> Энциклопедический словарь Гранат, страница 148 > Георгиевский

Георгиевский

Георгиевский, Александр Иванович, родился в 1830 г., вскоре по оконч. курса в москов. универс. получил кафедру всеобщ. истор. в Ришельевском лицее, в 1866 г. был назначен редактором „Журнала Мин. Нар. Пр.“, с 1873 до 1901 г. был председателем ученого комитета. Г. был деятельнейшим сотрудником гр. Толстого по введению классической си-

Основные идеи геометрии.

I. Содержание элементарной Г.

Классическая Г. сложилась еще в древности, и дальнейшее ея развитие заключалось, главным образом, в дополнениях второстепенного значения и в разработке связывающих материал логических концепции. Что касается самого материала, то содержание обычного курса влемептарной Г. в средней школе мы предполагаем здесь известным. Мы здесь сделаем лишь сводку, которая даст возможность обозреть основные идеи и категории в связной концепции, а затем ознакомим читателя с основными задачами и идеями тех отделов, которые выходят из рамок строго влемеитарной Г.

1. В первую очередь, через всю Г. проходит классификация геометрических образов и выделение тех из них, которые, но своему значению в теории и приложениях, подлежат особому изучению. Первое подразделение заключается в классификации образов по числу измерений: они делятся на образы, не имеющие измерения (точки), образы одного измерения (линии), двух измерений (поверхности), трех измерений (тела). Однако, точное определение того, что, собственно, такое эти измерения, иредставляеть большия затруднения. В аналитической и во всяком случае в метрической Г. (смотрите ниже) это нужно понимать так, что на образе одпого измерения положение точки определяется одпим данным (ея расстоянием от некоторой определенной точки), па двумерном образе—двумя данными (например, .на плоскости ея расстояниями от двух неподвижных прямых), на трехмерном—тремя данными. Но, с одной стороны, чисто геометрического признака, свободного от всяких измерительных приемов, мы для этой цели не имеем; с другей стороны, в настоящее время придумапы, хотя и весьма искусственные, но все же вполне действительные способы определять положение точки на двумерном или трехмерном образе (например, на плоскости или в пространстве) одним заданием.

Из одномерных образов важнейшее значение имеет прямая. Определение прямой линии также представляет большия трудности, и большинство авторов относит это понятие к числу основных. С его помощью строится уже понятие об основном двумерном образе— плоскости. Вместе с тем все одномерные образы делятся на прямолинейные и криволинейные, все двумерные—на плоские и кривые. Учение об одномерных образах называли прежде лонгимепгриегг, нужно, однако, сказать, что классическая Г. таковой почти не знала, так как ни одна линия не изучалась независимо от поверхности, па которой она расположена. Учение о плоскости и образах, в ней расположенных, составляет планиметрию, учение об образах трехмерных—стереометрию. Важнейшие из планиметрических образов, помимо прямых, это углы и так называемия плоские фигуры, т. е. части плоскости, ограниченные со всех сторон линиями. В первую очередь, изучаются прямолинейные фигуры, т. е. фигуры, ограниченные прямыми линиями, и прежде всего простейшия из них—треугольники и четырехугольники. Из кривых линий преобладающее зпачение имеет окружность. „Начала“ Евклида не рассматривают вовсе никаких другпх кривых линий; но классическая Г., как мы видели (XIII, 327), знала еще конические сечения и некоторые кривия другого вида, о которых скажем ниже.

Из образов трехмерных классическая Г. рассматривает двугранные и многогранные углы и так называемия геометрические тела, т. е. части пространства, ограниченные поверхностями со всех сторон. Важнейшия тела, которые изучает элементарная Г., это многогранники, то есть тела, ограниченные плоскостями, и тела вращения, получающияся путем вращения плоской фигуры вокруг неподвижной прямой (шар, цн-липдр, конус). Такова в важнейших чертах общая классификация геометрических образов, принятая в классической и ныне в элементарной Г.

2. Расположение точек на геометрическом образе. На каждом образе, в перзую очередь, устанавливаются действующия в нем нормы расположения точек. Относящийся сюда геометрический материал заключается в теоретическом обосновании понятий „между“, „с одной стороны“ и „с другой стороны“, „внутри“ и „вне“. Древняя Г. оперировала всеми этими понятиями чисто интуитивно: по в настоящее время они устанавливаются и развиваются строго логически. Чтобы выяснить, в чем заключается содержание относящихся сюда рассуждений, остановимся на двух примерах. Во-первых, разберем деление плоскости прямою линией. Задача заключается здесь в том, чтобы установить следующее: если па плоскости дана прямая, то все остальные точки этой плоскости могут быть одним и только одним способом распределены в две категории таким образом, что прямолинейный отрезок, соединяющий две точки одной и той жф категории, не встречает делящей прямой; всякий же отрезок, соединяющий две точки различных категорий, встречает эту прямую; эти две категории точек и составляют две стороны плоскости относительно прямой. Другой пример, деление плоскости замкнутой ломаной линией, заключается в следующем; все точки плоскости, этой ломапой не принадлежащия, распадаются на две категории; прямолинейные лучи, выходящие из точек первой котегорип и не проходящие через вершины ломаной, пересекают эту ломаную не-чотпоо число раз; лучи, выходящие из точек второй категории, пересекают ломапую четное число раз; точки первой категории называются внутренними, точки второй категории—внешпими; всякие две внутренния точки или две внешпия могут быть соединены ломаной линией, не встречающей периферии; внутренняя же точка с впешней такой ломаной не может быть соединена.

Развитие учения о расположении точек геометрического образа заключается в установлении частпых критериев, дающих возможность в отдельных случаях установить непосредственно, лежат ли те или ипия точки внутри образа, на его периферии или вне его. Так, например, если мы соедипнм две точки, лежащия на разпых сторонах угла, то все внутренния точки соединяющого отрезка лежат внутри угла; все же точки, лежащия на продолжениях этого отрезка, лежат вне угла. Если мы соединим две внутренния точки выпуклого многоугольника, то соединяющий их отрезок лежит целиком внутри многоугольника. Такого рода предложения совершенно необходимы, когда ыы желаем действительно установить, где лежит та или иная точка; например, в каком случае центр описанной около многоугольника окружности лежит внутри многоугольника, па его периферии или вне его. Совокупность всех этого рода предложений составляет учение о расположении.

3. Учение об инцидентности. Сюда относится все то, что касается общих точек геометрических образов: условия, при которых точка лежит па данном образе, условия пересечения данных образов (прямых, прямых с кривыми, прямых с плоскостями и др. поверхностями и тому подобное.), определение числа общих точек и их расположения, условия касания линий и поверхностей, условия схождения нескольких линий в одной точке и нескольких поверхностей по одной линии. Существует обширная дисциплина, которая занимается только вопросами инцидентности; это — Analysis situs. Приведем примеры иредложений элементарной Г., относящиеся к учению об инцидентности: прямая, имеющая с плоскостью две общия точки, лежит в пей целиком; две плоскости либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют общую прямую; из каждой точки, лежащей в плоскости круга вне его, можно провести две касательные к окружности круга, и так далее

4. Учение о геометрическом соответствии заключается в том, что каждой точке одного образа отпосяг некоторую точку другого образа в качестве соответствующей ей. Выбор точки, соответствующей данной, можно осуществлять, конечно, многообразно; этим определяется характер соответствия. Элементарная Г. изучает, главным образом, двоякого рода соответствие: конгруэнтность и подобие. Конгруэнтность представляет собой такого рода соответствие двух образов, при котором онп могут быть посредством движения приведены в совмещение таким образом, чтобы соответствующия точки совпали; в конгруэнтных образах расстояние двух точек всегда равпо расстоянию соответствующих точек другого образа. Под подобием разумеют такое соответствие двух образов, при котором расстояние любых двух точек первого образа пропорционально расстоянию соответственных точек второго; иначе говоря, если А и В суть две точки одного образа, А и В> соответствующия точки другого, то при подобии отношение АВ: А1 В1 есть величина постоянная, т. е. пф зависит от выбора точек А и В. Учение о конгруэнтности и подобии образов в элементарной Г. заключается в установлении условий, при которых образы конгруэнтны нлп подобны, в разыскании соответствующих точек двух таких образов и в установлении между образами соотношений, проистекающих из их конгруэнтности или подобия. Конгруэнтность и подобие принадлежат, однако, к числу так называемых метрических соответствии, т. е. таких, которые устанавлииаются помощью понятий о равенстве и неравенстве, о численном значении отношения—вообще помощью понятия о величине. Существуют, однако, соответствия, которые устанавливаются чисто геометрическими методами, чуждыми всякой идее о величине. Приведем простой пример. Положим, что нам даны две плоскости Р и Р/ и некоторая точка О вне их. Пусть А будет произвольная точка первой плоскости; соединяя ее с точкой О, получаем прямую ОА, которая пересекает вторую плоскость в некоторой точке А; эту последнюю принимаем зии соответствующую точке А

первой плоскости. Таким путем каждой точке первой плоскости мы относим в качестве соответствующей ей некоторую точку второй плоскости; по это соответствие устанавливается чисто геометрически, без помощи понятия о величине, о равенстве и перавепстве; это соответствие неметрического характера. Метод, которым устанавливается это соответствие, называется центральной проекцией или, правильнее, проектированием из центра О, а самое соответствие двух плоскостей называется перспективным (смотрите отдел VIII).

Весь тот геометрический материал, который относится только к учению о расположении, об инцидентности, и о соответствии неметрического характера, составляет Г. положения в противоположность метрической Г.

5. Метрика играла в античной Г. второстепенную роль, но в современной элементарной Г. она имеет преобладающее значение. Под метрикой разумеют учение о геометрических образах с точки зрения их величины. Задача метрической Г. заключается, во-первых, в том, чтобы установить для каждой геометрической величины критерии сравнения, то есть установить, при каких условиях мы считаем одно из двух значений величины равным другому, больше или меньше его,—а Ео-вторых, в измерении величины. Измерить величину значит выразить каждое значение этой величины числом, то есть каждому значению величины отнести число; это должно быть сделано таким образом, чтобы конгруэнтным значениям ея были отнесены одинаковия числа, а значению, составленному из нескольких других ея зпачепий, отвечало число, равное сумме чисел, отнесенных составляющим образам. Так., например, установить измерение площадей значит выразить всякую площадь числом, т. е. каждой площади отнести число следующим образом: I) конгруэптпым площадям должны быть отнесены одинаковия числа; 2) число, отнесенное площади, которая составлена из нескольких площадей, должно быть равно сумме чисел, отнесенных составляющим площадям. Чтобы этого достигнуть, оказывается необходимым и достаточным каждому значению величины отнести число, равное отношению этого значения к некоторому определенному“ условно выбранному зпачепию той же величины (к единице меры). Вледствис этого, главная задача метрики в Г. заключается в следующем: а) в установлении критериев сравнения значений одной и той же величины; Ь) в определении отношения одного значения величины к любому другому значению той же величны; с)в выражении отношения более сложных величин через отношения более простых величин. Последний пункт играет особенно важную роль: некоторые авторы всю задачу метрики усматривают в том, чтобы заменить отношения площадей и объёмов отношениями длин или комбинациями этих отношений. Чтобы найти, например, отношепие площади треугольника к площади квадрата, достаточно найти отношения основания и высоты треугольника к стороне квадрата и взять половину произведения полученных таким образом чисел.

Классификация геометрических образов, учения о расположении, об ннцпдепции, о соответствии и метрика— таковы категории, з которые укладывается все содержание элементарной Г. Содержание материала, входящого в состав этих категорий, мы считаем известным читателю настоящей статьи.

Фигура 1.

II. Конические сечения.

Кроме того материала, который в настоящее время составляет так называемую элементарную Г., в состав классической Г. входит учение о копиче-ских сечениях, составлявшее у древних венец и высшее достояние Г. Как греки пришли к этим замечательным кривым, мы в точности до этих пор не знаем. Прокл приписывает открытие их, как мы уже упомянули выше, Менэхму, учеппку Платона, который пришел к ним при своих попытках решить зпаменптую задачу об удвоении куба. Разыскание геометрических мест на плоскости, то есть тех линий, па которых лежат точки, обладающия определенными свойствами, составляло одну из наиоолее излюбленных задач греческих геометров. Такого рода задачи иногда ставились сами по себе, иногда возникали попутно, при решении задач на построение. В большинстве случаев геометрические места, которые разыскивали древние, сводились к прямой и к окружписывается открытие связи между этими геометрическими местами ц конусом, то есть определение этих кривых, как конических сечений. Основпая идея здесь заключается в том, что при пересечении конических поверхностей плоскостью получаются кривия трех различпых типов. Самия секущия плоскости геометры до Аполлония проводили всегда перпендикулярно к образующей конуса. Если копус остроугольный, то есть имеет при вершине острый угол, то в сечения с плоскостью (как мы сказали, перпендикулярной к образующей) получается замкнутая кривая — эллипс (фигура 1). Если конус тупоугольный, то сечепиф представляет собою разомкнутую фигуру (фигура 2), ветви которой уходят в безконечность; это—гипербола. Наконец, в прямоугольном конусе (то естьс прямым углом при вершине) секущая плоскость, перпендикулярная к | одпой образующей, всегда оказывается параллельной I некоторой другой образующей; сечение и в этомпости; но более серьезные задания приводили к более сложным кривым; из этих более сложных кривых

Фигура 4.

самыми замечательными и в то же время наиболее простыми оказались конические сечепия. Почему изучение этих кривых является естественным и прямым развитием материала элементарной Г., мы увидим ниже в отделе IV“; здесь же мы заметим только, что каждый из последующих отделов как бы роковым образом с различных точек зрения приводит к этим замечательным трем кривым.

Итак, греки открыли конические сечепия, как определенного рода геометрические места, независимо от конуса. Молодому современнику Менэхыа—Арпстей — прислучае оказывается разомкнутой кривой, которая загибается, однако, гораздо медленнее, пежели гипербола (фигура 3); эта кривая называется параболой.

Однако, как мы сказали, греки не этим путем пришли к открытью конических сечении; они нашли их другим путем, как плоские геометрические места. До Аполлония наиболее обычный путь, которым определялись эти три кривыя, заключался в следующем. Если мы возьмем окружность с диаметром А А (фигура 4) и из произвольной точки О на диаметре восставим перпендикулярную къпему полухорду 02), то последняя,какмыя“, проходящия через одну действительную точку— начало координат. Эти фиктивные образы, за которыми не скрывается пичего, кроме чисел и числовых соотношений, нередко оказывают значительные услуги геометрическому исследованию: при помощи их многие теоремы получают более общее и простое выражение; благодаря им часто бывает возможно избежать расчленения вопроса на множество частных случаев; вообще, как вспомогательное средство, эти мнимые геометрические образы часто оказывают те же услуги, что мнимия числа в алгебре и анализе. Максимилиан Мари, Белавитис и др. показали, что эти идеи ыожпо использовать и в интересах прямого геометрического исследования.

Уравнения центральных кривых второго порядка—эллипса и гиперболы—принимают простую форму (30), когда начало координат совпадает с центром кривой, а оси координат—с осями кривой. Замечательное свойство осей, которое непосредственно бросается в глаза, заключается в следующем: если мы проведем произвольную хорду, параллельную одной из осей, то середина этой хорды лежит на другой оси. Можно сказать, что одна из осей представляет собоии геометрическое место середип всех хорд, параллельных другой оси. Это свойство хорд допускает обобщение: если мы проведем хорды, параллельные любому диаметру кривой, то середины их располагаются на другом диаметре; такие два диаметра называются сопряженными; па фигура 16 KL и MN суть сопряженные диаметры эллипса. Замечательно, что это соот

ношение взаимное: хорды, параллельные любому из двух сопряженных диаметров, делятся пополам вторым диаметром. Оси кривой, как мы уже сказали, представляют собой пиру сопряженных диаметров; но это единственная пара сопряженных диаметров, которые взаимно перпендикулярны. Замечательно, что уравнение цеп ральнон кривой 2-го порядка принимает форму (30), если мы направим оси по любым двум сопряженным диаметрам кривой.

Все приведенные здесь рассуждения относительно эллипса и гиперболы связаны с тем обстоятельством, что уравнения их могут быть освобождены от членов, содержащих координаты в первой степени, то есть могут быть приведены к виду (30). По, как мы уже указали выше, это пе всегда возможно; некоторые уравнения второй степени не могут быть освобождены одновременно от обоих членов, содержащих х и у в первой степени; соответствующая кривая не имеетцентра. Но оказывается, что в этом случае уравнение всегда может быть приведено к виду (9), так что кривая представляет соСой параболу: парабола есть единственная кривая второго порядка, не имеющая центра. Вместе с тем в параболе не можеи быть речи о диаметрах в том смысле, как мы о пих говорили в случае эллипса или гиперболы, то есть как о хордах, проходящих через центр. Но замечательно, что и здесь, если мы возьмем совокупность параллельных хорд, то середины их лежат на одной прямой. Это обстоятельство и принимают поэтому за точку отправления для общого определения диаметра кривой второго порядка: под диаметром кривой второго порядка разумеют геометрическое место середип системы параллельных между собою хорд.—В центральных кривых (эллипсах и гиперболах) диаметры всегда проходят через центр; в параболе они всегда параллельны оси. В центральной кривой каждому диаметру отвечает сопряженный диаметр: в параболе диаметр сопряжен лишь с системой хорд, через середины которых он проходит.

В центральной кривой построение диаметра, сопряженного с данным, пе представляет никаких затруд. нений; для этого достаточно провести хорду MN (фигура 16), параллельную даппому диаметру MN, и ея середину Р соединить с центром кривой. В параболе построить диаметр, сопряженный с данным направлением хорд, конечно, также не представляет затруднений: для этого достаточно соединить середины двух хорд этого направления. Труднее определить направление хорд, сопряженных с данным диаметром. Мы еще скажем об этом несколько слов ниже.

В тесной связи с учением о сопряжепных диаметрах конических сечений стоит вопрос о касатель-пых. Во скольких точках прямая может пересекать кривую 2-го порядкае Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что координаты общих точек двух линий должны удовлетворять уравнениям обеих лнпий; мы найдем поэтому эти точки, если соединим уравпеиия обеих кривых в одну систему и совместно их разрешим. Если ми разыскиваем пересечение прямой и кривой второго порядка, то система состоит из одно» го уравнения первой степени и одного—второй степени. Решая такую систему совместно, мы получаем 2 пары решений—действительных или мнимых. Сообразно этому прямая пересекает кривую второго порядка в двух точках—действительных или млимых. Иногда обе точки пересечения сливаются в одну—прямая обращается в касательную к кривой.

Положим что секущая MN (фигура 16) перемещается параллелыио самой себе: она дает все меньшия и меньшия хорды MN, M“N“, M“N“ и в пределе, когда точки М и N сливаются в одну точку К, обращается в касательную к кривой к этой точке. Следовательно, касательная к коническому сечению параллельна хордам, сопряженным с тем диаметром, который проходит через точку касания.

Отсюда ясно, как построить касательную в какой-либо точке К центрального конического сечения (фигура 16). Для этого проводим через точку К диаметр, строим, как было указано выше, диаметр MN, сопряженный с ним, а затем через точку К проводим прямую параллельную MN. Это построение нс пригоднодля параболы (фигура17), так как здесь диаметр KL параллелеп оси, и построить сопряженные ему хорды этим способом нельзя. Здесь для построения касательной в точке К соединяем эту точку с фокусом F; биссектриса КО угла FKL, как мы уже знаем (отб. 12), будет нормалью к кривой; перпендикуляр KS к КО будет служить касательной. Чтобы найти фокус, если он не был известен, делаем обратное построение: берем произвольную хорду MN, черезь середину ея Р проводим прямую PQ, параллельно оси параболы; это будет диаметр, сопряженный с хордой MN. Если этот диаметр встречает кривую в точке Q, то прямая QT, параллельная МУ, служит касательной к кривой; нераепдикуляр к ней QH должен делить пополам угол PQF. Поэтому, чтобы построить фокус, остается провести луч QF, образующий с QU угол, равный RQP. Заметим, что это построение касательной при помощи фокуса и фокуса при помощи касательной пригодно также для центральных кривых 2 порядка; кроме того, нужно сказать, что для построения касательной существуют еще многие другие достаточно простые приемы.

В аналитическом развитии теории кривых второго порядка весь этои материал разрабатывается, конечно, алгебраическими средствами; устанавливаются критерии,

дающие возможность оиредЬлить тип кривой по ея уравнению; указываются методы, как по уравнению кривой найти ея центр и оси, как привести уравнение к простейшему виду (30) или (9), как составить уравнения сопряженных диаметров, касательпой и нормали в каждой точке кривой, как определить координаты фокусов, уравяения директрис и так далее

Мы займемся, однако, еще одним примыкающим сюда геометрическим вопросом, имеющим большую важиость. Мы показали, как провести касательную к коническому сечепию из точки, лежащей па самой кривой. Положим, что из точки А (фигура 18) нужно провести касательную к коническому сечению. Анализ обнаруживает прежде всего, что каждое коническое сечение делить плоскость на две части: внутреннюю, из точек которой нельзя провести касательную к кривой, — и внешнюю, из каждой точки которой выходят две касательные к кривой. Итак, положим,

что нам дана точка .4. вне кривой; из нея выходят две касательные к кривой А Л и АиВ; как их построитье Прямую МУ, соединяющую точки касания выхо

дящих из точки А касательных к кривой, называют полярой точки А, точку же А называют полюсом прямой МУ. Если бы мы умели построить поляру каждой точки, то вопрос о проведении касательных из внешней точки был бы решен: достаточно было бы построить поляру МУ дайной точки А и точки М,У ея пересечения с кривой соединить с А; это и будут касательные. Но как построить поляру данной точкие

Два обстоятельства играют здесь решающую роль. 1 ) первых, если дана прямая МУ, пересекающая коническое сечение, то построить ея полюс пе представляет затруднений: для этого достаточно провести касательные в точках М и У ея пересечения с кривой; точка пересечения последних А и есть полюс прямой. Второе обстоятельство заключается в следующей основной теореме: если какая-либо прямая Aq проходит через полюс А прямой МУ, то ея полюс Q лежит на полярп МУ этой точки А (фигура 18). Несколько иначе: когда прямая Aq вращается вокруг неподвижной точки А, то ея полюс перемещается ко поляре MN этой точки. Ясно, следовательно, что и, наоборот, когда точка Q движется по прямой MN, то поляра Aq этой точки вращается вокруг полюса А прямой MN. Из этих соображений непосредственно вытекает простой метод построения поляры данной точки А: мы проводим через псе две прямыя, пересекающия коническое сечение, скажем Ар и Aq’, эатем строим полюсы Р и Q этих прямых; прямая PQ и будет полярой точки А.

Вопрос о построении касательных к коническому сечению из внешней точки этим вполне исчерпан. Но в связи с этим стоят некоторые соображения принципиальной важпости. Предыдущее определение устанавливает понятие о поляре только для таких точек, которые лежат вне конического сечения. Но указанное выше построение паходит себе нримепепиф и в том случае, когда точка А лежит внутри кривой (фигура 19). Мы и в этом случае можем провести через точку А две прямия рр и qq, пересекающия кривую, найти их полюсы Р и Q и последние соединить. Замечательно то, что мы при этом получаем одну итуже прямую PQ, как бы пи были взяты исходные прямия рр и qq. Эга прямая PQ принимается за поляру точки А. Таким образом устанавливается понятие о поляре как для внутренней, так и для внешней точки кривой и при том устанавливается при помощи одного и того же построения. Что даст это построение, когда точка лежит на самой кривойе Если мы станем строить поляру точки р (на фигура 19) тем же способом, мы должны будем провести через точку р две секу

щия рр“ и рр,г, найти их полюсы и соединить последние. Но полюс прямой рр> будет лежать в пересечении касательных в точках р и рг, он будет лежать, следовательно, па касательной рР в точке р. Но так как через ту же точку р кривой проходит вторая вспомогательная прямая рр“, то и ея полюс также лежит на касательной Рр, а потому и самой полярой точки р будет служить касательная к кривой в этой точке; полярой точки на кривой служить касательная к кривой вг этой точки.

Подобно тому, как каждой точке на прямой теперь соответствует поляра, каждой прямой, даже не пересекающей кривой, отвечает полюс: для его разыскания достаточно построить поляры любых двух ея точек: пересечение этих поляр и будет служить полюсом данной прямой.

Учепие о полюсах и полярах имеет большое теоретическое зпачепие с различных точек зрения. Прежде всего мы можем на полярах выяснить роль мнимых элементов в аналитической геометрии. Если пользоваться мнимыми образами, то исходное определение поляры может быть принято за общее определение ея. Дело в том, что аналитически из любой точки плоскости, не лежащей на данном коническом сечепии, можно к последнему провести две касательныя; по фти касательные будут действительные, если точка лежит вне коиического сечения, и мнимыя, если она аажит внутри его. И точки касания будут в первом случае действительные, во втором мнимыя. Поляра даппой точки есть прямая, соединяющая точки касания (действительные или мнимыя) двух касательных, проведенных из данной точки к коническому сечению;. когда точка лежит на коническом сечении, обе касательные сливаются в одну; она же служит и полярой к иочткасания. Обратно, каждая прямая пересекаетконическое сечение в двух точках, действительных или мнимых; через каждую из этих точек проходит касательная к кривой, соответственно действительная или мнимая; точка пересечения двух касательных оказывается всегда действительной—это есть полюс дайной прямой. В согласии с этпм уравнение поляры данной точки всегда имеет один и тот же вид, где бы ни лежал полюс. Если, например, кривая имеет уравнение вида (30), то уравнение поляры точки хЛ, Уи имеет соответственно вид:

УУ и _

xxt

(34).

Ш

а“ 1 Ь “ а“ 6

Если точка лежит на кривой, то уравнения (34) выражают касательную—соответственно—к эллипсу или гииерболе.

Другая сторона дела—это соответствие между полюсом и полярой. В отделе I мы указали на геометрическое соответствие, как на одну из основных категорий геометрических изысканий. Но соответствие, о котором была речь там, это соответствие точек; оно заключается в том, что каждой точке, скажем, плоскости мы относим в качестве соответствующей некоторую другую точку этой плоскости. Здесь каждое коническое сечение устанавливает некоторое соответствие другого рода: каждой точке отвечает прямая—ея поляра, каждой прямой—точка, ея полюс. В возможности такого сопряжения коренится источник глубокой аналогии между точками и прямыми—так называемое начало двойственности или взаимности. С этими идеями мы еще встретимся нижо в отделе, посвященном проективной геометрии.

В этом кратком обзоре аналитической теории кривых второго порядка мы имели возможность коснуться только самых существеппых вопросов; мы вынуждены обойти даже учение о софокуспых, подобных и гомотетичных конических сечениях, о пучках и связках их; мы должны были ограничиться теми сторонами дела, которые выясняют общую идей аналитического исследования кривых. Обращаясь теперь к кривым более высоких порядков, мы вынуждены ограничиться еще более краткими указаниями, главным образом, такими, которые выясняют, как быстро здесь все вопросы усложняются.

Пачпем с вопроса о независимости точек относительно кривой. Кривая второго порядка, как мы ужо упоминали выше, определяется 5 своими точками; при этом любия 5 течек, лежащих на данном коническом сечепии, являются независимыми в следующем смысле этого слова: если мы из 5 точек удержим только 4, то через них можно будет провести безчисленное множество конических сечений, пятой точки не содержащих. Дело обстоит иначе в случае кривых более высоких порядков. Общее уавнепиф кривой третьяго порядка имеет 9 независимых коэффициентов; сообразно этому, кривая 3-го порядка должна определяться 9 точками. Так опо и имеет вообще место; но здесь есть исключение, существенно отличающее этот случай от того, что имеет место в случае кривой 2-го порядка. Если мы возьмем 8 точек па кривой 3-го порядка, то через них можно, конечно, провести еще безчисленное множество других кривых 3-го порядка; но все оне проходят через некоторую определенную девятую точку. Более того, эти 9 точек образуют связанную группу таким образом, чтовсакаа кривая 3-го порядка, проходящая через 8 из них, необходимо проходит черев девятую. Эти зависимости еще усложняются для кривых более высоких порядков. Определение условия независимости точек па алгебраической кривой и связанных между собой групп составляет первый момепт в деле общого исследования алгебраических кривых.

На нераспадающейся кривой второго порядка все точки суть обыкновенные. Это зпачит, если мы опишем из то°ки 31 на кривой окружность весьма малым

Фигура 20.

радиусом, то она пересекает кривую в двух точках 31 и 31“ (фигура 20 а). Два радиуса MW и МЗИ“ образуют при весьма малой величине этого радиуса тупой угол 31ММ“, который выпрямляется по мере уменьшения радиуса; в пределе прямия МЗР и ММ“ сливается в одну—в касательную к кривой, по одну сторопу от которой располагается кривая. Если кривая 2-го порядка распадается на 2 прямыя, то точка пересечения 31 этих кривых (фигура 20 b) представляет собой единственный случай особенной точки: окружность, описанная около точки М малым радиусом, пересекает нашу линию в 4 точках. Точка 31 называется в этом случае двойной: если мы возьмем две точки W и 31“ на равпом расстоянии от М на одной и другой прямой, то прямая ММ“ встречает лилию в этих двух точках. Если мы будем уменьшать расстояние 31М—3131“, то обе точки пересечения будут приближаться к ЗГ, хотя прямая 3131“ в касательную не обратится.