> Энциклопедический словарь Гранат, страница 148 > Геометрия

Геометрия

Геометрия, котораи стябит себе задачей не оперировать вовсе над величинами, естественно, должна быть чужда всякой метрики; материалом проективной геометрии являются поэтому вопросы расположения, инцидентности и геометрического соответствия, насколько оно устанавливается геометрическими средствами (смотрите отдел I, в частности рубрику 4). В указанном здесь месте отдела И-го был уже ириведсп пример такого рода соответствия—так называемая перспектива. Этот прием играет в проективной геометрии наиболее важную роль; мы вынуждены поэтому к нему возвратиться.

Пусть 0 будет некоторая постоянная точка, S некоторый геометрический образ (линия, плоскость, другая

При систематическом развитии перспективы нельзя было, конечно, игнорировать того факта, что при перспективном соответствии двух прямых на каждой прямой есть точка, которой не отвечает точка другой прямой. На фигуре 41 точке L, лежащей в пе-771 ресечепии прямой 0L (параллельной прямой II), с пр. I, не отвечает точка на up. II, ибо проектирующий луч 0L последней не встречает. Это простое обстоятельство играет необычайно важную роль в систематическом развитии учения о nepcnt ктивЬ. Чтобы выйти из вознпкающ. отсюда затруднения, Дезарг вводит понятие о без-консчно-у дале иных точках; именно, он смотрит на две параллельные прямыя, как на пересекающияся в безконечно-удаленной точке; совокупность всех безконечно - удаленных точек плоскости образует безконечно-удаленную прямую, две параллельные плоскости пересекаются по безконечно-удаленной прямой. По введении этих понятий любия две прямия на плоскости пересекаются: непараллельные в конечной точке, параллельныя—в безконечно-удаленной. Точно так же всегда пересекаются две плоскости по конечной или но безкопечно-удаленной прямой. Но наглядпо, конкретно эти безконечно-удаленные образы трудно, а может быть даже и невозможно, себе представить. Вопрос > том, в какой мере допустима введение этих идеальных образов, вызывал большие споры. Как и многие другия геометрические идеи, они были введены полубезсознательно, с ннми более мир.нлись, чем признавали. Лишь в самое последнее время Клеим, Шур и другие вполне выяснили, почему эти идеальные образы пе могут вести к противоречию, эти рассуждения, однако, слишком сложпы, чтобы мы могли уделить им здесь место. Итак, с введением безконечно - удалепных элементов каждой точке двух перспективных прямых отвечает точка па другой: точке L па прямой I (фпг. 41) отвечает бсз-конечпо-удалепная точка прямой И.

Второе обстоятельство—вторая заслуга Дезарга—заключается в следующем: рассматривая 2 перспективных треугольника Л1NP и MNP (то есть 2 треугольника, расположенные таким образом, что прямия МЛ, NN1, РР (фпг. 42) сходятся в одной точке 0—центре перспективы), Дезарг обнаружил, что точки пересечения соответственных стороп этих треугольников (точка р—пересечение сторон MN и MN, точка т—пересечение прямых NP и NP и точка «—пересечение прямых МР и МР) расположены на одной прямой. Обратно, если 2 треугольника расположены таким образом, что точки пересечения соответственных сторон лежат па одной прямой, то эти треугольники перспективпы, то есть прямыя, соединяющия соответственные вершины, сходятся в одной точке. Это предложение

должно быть призпано первой осповпой теоремой проективной геометрии. Ея роль будет выяснена ниже, но самая теорема уже представляет собой характерный пример предложения, относящагося к геометрии положения, то есть совершенно чуждого всякой метрики. Однако, своей современной чистоты проективная геометрия достигла не сразу. Одно из основпых попятий, играющих доминирующую роль в проективпой геометрии, вводится у Шаля и Мёбиуса на основании метрических соображений, от которых проективную геометрию освободил только Штаудт. Мы будем следовать историческому развитью идей и, сообразно этому, начнем с метрического установления этого понятия.

Если точки М, Лг, Р (фигура 41) лежат на одпон прямой, то говорят, что точка N делит отрезок NP

МР в отношении При этом отрезки NP и

NM отсчитываются по величине и по знаку, то есть считаются положительными в одном направлении прямой и отрицательными в другом направлении. Когда

(40)

точка Лт, как на фпг. 41, расположена между точками М и Р, то отрезки NM и NP направлены в разпыл стороны, то есть имеют противоположные знаки, и предыдущее отпошение имеет отрицательное значение. Если же точка лежит впе отрезка РЛ, как, например, точка L па фнг. 41, то отрезки LP и LM направлены в одпу сторону и имеют одинаковые знаки; отпошение

в котором точка L делит отрезок Р31,

имеет положительное зпачепие.

Если точки Р, М, N, L расположены па одной прямой, то частпое тех отношений, в которых втория две точки делят расстояние РМ, то есть

NP LP

Шг : Ш ~ ..

называется двойным или ангармоническим отношением четырех точек Р, М, N, L и обозначается символом (PMNL, как это уже отмечено в равенстве (45).

Самия элементарные свойства треугольников, опирающихся на отрезки NP, NM и LP и LM и имеющих вершины в точке О, обнаруживают, что NP _ LP __ sin NOP. sin LOP NM TJT ~ sin NOM·sin LOM если учитывать знаки углов так же, как и эпаки отрезков. Для краткости обозначим через р, m, и, I лучи ОР, ОЛ, ON, OL, а через (пр), (пт), (Ир), (Ит) будем обозначать углы NOP, NOM, LOP, LOM. Тогда правая часть равенства (46) будет построена совершенно апалогнчпо левой; опа называется двойным или ангармоническим отношением четырех лучей р, т, и, I, выходящих из общей точки 0 или, как говорят, принадлежащих одному пучку:

sin (пт) sin (Ит)

Предыдущее же соотношение (46) устанавливает следующее основное положение: если мы рассечем пучек лучей прямой линией, то ангармоническое отношение четырех точек на этой прямой всегда равпо апгармопическому отношению четырех лучей, проходящих через эти точки.

Пололспм опорь, что мы имеем дпа перспективных ряда точек I и II. Тогда апгармонпческое отпошение точек (PMNL) равно апгармопическому отношению лучей (ртпи). ИИо точно так же ангармоническое отношение точек (PMNL1) равпо ангармоническому отношению тех же лучей (р т пи). Следовательно

(PMNL)=(PMNL>)(48).

Мы приходим, таким образом, к следующему оспов-пому предложению: если два ряда точек свя-запы перспективным соответствием, то ангармоническое отношение любых четырех точек одного ряда всегда равно ангармоническому отношению соответствующих четырех точек второго ряда.

Но это соотношение может иметь место и без того, чтобы два ряда точек были связаны перспективой. Представим себе третий ряд точек L“, М“, N“, Р“, перспективный относительно второго, но при ипом центре проекции 0 (фигура 41). В таком случае этот третий ряд, вообще говоря, пе будет расположен перспективно относительно первого, т-е. прямия LL“, ММ“, NN“, РР“,. .., соединяющия соответствующияточки первого и третьяго ряда, не будут проходить через общую точку. Между тем, соотношение, аналогичное соотношению (47), будет иметь место:

(Р“ М N“ L“)=(PMNL),(49)

ибо каждое из этих двух ангармонических отношении равно {P’MNL). Ряды I и III называются проективными. Вообще, если два ряда точек связаны геометрическим с о о т-ветствиемътаким образом,что ангармоническое соотношение четырех точек всегда равпо ангармоническому отношению четырех других точек, то эти ряды называются проективными. Перспектива представляет частпыи случаи проектиппого соответствия. Ряды I и III на фигуре 41-ой, как было выяснено, представляют пример проективного, по не перспективного соответствия; одпако, оно осуществлено при помощи двух перспектив. Вот эта последняя сторона дела представляет собой общее свойство проектавпого соответствия двух рядов точек: оно всегда может быть установлено при помощи нескольких перспектив при различпых центрах.

Совершенно таким же образом устанавливается проективное соответствие между двумя пучками лучей. Как

(Г

вскользь уже было упомянуто, под пучком лучей разумеют совокупность прямых, расположенных в одной плоскости и проходящих через общую точку. Если пам дано 2 пучка, то мы можем установить между ними соответствие таким образом, чтобы каждому лучу одного пучка отвечал определенный луч другого пучка, и обратно. Е с и и при этом оказывается, что ангармоническое отношение четырех лучей всегда равно ангармоническому отношению четырех соответствующих лучей другого пучка, то такое соответствие называется проективным. Проще всего проективное соответствие между двумя пучками устанавливается следующим образом. Разсечем первый пучек 0 (фигура 43) прямой, коюрая даст в сечении с лучами пучка OL (I), ОМ (m), ON (п), ОР (р) точки L, М, N, Р. Теперь каждому из этих лучей отне сем тот луч пучка О, который пересекает наш прямую в той же точке. Это значит: лучу ОМ (т) отпесем луч O М (вглучу ON (п) отнесем луч ON (п) и так далее Теперь ясно, что любым четырем лучам р, т, n, I первого пучка отвечают четыре луча рг,туВ/,В, имеющие то же ангармоническое отношение, ибо ангармоническое отношение как первых, таки вторых четырех лучей равно ангармоническому отношению четырех точек Р, М, N, L. Такого рода простейшее проективное соответствие двух пучков называется перспективным. Аналогия с перспективой двух рядов точек совершенно ясна: два ряда точек находятся в перспективном соответствии, если прямыя, соединяющия соответственные точки, проходят через одпу и ту же точку—центр перспективы. Два пучка находятся в перспективном соответствии, если точки пересечения соответственных лучей лежат на одной прямой—па оси перспективы. ИИо возможны, конечно, проективные, по не перспективные пучки.

Пучки лучей и прямолинейные ряды точек суть простейшие образы проективной геометрии; их называют проективными образами первой ступени. Мы установила понятие о проективном соответствии между двумя рядами точек и между двумя пучками; может быть еще речь о проективном соответствии между пучком и рядом точек; это такое соответствие, при котором 4 лучам пучка отвечают 4 точки с тем же ангармоническим отношением. Если при этом каждый луч пучка проходит через каждую точку ряда, то проективное соответствие обращается в перспективное. Мы уже неоднократно осуществляли перспективное соответствие между пучком и рядом точек; так, на фигуре 41 пучек q, р,т, n, I перспективен ряду точек Q, Р, L; с рядом же Q“, Р“, он находится в проективном, по не в перспективном соответствии.

К числу образов первой ступени принадлежит еще пучек плоскостей, проходящих через общую прямую; одпако, чтобы не усложнять изложения, мы ограничимся сначала проективным соответствием в плоскости.

Если ангармоническое отношение 4-х точек (PMNL) равно—1, то говорягь, что оне образуют гармопи-чоскую группу или что точки Р, М разделяются гармонически точками IV, L. Для того, чтобы такое соотношение имело место, два простых отношения, из которых составляется сложное отношение (45), должны быть равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то есть должно быть

NP LP NM ~ LM

(50)

Это означает, что одна из точек N, L делит расстояние между точками Р, М внутренпе в том же отношении, в каком другая делит его внешне Если поэтому одна из точек N, L лежит между точками Р, Му то другая лежит вне отрезка. Если точки Р, Му N дапы, то построение четвертой точки L так, чтобы удовлетворить соотношению (50). не представляет затруднения. Написав же соотношение (50)

в видЬ:

1Р

ТИГ

(51)

мы видим, что всякий раз, как точки N и L разделяют гармонически пару точек Р, -1/, эти носледпия, в свою очередь, разделяют гармонически точки N и L.

Фон-Штаудту принадлежит заслуга сведения проективного соответствия исключительно к свойствам

Гармонического расположения точек; именно, он доказал следующее предложение: если два непрерывных ряда точек отпесепы друг к другу так, что любым четырем гармоническим точкам одного ряда всегдаотвечают четыре гармонические же точки другого ряда, то ангармоническое отношение любых двух точек первого ряда всегда равпо ангармоническому отношению соответствующих четырех точек второго ряда. Мы должны только под черкнуть обстоятельство, недостаточно выдвинутое ИИИтауд-том, что предложение это относится только к непрерывным рядам.

Это важное предложение дало Штаудту возможность определять проективное соответствие след. образ.: два ряда точек связаны проективно, если любым четырем гармоническим точкам одного ряда всегда отвечают четыре гармонические точки другого ряда. Ясно, что таким же образом может быть исключительно при немощи гармонических групп установлено проективное соотношение любых двух образов первой ступени.

Итак, для установления проевтивного соответствии необходимо предварительно установить только понятие о гармоническом расположении четырех точек или четырех лучей. Но это понятие, как мы видели, устанавливается при помощи метрических соображении:

нужно мерить отрезки и определять их отношение Штаудт, опираясь на теорему Делагира о полиом четырехугольнике, освобождает понятие о гармонической группе, а вместе с тем и проективную геометрию от каких бы то ни было метрических соображений.

Пусть MKPQ (фигура 44) будет обыкновенный четырехугольник, КМ, MQ, QP, РК его стороны, РМ и KQ его диагонали. Если мы продолжим противоположные стороны РК и QM, КМ и PQ до пересечения в точках R и S, то получим фигуру, которая носит название полного четырехугольника; точки R и S называются дополнительными вершинами, а прямая RS—дополнительной диагональю. Таким образом получаются 3 диагонали, каждая из которых пересекается двумя другими. Основная теорема, принадлежащая Делагиру, заключается в том, что каждая диагональ полного четырехугольника делится гармонически двумя другими диагоналями; например, диагональ РМ рассекается диагоналями KQ и RS в точках У и L таким образом, что точ и Р, М разделя- (

ются гармонически точками У,L; точпо так же точки h Q разделяются гармонически точками У,Г, а точки R,S разделяются гармонически точками L, Т, где Т есть пересечение диагоналей KQ и RS.

Это обстоятельство Штаудт принимает за определение гармопического расположения четырех точек. Иначе говоря, Штаудт определяет гармоническое соответствие следующим образом: четыре точки па одной прямой расположены гармонически, если две из них служат противоположными вершинами полного четырехугольника, а через две другия проходят две его диагонали. Это определение совершенно чуждо каких-либо метрических соображений и освобождает от них всю проективную геометрию. Однако, самое определение требует еще существенного обоснования. В самом деле, это определение фактически устанавливает следующее правило для построения 4-ои гармонической точка: если намь даны 3 точки Р,У, М на одной прямой, то через одну из пих, скажем, через Р, проведем произвольно две прямия РАи PQ; через точку У проведем также произвольно третью прямую, пересекающую названные две прямия в точках К и Q; теперь проведем прямия КМ и QM, которые в пересечении с прямыми РК и PQ дадут точки R и S; прямая RS пересечет исходную прямую РМ в точке L, которая и служит четвертой гармонической для исходных 3-х точек; определеннее, точка L вместе с У разделяют гармонически пару точек Р, М.

По при этом построении мы ввели три произвольные прямыя: РК, PQ, KQ. Спрашивается, не зависит ли иоложение точки L от того, как эти 3 прямия выбраны, то есть определяется ди точка L этим построением однозначно. Это очевидно, если гармоническое расположение определяется предварительно метрически и если доказана теорема Делагвра; но если мы отрешаемся от предварительного метрического определения и хотим определить точку L исключительно указанным построением, то мы должны доказать однозначность точки L, к которой построение приводит. Это действительно доказывается при но мощи теоремы Дезарга, и этим, в первую очередь, определяется кореппоо значение этой теоремы в проективной геометрии.

Итак, ход идеи получается такой. При помощи построения полного четырехугольника устанавливается понятие о четвертой гармонической точке; при помощи теоремы Дезарга устанавливается однозначность этой точки; четыре гармонических луча определяются как такие, которые пересекаются прямою линией в 4 гармонических точках; по сохранению гармонического расположения 4 элементов определяется проективное соответствие образов первой ступени.

Но теорема Дезарга имеет решающее зпачение еще в одном основном предложении проективной геометрии, которое заключается в следующем: проективное с о ответствие двух образов первой ступени вполне определено, если указано, какие три элемента одного образа отвечают трем данным элементам другого образа; например, проективное соответствие двух пучков вполне определено, если указано, какио три луча одного пучка соответствуют трем лучамдругого пучка. Это предложение по преимуществу принято называть основной теоремой проективной геометрии.

Мы можем теперь перейти к важнейшим приложениям этих идей. Положим, что в одной плоскости расположены два пучка с центрами в точках 0 и О. Каждый луч а, Ь, с., первого пучка приведем к пересечению с соответствующим лучем а, Ь, с второго пучка; получим точки А, В, С Каково будет геометрическое место этих точекъе Если пучки не только проективнм, по и перспективны, то эти точки, мы знаем, лежат на прямой линии; по каково геометрическое место этих точек, если паши пучки связаны проективно, но пе перспективное Штейнер первый показал в совершенно общем виде, что это есть коническое сечение и тем положил начало проективному обоснованию учения о кривых 2-го порядка. Мы таким образом снова приходим к тем же замечательным кривым; конечно, повый метод нс может дать никаких метрических свойств конических сечений; но зато все проективные их свойства раскрываются с необыкновенной простотой и изяществом. Разсмотрим, напрпмер, первые шаги в этой теории.

Заметим, что вершины двух пучков О а О сами принадлежат нашему геометрическому месту, потому что луч 00 (первого пучка) пересекается с соответствующим ему лучем в точке О, а луч ОО (второго пучка) пересекается с соответствующим ему лучем первого пучка в точке О. Положим теперь, что нам дано пять точек О, O, А, В, С, из которых никакие 3 пф лежат на одной прямой. Две из этих точек примем за вершины пучков и отнесем лучам О А, ОВ, 00 первого пучка, лучи О А, OВ, O С—второго. Этим проективное соответствие двух пучков установлено; следовательпо, установлено и геометрическое место точек пересечения соответственных лучей. Таким образом доказывается, чго коническое сечение вполне определяется 5 своима точками.

Каждый луч ОА первого пучка пересекается с соответствующим лучем второго в точке А, отличной от 0; только луч 0S, которому во втором пучке соответствует луч ОО, пересекается с последним только в точке 0. Следовательно, прямыя, проходящия через точку конического сечения, пересекают его каждая еще в одлой точке и только одна из нихвстречает коническое сечеиие только в одной точке: иначе говоря, через каждую точку конического сечения проходит одна и только одна касательная к нему; всякая же другая прямая, проходящая через точку конического сечепия, встречает его еще в одной, но только в одной точке.

Мы не имеем возможности, конечно, развивать здесь всю проективную теорию конических сечепий. Ограничиваясь только выяснением основной идеи, приведем еще одно из замечательнейших предложении, сюда относящихся,—теорему Паскаля: Во всяком шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

Одпако, на учении о полюсах и полярах в проективном изложении мы несколько остановимся. Пусть О будет произвольная точка в плоскости конического сечения, но ему не принадлежащая. Проведем через эту точку произвольную прямую, встречающую коническое сечение в точках К и L. Пусть М будет точка, которая вместе с 0 делит гармонически отрезок KL. Если прямая вращается вокруг точки 0, то вместе с этим перемещается точка М и описывает, как оказывается, прямую линию. Эта прямая и пазываится полярой точки О относительно конического сечеиия.

| Если точка О лежит вне конического сечения, то точка М лежит между К и L. Lcxu поэтому секущая вра- щается таким образом, что точки К и L сближаются между собой, то к ним приближается и расположенная ‘между ними точка 21. Когда обе точки сливаются в одну, то с ними сливается и точка 2И-, иными словами, когда секущая обращается в касательную, то поляра проходит через точку касания. Это возвращает пас к прежнему определению поляры

С учением о полюсах я полярах находится в тесной связи очень важная в проективпой геометрии идея—начало двойственности; оно заключается в следующем, Проективная геометрия разматывается из известных положений, касающихся расположения и инцидентности основных образов. Возьмем следующия два из этих положепий: каждия дне точки определяют проходящую через пих прямую; каждия две прямия определяют точку, через которую оне обе проходят (как мы сказали выше, последнее положение не имеет исключений в проективной геометрии). Мы формулируем теперь этп предложения немножко иначе, пользуясь терминологией, которую мы уже указали в отделе I (рубрика 3). Точка и прямая называются инцидентными, если прямая проходит через точку или точка лежит па прямой. При таких условиях предыдущия два положения можно формулировать так: к а д; д ы я две точки определяют инцидентную с ними прямую; каждия две прямия определяют инцидентную с пи-ми точку. Этп два положения таковы, что одно переходит в другое, если мы заменим друг другом термины „прямая“ и „точка“. Замечательно, что таковы все положения, из которых разматывается проективная геометрия; они переходят одно в другое, если заменить эти термины „точка“ и „прямая“ друг другом, Вследствие этого каждая теорема проективной геометрии переходиг в новую теорему, если термины „точка44 и „прямая“ замелить друг другом. Именно,

в соотношении двойственности находятся полюс и поляра друг к другу. При замене понятии „точка41 и .прямая44 друг другом свойства полюса обращаются в свойства поляры, и обратно.

Выше мы выяснили, как образуется кривая второго порядка при помощи двух проективных пучков лучей. Постараемся выяснить, как можно преобразовать эту теорию по принципу двойственности. Два пучка прямых заменим двумя рядами точек. Если эти ряиы расположены перспективно, то прямыя, соединяющия соответственные точки, проходят через общую точку-центр перспективы. Но если эти ряды связапы проективно, но не перспективно, то прямыя, соединяющия соответственные точки, не пересекаются в одной точке, а огибают пекоторую кривую (фигура 46). Эта кривая оказывается коническим сечением.

Коническое сечение может быть рассматриваемо, как геометрическое место точек пересечения соответственных лучей двух проективных пучков или как огибающая прямых, соединяющих соответственные точки двух проективных рядов. Таковы две точки зрения, связанные принципом двойственности.

Теорема Паскаля по принципу /-воиствегности переходит в теорему Бриаишона: во всяком шестиугольпи-ке, описанном около конического сечения, прямыя, соединяющия попарно противоположные всргаипы, проходят через одну точку.

Мы с достаточной подробностью выяснили основные моменты в учении о проективном соответствии образов первой ступени и ограничимся лишь самыми краткими указаниями относительно проективного соответствия более сложи ых образов.

Образами второй ступени являются плоскость, пак совокупность точек, плоскость, как совокупность прямых; связка прямых, то есть совокупность прямых в пространстве, проводящих через одну точку; связка плоскостей, то есть совокупность плоскостей, проходящих через общую точку. В рубрике 4 отд. И-го было выяснено, как устанавливается перспективное ! соответствие между точками двух плоскостей. Проек-; тявное соответствие между точками двух плоскостей ! определяется тем, что четырем гармоническим точ-как одной плоскости исегда отвечают четыре гармонические точки другой плоскости. На том же принципе основано определение проективного соответствия дру“ гих образов высших ступеней.

Чрезвычайно любопытно, что всякое геометрическое соответствие в плоскости или в пространстве, при котором прямой линии всегда соответствует прямая же линия, представляет собою проективное соотетствиф. С этой точки зрения проективное соответствие часто называют еще коллинеацией.

Подобно тому, как при помощи проективных пучков определяется кривая второго порядка, при помощи проективных связок определяются поверхпости второго порядка. Но, мало того, в том же порядке идей могут быть даны методы построения алгебраических кривых более высоких порядков. Это обобщение может идти различными путями: путем установления более сложных проективных рядов и путем перенесения идеи проективного соответствия на болеф сложные образы, например, па пучки конических сечении. Относящияся сюда исследования носят ужф слишком специальный характер и но могут найти места в настоящем изложении. Изложенное выше, полагаем, достаточно выясняет, что на ряду с аналитической геометрией выросли новые строго геометрические методы исследования, глубоко отличающиеся от приемов классической геометрии и дающие чистому геометру орудие для соревнования с аналистом; и насколько сильно это орудие, можно судить по тому, что сведения, которыми мы обладаем относительно метрики высших алгебраических кривых, незначительны по сравнению с известными нам проективными свойствами их.

Нужно к этому прибавить, что в последния два десятилетия во франции получило развитие новое учение, занимающее как бы средпеф место между проективной и метрической геометрией. Демуан (Le-„ тоипф), Брокар (Broccard), Лезаа (Lai-

L sant), Нейберг (Neuberg) и др. развилиучение об особенных точках треугольников и многоугольников в целую новую дисциплину, которая по своим методам особенно приближается к классической геометрии. Эта дисциплина получила название „новой геометрии треугольника44. Результаты этих методов отличаются необычайным изяществом, но они носят характер как бы случай пых, более остроумных, нежели глубоких открытий. Какого-либо общого метода геометрического исследования эти идеи с собою не принесли.

IX. Геометрография.

Уже в античную эпоху греческих геометров черезвычайно занимали так называемия задачи на построение. Мы уже указывали (смотрите в тексте) сочинения греческих геометров, посвященные исключительно задачам па построение; в „Началах Евклида эти задачи чередуются с предложениями, и решение их имеет целью, главным образом, доказать существование определенных образов. На эти задачи можно смотреть с двух точек зрения. Болеф теоретическая точка зрения заключается в том, что одпими геометрическими элемента-тами определяются другие, и задача заключается встемьи среднего образования; ему принадлежит главный труд по составлению уставов о гимназиях (1871), о реальных училищах (1872), об университетах (1884) и др. Ум. в 1911 г.