертая, как показано на чертеже 1. Возьмем сначала точку М где-либо в 1-ой части плоскости. Проводим через нее прямую MN, параллельную оси у, до пересечения с осью х в точке N. Числовия величины отрезков ON ч NM будут ко-

312

ординатами точки М. Величина ON называется абсциссою, NM называется ординатою точки М. Первая из них обозначается буквою х, а вторая—у.

Всякой точке первой части плоскости соответствует определенная пара положительных величин координат х и у. Обратно, каждой паре положительных чисел х, у соответствует определенная точка 1-ой части плоскости. Для определения положения точек других частей плоскости условились ввести такое же правило знаков, как в тригонометрии при определении тригонометрических величин дуг различных четвертей окружности: отрезки оси х, откладываемые вправо от О считаются положительными, влево—отрицательными; отрезки, параллельные оси у, откладываемые вверх от оси х, считаются положительными, а вниз—отрицательными. Тогда всякая без исключения точка плоскости будет иметь определенную пару величин координат, и обратно, каждой паре величин координат будет соответствовать определенная точка плоскости. Если угол между осями х и у прямой, то координаты называются прямоугольными; в противном случае оне косоугольные. Наибольшую простоту и применение имеют прямоугольные Декартовы координаты.