> Энциклопедический словарь Гранат, страница 145 > Геометрия

Геометрия

Геометрия, наука о пространстве и пространственных образах. Г.—мать точного знания; ея развитие коренным образом отражалось на развитии математики, механики и научной техники, с одной стороны,—философской мысли и теории познания, с другой стороны. Мы здесь дадим поэтому краткий очерк истории развития Г., но мы считаем целесообразным не обособлять совершенно истории от самого геометрического материала и поэтому, заканчивая крупные периоды.

которыми завершались отдельные дисциплины, будем делать обзор этих дисциплин по существу.

I. История классической Г. Установить сколько - нибудь точно место и эпоху возникновения Г., конечно, совершенно невозможно. Греческие авторы согласно признают родиной Г. Египет. Но успехи, сделанные в истекшем столетии ориентологией, привели к заключению, что вавилоняне и китайцы владели не меньшими сведениями в области пространственных соотношений, нежели древние египтяне. Халдеи не оставили по Г. цельного трактата, но их постройки, ориентировка их обсерваторий, многочисленные отрывки в дешифрированных документах, особенно акты о продаже земельных участков, свидетельствуют, что вавилоняне умели с значительной точностью производить измерения, владели простейш. межевыми приемами и даже умели производить геометрич. построения; из Ассирии происходит 60-тиричн. деление градуса и связанн. с ним 60-ти-ричное счисление (смотрите счисление). У китайцев сохранился даже трактат „Нулей“, который они считают источником математических познаний всего мира; первая часть этого сочинения относится к XII—XI столетью до Р. X., а вторая, посвященная астрономии, к IV—П1 веку до Р. X. В действительности, однако, содержащияся здесь сведения по Г. незначительны: предложение, что треугольник со сторонами 3, 4, 5, имеет прямой угол и что эти числа связаны пифагоровым соотношением З2 + 42=52, есть важнейший из содержащихся в нем фактов.

Относительно возникновения Г. у египтян Геродот рассказывает следующее: „Сезострис произвел деление земель, отмежевав каждому египтянину участок по жребию; сообразно этим участкам с их владельцев изымались ежегодно налоги. Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров, они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог. Вот откуда возникла Г. и перешла изэтой страны в Грецию“. Но мы имеем и более точные сведения о египетской Г. по папирусу Ахмеса {см.). Здесь среди арифметических вопросов разбросаны и геометрические задачи, сводящияся, главным образом, к измерению земельных участков. Но все эти вычисления производятся с грубым приближением; так, например, для определения площади равнобедренного треугольника Ахмес умножает его основание на половину боковой стороны; та же ошибка делается при определении площади равнобочной трапеции. Впрочем, в определении площади круга Ахмес подходит весьма близко к истине: чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, по правилу Ахмеса, нужно за сторону квадрата принять диаметр круга, уменьшенный на Вэ его часть; это соответствует значению тг= 3,16 Ахмес занимается также вычислениями, относящимися к пирамидам и другим простым телам. „Эту практическую Г. египтянъ“, говорит Ф. Кэджори, „едва ли можно назвать наукой. Напрасно стали бы мы искать в ней теорем и доказательств или логической системы, основанной на аксиомах и постулатахъ“. Эти зачатки Г. были перенесены в Элладу и греческим гением претворены в цельную науку.

Помимо отдельных отрывков у греческих философов и историков и помимо сохранившихся математических сочинений, единственным источником наших сведений о ходе развития Г. у греков являются комментарии Прокла (V ст. п. Р. X.) к первой книге „Началъ“ Евклида; они начинаются историческим введением, главными первоисточниками для которого, повидимому, служили не дошедшая до нас история греческой Г. Ев-дема Родосского, комментарии Герона, Порфирия и Паппа.

Первым геометром Греции греческие авторы согласно называют первого из семи мудрецов древности— Фалеса Милетского (VII — VI ст. до Р. Хр.). Различные авторы приписывают ему, однако, различные предложения. По мнению П. Таннери, одногоиз. наиболее глубоких знатоков греческой Г., Фалес, быть может, и владел кое-какими теоретическими сведениями, но его вряд ли можно действительно считать отцом Г., как это склонны делать некоторые авторы. Нити первого зарождения научной Г. совершенно теряются в мифической древности, и Пифагор (смотрите) является первой исторической личностью, имя которого неразрывно связано с Г.

Как известно, Пифагор и его последователи не распространяли своих открытий в письменной форме; сведения о пифагорейской Г. мы поэтому имеем также из вторых и даже третьих рук. Эти сведения крайне отрывочны, но очень характерны: они обнаруживают, что в конце VI века до Р. X. Г. достигла уже в Греции значительного развития. Пифагору приписываются, в первую очередь, две основные теоремы Г.: о сумме углов в треугольнике и о соотношении между квадратами, построенными на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника. Значение этих предложений так велико, что ими, по существу, определяется вся дальнейшая Г.; недаром Пифагор, по преданию, ознаменовал гекатомбой свое последнее открытие, Пифагору приписывается также предложение о том, что плоскость можно сплошь покрыть правильными треугольниками, квадратами и шестиуго льниками; Пифагор умел строить фиГУРУ> подобную данной. Правильный пятиугольник служил излюбленной эмблемой пифагорейцев; но для построения правильного пятиугольника нужно уметь производить деление отрезка в среднем и крайнем отношении, нужно владеть, следовательно, значительно разработанной теорией пропорций. Пифагорейцам были известны четыре правильных многогранника: тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр; склонные к мистическим представлениям, пифагорейцы принимали эти тела за символы четырех стихий (по порядку, огня, земли, воздуха и воды); когда позднее был открыт правильный додекаэдр, то за отсутствием пятой стихии—он был принят за символ оболочки вселенной. Но, быть может, самое замечательное открытие Пифагора это—существование иррациональных величин; ключем к этому открытью служила, конечно, связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Сведения о пифагоровой Г. отрывочны, так как разрознены источники, из которых мы их почерпаем; но сказанного достаточно, чтобы видеть, как значительны уже были в ту пору сведения из различных отделов Г. и как велик был вклад, внесенный в эту науку пифагорейца-ми. Проследить шаг за шагом развитие отдельных частей Г. в эту отдаленную эпоху невозможно. Не подлежит сомнению, что над задачами Г. в то время уже размышляли многие мыслители, имена которых до нас не дошли и результатом коллективного творчества которых и явилась классическая Г. В Y веке до Р. Хр. Гиппократ Хиосский сделал уже первую попытку объединить накопившийся материал в одну систему: он написать первия „НачалаГ.“. Гиппократ, стоявший вне пифагорейской школы, сделал и собственный значительный вклад в Г.: ему принадлежит, повидимому, предложение о пропорциональности площадей круга квадратам их радиусов; это предложение привело его к квадратуре знаменитых луночек, по настоящее время носящих его имя. Повидимому, это открытие было сделано в связи с первыми поисками квадратуры круга,—исторической проблемы, которая уже в то время занимаиа умы (смотрите квадратура) рядом с задачами об удвоении куба и трисекции угла.

Вся история математики представляет собой систематическое чередование периодов фактических открытий и логической разработки накопившагося материала. Эпоха расцвета греческой философии, главным образом, школа Платона, была первым периодом тонкого логического анализа накопившагося геометрического материала. В глазах Платона этот анализ представлял собою школу, которую должен был пройти каждый философ; с этого времени и по наши дни изучение Г. становится одной из глав-

11“

ных составных частей общого образования, имеющей задачу дисциплини-рование ума. Определения основных понятий, различные выводы и доказательства теорем, решение конструктивных задач, систематизация материала, составление обзоров развития Г. — таков главный характер геометрических работ в школе Платона. К этому периоду (хотя и не к этой школе) относится и Евдокс из Книды, создавший замечательную теорию пропорций, которую Евклид позже воспроизвел в своих „Началахъ“; несколько позже (IV ст.) жилъМенэхм, сделавший один из величайших вкладов в Г.: он открыл конические сечения.

Завершение этой логической разработки накопившагося геометрического материала переносит нас в Александрию, которая в середине IV столетия до Р. Хр. становится центром интеллектуальной жизни античного мира. Великому Александрийскому ученому, Евклиду, выпало на долю заполнить пробелы и завершить систематизацию основ Г. Как мы уже упоминали выше, первая попытка объединить геометрический материал в одном руководстве была сделана Гиппократом Хиосским; после него писали „Начала“ Феатет, Лев и др.; но ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они были забыты, когда появилось одно из замечательнейших научных произведений, которое когда-либо было написано, „Еи/.Хеийоо Етоихеиа“ — „Начала Евклида“.

Об авторе этого сочинения нам известно очень мало; расцвет его деятельности совпадает, повидимому, с периодом царствования первого Птолемея (305—283 до Р. Хр.). В историческом отрывке, сохранившемся в передаче Прокла (смотрите выше), деятельность Евклида очерчена следующими словами: „Не многим моложе последнего (Филиппа, ученика Платона) был Евклид, который составил „Начала“, собрал в одно целое многое, принадлежавшее Евдоксу, закончил многое, начатое Феатетом, и дал неоспоримия доказательства тому, что было слабо доказано его предшественниками“.

Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал замеч ательную геометрическую систему, которая оставила далеко за собой все, что было написано в этом направлении до него, и конкурировать с которой не решился ни один из греческих геометров, живших после него. О a-rotxEtonij; (Составитель Начал)— сделалось собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его „Начала“ сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились Г. юноши и взрослые. На этом центральном сочинении, вокруг которого сосредоточено все дальнейшее развитие Г., мы не можем не остановиться подробнее.

Большое распространение, которое получили „Начала“, создало множество списков, далеко не тождественных, и восстановить точный текст Евклида представляло нелегкую задачу. Лучшим в настоящее время считается издание Гейберга (смотрите ниже).

„Начала“ состоят из 13 книг, которыя, однако, не все посвящены Г. Книги VII, VIII и IX посвящены теории чисел, как говорят одни, арифметике, как—по нашему мнению, правильнее—говорят другие (смотрите Арифметика, III, 449). Книга V представляет собой как бы связующее звено между Г. и арифметикой; она содержит теорию пропорций. Книга×посвящена теории иррациональных величин. Эти пять книг, менее известные, чем остальные, чисто геометрические, представляют собой, быть может, наиболее замечательную часть сочинения: в такой мере глубок анализ, в такой мере тонки вопросы, которые автор себе ставит. Трудности в теории иррациональных величин, в теории отношений несоизмеримых величин, которые склонны обходить многие математики нашего времени, которых многие даже не замечают, совершенно ясны Евклиду; и нельзя достаточно надивиться тому умению, с которым Евклид справляется с этими вопросами. Так сильна была у греков способность к отвлеченному мышлению.

Обратимся, однако, к геометричесжим книгам. Книга первая содержит условия равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника, теорию параллельных линий, свойства параллелограммов, у словия равновеликое™ треугольников и многоугольников и заканчивается з адачей о превращении всякого многоугольника в равновеликий ему треугольник. Книга вторая доводит тот же вопрос до превращения всякого треугольника в равновеликий ему квадрат. Попутно Евклид в геометрической форме доказывает ряд тождеств, которые мы так просто доказываем теперь алгебраически,— например: аЬ-{-а (а—b)=а2 (теор. 2), аb=Ь(а—b)- -b2 (теор. 3) и так далее

Книга третья посвящена окружностям: здесь рассмотрены главныясвойства окружности, относительное положение двух окружностей, а также прямой и окружности, соотношения между центральными и вписанными углами. Книга четвертая трактует о вписанных и описанных многоугольниках. Книга шестая содержит теорию подобия многоугольников и, в связи с этим, теорию площадей прямолинейных фигур. Заметим при этом, что Евклид не дает алгебраических выражений для площадей параллелограмма, треугольника и тому подобное.; он ограничивается только тем, что устанавливает отношения между соответствующими площадями. В сущности, к этому и сводится вопрос об измерении фигур. Одиннадцатая и двенадцатая книги содержат начала стереометрии, теорию объёмов многогранников и основных тел вращения. Наконец, книга тринадцатая рассматривает правильные многогранники.

Сопоставляя этот материал с тем, что было сказано выше об успехах греческой Г., мы видим, что „Начала“ отнюдь не содержат всего геометрического материала, которым греки в то время владели. Это—введение в Г., это—ея элементы, это—„элементарная Г.“, как мы ее понимаем по этой день.

Таково содержание „Началъ“Евклида. Теперь обратимся к способу изложения.

Каждая книга начинается рядом определений всех тех понятий, которые в этой книге появляются. Первая книга начинается 23 определениями. За ними следуют постулаты (аитт)у.ата) и ЯКСИОМЫ (хенваи £вчоиаи). Далее следуют одно за другим, безо всяких связующих рассуждений, предложения. Каждое предложение формулируется, затем указывается, что дано и что требуется доказать; далее следует доказательство с ссылками на предыдущия предложения, определения, постулаты и аксиомы. Наконец, каждое доказательство заключается словами „отар tSf. SdSai“ (чх0 и требовалось доказать), каждое построение (решение задачи) словами „отор I8si 7io.T)<jat“ (что и требовалось сделать).

Для Евклида нет мелочей; все детали доказательств, необходимость которых он умеет усмотреть, даже наиболее легкия, он излагает с тем же спокойствием, с каким он относится к наиболее трудным вопросам. С невозмутимым терпением он всякий раз одинаково подробно разбирает все случаи, которые могут представиться при доказательстве той или иной теоремы. Он старается предупредить каждый вопрос, каждое сомнение, которое может возникнуть у читателя.

Как руководство по Г., „Начала“ вытеснили все другия сочинения того же рода; но нужно иметь в виду, что это не элементарный учебник; это своего рода лекции, которые читались в Александрийской вышней школе. Но позже „Начала“ перерабатывались для юношей, и тот именно материал, который вошел в книгу Евклида, с непосредственно примыкающими дополнениями получил наименование „элементарной Г.“, установившееся и сохранившееся поныне.

Кроме „Началъ“, Евклид написал еще ряд других сочинений, из которых в чистом виде до нас дошли два—„Данныя“ и „Оптика“. Судя по этим сочинениям и отрывочным сведениям, которые дошли до наст> об остальных (смотрите Евклид), одни из них, например, „Данныя“, „По-ризмы“, „Псевдарии“, представляли, главным образом, дальнейшую лоизвестно, представляет собой среднюю пропорциональную между отрезками диаметра, то есть CD=АС. АС; выражаясь языком древних, это значит, что квадрат, построенный на С/), всегда равновелик прямоугольнику, построенному на отрезках АС а А С. Можно поэтому сказать, что при данных точках Л и А геометрическое место точек D, для которых квадрат, построенный на CD, будет равновелик прямоугольнику АС У, АС, есть окружность.

Если же мы теперь поставим себе задачей разыскать геометрическое место точек D, для которых квадрат, построенный на CD, будет не равен прямоугольнику АСУ А С, а будет составлять некоторую его часть, скажем п—ую, так что

CD =

АС. АС

(1)

то каждая точка D ляжет ближе к диаметру А А, нежели D, а геометрическое место точек I) образует некоторую овальную кривую—$ллипс. Центр окружности 0 называется также цептром эллипса; диаметр АА называется большою осью эллипса (ея длипу мы будем, согласно установившемуся обычаю, обозначать через 2а); перпендикулярный диаметр ВВ (26) называется малой осью эллипса. Применяя соотношение (1) к отрезку OB, будем иметь:

OB =

ОА. О А

п

Для упрощения последнего соотношения положим п=ш2, так что соотношение (1) примет вид

CD =

СА

СА Вп- >

-(2)

тогда 6=а : т.

Если бы мы искали геометрическое место точек D таким о( разом, чтобы площадь квадрата CD2 также сохрапяла постоянное отношение к площади прямоугольника АС. АС, но была бы больше этой последней, то мы также получили бы эллиис, только в пем диаметр АА был бы малой осью; соотношение (2) оставалось бы в силе, но число т было бы правильной дробью.

Положим теперь, что лам дан тот же отрезок АА (фигура5); взяв точку С не между А и А, а па продолжении отрезка А А, будем вновь искать геометрическое местоточек D так. обр., чтобы площадь квадрата CD- составляла т“-ую часть площади прямоугольника АО. А С, то есть, чтобы попрежнему оставалось в силе соотношение (2). Теперь с удалением точки С расстояние CD будет постоянно возрастать, геометрическое место точек D составит разомкнутую линию—гиперболу; эта кривая состоит из двух симметричных веток, так как точку С мы можем брать по одну или по другую сторону отрезка. Здесь диаметр АА(2а) называется действительною осью гиперболы, потому что оп действительно пересекает кривую в двух точках А и А. Перпендикулярная же к нему прямая В В кривой не пересекает; ее называют поэтому мнимою осью, я последней приписывают даже длину 26, где, как и в случае эллипса, b=а:т.

Эти древнейшия определения эллипса и гиперболы „но постоянному отношению площадей“4 аналогичны для обеих кривых. Для параболы полнота аналогии несколько нарушается. Здесь задача ставится так: на некоторой прямой АС (оси) (фигура 6) будем выбирать произвольно точку С, а пачальпую точку А фиксируем; на перпендикуляре CD выберем точку D таким образом, чтобы квадрат, построенный па CD, был равновелик прямоугольнику, построенному на АС и на постоянном отрезке AR, то есть чтобы

GD=zAC. AR;(3)

Геометрическое место точек D представляет собой ра-зомкпутую кривую—параболу. Этими определениями конических сечеиий пользуется, между прочим, Архимед, и их поэтому часто называют Архимедовыми определениями конических сечении. Доказать, что определяемия этими свойствами геометрические места совпадают с сечениями конуса, было трудной задачей, разрешение которой представляет один из перлов античной геометрии; вокруг этой задачи и сосредоточивалась теория конических сечений древних. Евклид первый написал целый трактат о конических сечениях. По подобно тому, как все руководства по элементарной геометрии стушевались и были забыты после появления „Началъ“ Евклида, так его собствеппое сочинение о конических сечениях потеряло значение после появления замечательного трактата Аполлония „О коническихсеченияхъ“. Этот трактат имеет по отношению к эгоку высшему отделу классической геометрии то же значение, какое „Начала“ Евклида имеют по отношению к элементарной геометрии.

Аполлонии начинает с нового определения конических сечений, действительно объединяющого все три кривия в одной общей идее; чтобы ее отчетливо выяснить, возвратимся к фпг. 6 и введем следующую простую терминологию. Исходную прямую АС будем называть осью. Из пр< извольной точки С этой оси был восстановлен перпендикуляр CD; квадрат, построенный па CD, мы будем пазывать первым квадратом; квадрат, построенный на АС, вторым квадратом. Прямоугольник, построенный на АС и постоянном отрезке АН, мы будем называть вспомогательным прямоугольником. Тогда приведенное выше определение параболы сводится к следующему: парабола представляет собою геометрическое место точек D, выбранных таким образом, что площадь первого квадрата равна площади вспомогательного прямоугольника. Исходя из этой идеи, Аполлоний ищет геометрическое место точек D таким образом, чтобы площадь первого квадрата превышала площадь вспомогательного прямоугольника и при том па величину, пропорциональную площади второго квадрата; полученная таким образом кривая есть гипербола. Если же площадь первого квадрата меньше площади вспомогательного прямоугольника на величину, также пропорциональную второму квадрату, то соответствующая кривая будет эллипс. Это различие и выражается по-гречески самыми названиями кривых, также принадлежащими Аполлонию. Пользуясь современными обозначениями, мы можем сказать, что все конические сечения определяются условием:

CU1 — Aft. AC+hAC..(4)

При положительном значении h кривая представляет собою гиперболу, при отрицательном—эллипс, а при Н— О—параболу. Задача Аполлония заключалась прежде всего в том, чтобы обнаружить тождество этих кривых с теми, которые соответствуют Архимедовым определениям, и с плоскими сечениями, конических сечений. По здесь Аполлонии идет даль-шф — оп показывает, что нет необходимости брать остроугольный, тупоугольный и прямоуголь ный конусы для получения трех кривых. Для этого достаточно только надлежащим образом выбирать наклон секущей плоскости к образующей конуса. Мы выясним это несколько иначе, чем это сделаноу Аполлония, если представим себе (фигура 7) круглый конус о двух полах, то есть неограниченно продолженный в обе стороны. Если мы такую коническую поверхность рассечем плоскостью, встречающей только

одну полу и непараллельной ни одпой образующей, то мы получим в сечении замкнутую кривую—эллипс; этот эллипс обращается в круг, когда сечение перпендикулярно к оси. Когда плоскость становится параллельной одной из образующих, кривая размыкается, и мы получаем параболу. Наконец, когда плоскость наклонена к оси настолько, что она встречает уже I обе полы, мы получаем две разомкнутия ветви, составляющия в совокупности гиперболу.

Если мы из вершины малой оси эллипса ВБ (фигура 8) опишем окружпость радиусом, равным большой полуоси, то эта окружность пересечет ось А А’ в двух

точках Fa F, которые Кеплер позднее назвал фокусами (у Аполлония оне носят громоздкое название). Из построения этпх точек следует, что FB’ + F В=FA+FA=Ft А + F Л=FA+F А=2а (5) Это свойство принадлежит, однако, всякой точке эллипса; именно, для всякой точки С эллипса сумма ея расстояний от фокусов (FC -f- F С) равняется большой оси (2а). Мало того, этим свойством эллипс вполне определяется: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых о»пг двух пеподвижпых точек (фокчсов) имеет постоянную величину. Такие же две точки есть в гиперболе; оне расположены с впутренпей сторопы каждой ветки (фигура 9) и обладают аналогичным свойством: разность расстояний каждой точки кривой от фокусов представляет собой постоянную величину, равную длине действительной оси; иперболы:

FC - FC=2a(6)

и здесь эго свойство в таком же смысле может служить для определения кривой: гипербола представляет собой геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух неподвижных точек есть величина постоянная. французский математик Кетле (Quetelet, XIX ст.) показал, в какой связи стоят эти точки с сечениями конуса. Если мы впишем в коническую поверхность шар таким образом, чтобы оп касался также секущей плоскости, то точкой касания будет служить фокус (фигура 10). Если плоскость не параллельна образующей, то таких шаров будет два —им соответствуют два фокуса. Когда же плоскость параллельна образующей, то есть только один такой шар, —парабола имеет только одип фокус.

Однако, приведенные выше фокальные свойства эллипса и гиперболы по распространяются па параболу. Но греческий геометр Папп, живший в III веке после Р. X., указал другое замечательное свойство фокусов, легко распространяющееся также и на параболу. Именно, он показал, что каждому фокусу отвечает пекоторая прямая, которую гораздо позже, французский математик Д.слагир (De la Hire, XVII ст.) назвал направляющей, или директрисой этого фокуса. Все конические сечения обладают тем свойством, что отношение расстояний каждой точки кривой от фокуса и от директрисы есть величина постоянная.

Расположение директрис относительно фокусов видно па рисунок 6, 8 и 9, где оне отмечены через GH и G’W. На всех кривых оказывается постоянным отношение EF: EG; но в случае гиперболы это отношение оказывается больше 1, в случае параболы опо равно 1, в случае эллипса оно меньше 1. Вместе с тем мы получаем следующее общее определение конического сечепия: коническое сечение есть геометрическое место точек, для каждой из которых отношение ея расстояний от некоторой неподвижной точки (фокуса) и от неподвижной прямой (директрисы) есть величина постоянная. В эллипсе и гиперболе вто отношение равпо также отношению расстояния между фокусами к большой оси; это число Кеплер назвал эксцептрисгите-том копического сечения; таким образом в эллипсе эксцентриситет представляет собою правильную, в гиперболе — неправильную дробь; когда эксцентриситет эллипса уменьшается, кривая становится все более похожей на окружность; в окружности фокусы совпадают, эксцептриситетт обращается в нуль. Напротив, если в гиперболе эксцентриситет пачпнает возрастать, то ветки гиперболы становятся все менее и менее искривленными я приближаются друг к другу. Это соответствует тому, что секущая плоскость, оставаяс параллельной самой себе, приближается к вершине конуса; в момент, когда плоскость переходит через вершину, обе ветки соединяются, и гипербола выро ждается в две прямия — две образующия конуса.

Фокусы конического сечения в приложениях математики играют важную роль в следующем отношении. Если мы соединим любую точку С кривой с ея фокусами (фпг. 8 и 9), то пормаль MN (или перпендикуляр, смотрите ниже отдел VI) к кривой в точке С делит угол между FG~a F С пополам. Если поэтому мы представим себе светящуюся точку в фокусе F, то луч, идущий по FC, отразится от кривой в направлении GF; таким образом все лучи, выходящие из одного фокуса, сойдутся в другом фокусе; но в эллппсе это схождение будете действительное, а в гиперболе— мпнмое. В параболе же все лучи, выходящие из фокуса, отразившись от кривой, становятся параллельными оси. Параболические зеркала употребляются для превращения сходящихся лучей в параллельпыф и обратно.