> Энциклопедический словарь Гранат, страница 148 > Где а есть переменная

Где а есть переменная

Где а есть переменная, как говорят, параметр, значение которого совершенно не зависит от зпачепия координат. Если мы дадим параметру а определонное численное значение, то уравнение (46) тотчас примет обычпую форму / (х, у) — О, то есть выразит некоторую кривую на плоскости. Каждому значению параметра а отвечает таким образом определенная кривая; совокупность этих кривых и образует семейство кривых.

В дальнейшем мы будем иметь в виду исключительно семейства кривых этого рода, т.-с. зависящия от одного параметра. Такое семейство представляет собой совокупность концентрических окружностей (отличаю, щнхея одна от другой, следовательно, только значением радиуса), совокупность софокусных эллипсов (то есть имеющих общие фокусы и отличающихся только эксцентриситетом) и тому подобное. Па фигура 30 между двумя жирными окружностями изображена окружность ра-лиуса Ии; из каждой точки этой окружности описана окружность меньшого, по постоянного радиуса г; совокупность этих малых окружностей об-раз. семейство кривых.

Еслп мы возьмем две, как говорят, смежные кривия семейства, т.-с. две весьма близкие кривия (параметры которых между собой весьма мало отличаются), то оне обыкновенно пересекаются в одпой или нескольких точках. Так, например, окружности С и С иа фигура 30 пересекаются в точках Р и Q. Если теперь, сохраняя неподвижной одну из этих двух кривых, будем неограниченно приближать к пей другую кривую семейства, то эти точки пересечения обыкновенно неограниченно приближаются к пекоторым неопределенным предельным положениям. Так, например, когда окружпость О неограниченно приближается к С% то точки Р и Q’ стремятся к предельному положению Р и Q. Таким образом, на каждой кривой семейства получаются определенные точки, представляющия предельные положения точек их пересечения со смежными кривыми. Геометрическое место этих точек представляет собой огибающую дап ного семейства кривых. Для семейства, изображенного на фигуре 30, огибающая состоит из двух окружностей радиусов Л- -г и Л—г. Как мы видим на чертеже, эта огибающая касается всех окружностей огибаемого семейства. Это явление общее: огибающая всегда касается в общей точке той из огибаемых, которую она в этой точке встречает. Эволюта, как мы уже упомянули выше, есть пе что иное, как огибающая семейства нормалей в эвольвенте. Учение об огибающих играет значительную роль в прикладной математике, в особенности в мехапике, в учеиии о зацеплениях.

Мы полагаем, что мы в достаточной мере выяснили характер тех задач, связанных с предельным переходом, которые решаются дифференциальными методами в применении к плоским кривым. Исчерпать же этот материал здесь все равно невозможно. Мы переходим поэтому к кривым двоякой кривизны и здесь мы будем еще кратче.

Кривая называется кривой двоякой кривизпьт, есди

быстрее и изящнее, они больше отвечают духу геометрии. Таким образом чистая геометрия сохранила своих сторонников, ставивших себе задачей обработать синтетически тот материал, который выдвинула аналитическая геометрия. В этой широкой постановке задача, однако, не получила разрешения. Хотя Штейнеру и удавалось справляться средствами классической геометрии с труднейшими задачами вариационного исчисления, но эти работы остались изолированными, так сказать, случайными. Но сторонники чистой геометрии «сумели выделить дисциплину, которая не только исчерпывается синтетическими методами, но вовсе не нуждается в понятии о числе и о величине,—дисциплину, в которой принцип „geometria geometrice“ проведен до крайних пределов. Развитие этой дисциплины относится к концу XVIII и началу XIX столетия, а творцами ея должны быть признаны два французских математика—Понсле (Poncelet) и Шаль (Chasles) и два немецких—Мёбиус (Mobius) и Штейнер (Steiner); в руках Штаудта (в. Staudt) и Рейе (Reye) опа получила свое завершение. По преобладанию в пей метода проектирования опа получила название „проективной геометрии“; по принятое позже название „геометрии положения“ ((ieometrie der Lage) более соответствует содержанию дисциплины. В современном своем развитии она владеет средствами, во многих частях заменяющими методы аналитической геометрии; она послужила руководящей нитью для развития так называемой „новой алгебры“.

поверхность), М произвольная точка. Если прямая ОМ встречает образ S в одной точке Мто эта точка называется проекцией точки М на образ S из центра 0. Если мы возьмем в одной плоскости две прямия MNPQ и MNPQ (фнг. 41), то мы можем каждую точку первой прямой проектировать из любого центра О, расположенного в той же плоскости, на вторую прямую. Таким образом каждой точкЬ первой прямой устанавливается соответствующая точка второй прямой; это соответствие называется перспективой. Устанавливая это соответствие, мы смотрим на каждую прямую, как на ряд точек, и каждой точке одного ряда относим точку другого ряда {и обратно. Перспектива сводится к тому, что прямия NN, PPr QQсоединяющия соответственные точки, сходятся в одной точке 0, в центре проекций.

Совершенно аналогично тому, как здесь установлено нерспект. соответствие между точками двух прямых, может быть установлено также соответствие между двумя плоскостями; это е сделано в рубр. 4 отдела И-го. Перспектива занимала геометров очень давно в связи с вопросами, которым посвящен отдел×(смотрите ниже).

Уже в XVII столетии французский математик и архитектор Дезарг опубликовал впервые трактат о перспективе (G. Desargues, „Traite de la section perspective“, 1636), оказавший большое влияние на развитие идей Понсле и Шаля. Но два обстоятельства играют особенно важную роль.

Фигура 41.