> Энциклопедический словарь Гранат, страница 147 > Главнейшие инструменты

Главнейшие инструменты

Главнейшие инструменты, принадлежащие к перечисленным группам, следующие. 1) Для измерения линий служат: а) стальная цеп (рисунок 1) в

Рисунок и.

Рисунок 2.

10 сажен длины, состоящая из ста колен по 0,1 саж. каждое; б) стальная лента (рисунок 2), длиною так жевъЮсаж. и шириною около дюйма, с метками через одну десятую сажени и с нумерацией последовательных саженей; лента вытесняет в настоящее время на практике цепь; в) за границей для измерения линий пользуются пяти-метровыми деревянными брусьями. Вспомогательным инструментом, необходимым для определения угла наклонения к горизонту измеряемых линий или для нахождения приведения измеренной линии к горизонту, служат эклиметры разных типов. Перечисленными инструментами линии измеряются со случайными

“ Доошибками, составляющими отоо

10000 от длины линии в зависимости от условий измерения.

Для более тонкого измерения линий, необходимого для определения, например, длины базиза тригонометрической сети, служат особые приборы, иногда довольно сложные, называющиеся базисными приборами.

2) Под названием экер разумеется прибор для разбивки на местности постоянных, чаще всего прямых углов. Экеры бывают простые и отражательные; из них последние в свою очередь разделяются на зеркальные и призменные. Простые экеры бывают: крестообразный, восьмигранный, цилиндрический, конический, шарообразный. Экер крестообразный состоит из двух металлических линеек, соединенных между собою под прямым углом. На концах линеек помещены диоптры, визирные плоскости которых составляют между собою угол в 90°.

Снизу линеек в месте их соединения приделывается втулка, которою экер надевается на штатив или на палку. Восьмигранный экер (рисунок 3) состоит из медной восьмигранной призмы, на средине каждой грани которой сделан диоптр, и визирные плоскости диоптров пересекаются между собою, составляя углы не только в 90°, но также в 45° и 135°. Экеры других форм отличаются только тем, что визирные прорезы в них сделаны на поверхностях цилиндра, конуса, шара.

Из зеркальных экеров наиболее распространен двузеркальный (рисунок 4); он состоит из металлической коробки, к двум стенкам которой под углом Вb 45° прикреплены зеркала. Над зеркалами имеются в стенках коробки окна, так что, смотря на внутреннюю стенку коробки, мы видим отражение вехи,поставленной в стороне, куда обращен раструб зеркал, а над ним через окошко—веху, поставленную прямо перед наблюдателем. Если отражение вехи в зеркале кажется продолжением вехи, рис-прямо видимой, то мы находимся в вершине прямого угла, стороны которого проходят через упомянутия две вехи. Зеркала могут быть заменены призмами: одной прямоугольной равнобедренной призмой, двумя призмами, пятисторонней призмой.

Рисунок з-

3) Буссоль служит для определения углов, образованных магнитною стрелкою и данною линией на земной поверхности. Буссоли делаются с диоптрами или с трубою для визирования. Верхняя часть буссоли с диоптрами (рисунок 5) состоит из медной линейки с диоптрами, на средине которой приделано кольцо с градусными делениями. В центре кольца на остром шпиле подвешивается магнитная стрелка.

К линейке приделывается втулка, которою буссоль надевается на баксу, в свою очередь прикрепляющуюся к штативу. Угол между магнитной стрелкою и данною линией называется маги итным азимутом; он считается от северного конца стрелки Рисунок 5. вправо до данной линии и может иметь все значения от 0 до 360°. Если же брать между магнитною стрелкою и данною линией угол, меньший 90°, и отмечать квадрант, в который направляется линия, то есть северо-восток (СВ), юго-восток (ИОВ), юго-запад (103) и северо-запад (СЗ), то этот угол называют магнигппым румбом. Буссоли устраиваются либо с азимутальным, либо с румбическим кольцом. В первом из них деления назначаются в одну сторону (против часовой стрелки) от 0 до 360°, и по направлению диоптров располагается диаметр, соединяющий 0° и 180°; во втором по тому же направлению устанавливается диаметр, имеющий на обоих концах нули градусов, от которых идут в обе стороны деления до 90°. Вдоль линии направляются диоптры буссоли, и тогда концы стрелки указывают величину азимута или румба линии.

4) Для измерения углов между линиями в горизонтальной плоскости служат инструменты весьма разнообразных конструкций и размеров. Наиболее важным инструментом является теодолит. Измерение углов есть основное геодезическое действие как при определении опорных пунктов для съемки при помощи тригонометрической сети, так и при собственно съемочных работах. Теодолиты для тех и других работ устраиваются по одному и тому же плануу но отличаются размерами, устройством деталей, оптическою силою труб ит. п. конструктивными особенностями. Теодолиты для основных работ называются большими, для съемочных—малыми. Главные части теодолита (рисунок 6) суть: 1) лимб, на котором нанесены деления и производится определение величины измеряющихся углов, 2) уровень для приведения лимба в горизонтальную плоскость, 3) вращающийся на оси в центре лимба алидадный круг с прикрепленною к нему на стойках зрительною трубою и с приборами для отсчиты-вания делений лимба. Эти последние приборы бывают двух типов: более простые—нониусы и более сложные и тонкие—микроскопы со шкалами или с микрометрами. Лимб соединен с подставкою, которая на трех винтах устанавливается на головке штатива и прикрепляется к нему наиреп-ко винтом, носящим название станового винта. При измерении уггла “руба теодолита располагается сперва го направлению одной стороны (при чем отмечается отсчетом на лимбЬ по

нониусу или микроскопу положение алидадного круга), потом по направлению другой стороны с новым отсчетом. Разность отсчетов дает величину угла.

Малые теодолиты разделяются на две главных системы: простые и повторительные. Существенное отличие первых от вторых состоит в том, что в простых теодолитах лимб и подставка отливаются из одного куска металла и, следовательно, когда подставка прикреплена к штативу, лимб является неподвижным; в повторительных теодолитах лимб сам вращается около оси, проходящей внутри подставки, и потому при подставке, скрепленной со штативом, лимб может вращаться, и закрепление его производится особым винтом. Это обстоятельство дает возможность измерять один и тот же угол несколько раз на новых местах лимба, этим достигаются контроль и улучшение измерений.

Второе существенное различие в конструкции малых теодолитов состоит в том, снабжен ли теодолит буссолью или нет; присоединение к теодолиту буссоли является весьма ценным на работах в России, так как все планы русских межеваний ориентировались по магнитной стрелке.

Наконец, третье существенное конструктивное отличие разных теодолитов состоит в устройстве вертикального круга для измерения углов наклонения линий; инструмент может вовсе не иметь такового, может быть снабжен сравнительно грубым сектором или вертикальным кругом (иногда с делениями, не полными, а лишь на части—секторе в 60°—90°); назначение этой части инструмента в таком случае—давать углы наклонения линий с точностью, достаточною для вычисления горизонтальных проложений измеренных линий;наконец, вертикальный круг может быть той же точности, что и горизонтальный, и предназначаться для определения углов наклонения в целях определения разности уровней; этого рода теодолиты называются тахеометрическими.

Согласно с указанным, малые теодолиты распределяются на следующие типы: 1) теодолиты простые: а) без буссоли и вертикального круга, б) с буссолью, но без вертикального круга или наоборот, в) с буссолью и вертикальным кругом; 2) теодолиты повторительные с теми же подразделениями (на рисунке 6—теодолит повторительный с буссолью и вертикальным кругом, употребляющийся на межевых работах в России).

Трубы малых теодолитов весьма часто снабжаются сеткою нитей, рассчитанной для определения по рейке расстояний; это приспособление в трубах называется дальномером. На лимбах делаются деления обыкновенно через полградуса, и по нониусам отсчеты производятся с точностью до V.

Теодолиты в настоящее время вытесняют прежние инструменты тогоже типа и назначения, которые называются астролябиями.

Это самый старинный геодезический инструмент, изображение и описание которого встречается в древнейших трактатах по практической геометрии. В XVIII веке астролябия приобретает уже тот внешний облик, который, с позднейшими улучшениями и усовершенствованиями, она имеет и в настоящее время. Сперва астролябии (рис.

7) снабжались диоптрами, из которых два привинчиваются к лимбу и называются неподвижными, а два ставятся на алидаду, вращающуюся в центре лимба, к которой прикреплена также буссоль.

При измерении угла нужно направить неподвижные диоптры по одной его стороне, подвижные по другой, и угол между плоско-

стями, определяемыми этими двумя парами диоптров, выражется отсчетом по лимбу. Астролябия с диоптрами скрепляется со штативом при помощи соединительной баксы, весьма грубого приспособления, дающого возможность, однако, устанавливать лимб в горизонтальном положении. Астролябия с диоптрами описанного типа была тем инструментом, которым сделаны были с шестидесятых годов XVIII века до половины следующого крупнейшия работы по разграничению поземельной собственности в России, именно, генеральное межевание. Постепенно астролябии с диоптрами стали заменяться усовершенствованным инструментом—астролябией с трубою, сперва также на баксе, потом с подставкою на трех винтах, устанавливающеюся на штативе. Отсюда был уже только один шаг до теодолита.

Наконец, весьма распространенным и до этого времени является сравнительно грубый угломерный инструмент, называющийся пантометром или гониометром (рисунок 8).

Этот инструмент состоит из двух полых цилиндров, диаметром от 3 до 4 дюймов, стоящих один на другом, причем по верхней окрзчкности нижнего цилиндра намечены деления лимба, а на соприкасающейся с ним окружности верхняго—нониусы для отсчетов. Нижний цилиндр скреплен с подставкою, а верхний, вращающийся, несет на себе трубу или же имеет прорезы диоптров; к нему же прикрепляется буссоль.

Для измерения углов треугольников тригонометрической сети употребляются более совершенные угломерные инструменты: большие теодолиты, чаще всего повторительные, и универсальные инструменты (рисунок 9), имеющие, кроме горизонтального лимба, той же точности лимб вертикальный.

Эти инструменты имеют те же составные части, что и малые теодолиты, но

Рисунок 9.

изготовляются еще более тщательно, имеют большую плавность и равномерность движений различных частей. Точность, с которой измеряются углы этими иструментами, значительно выше той, которая достигается малыми теодолитами. Для этой цели в больших теодолитах и универсальных инструментах их лимбы подразделяются на более мелкие деления, наприм., через 10 или чаще, и в них устраиваются более тонкие приборы для отсчитывания, при помощи которых отсчеты производятся с точностью до 10“ и меньше.

5) Инструменты для графического построения углов называются мензуламии служат для непосредственного изображения в поле плана снимаемой местности.

Всякая мензула (рисунок 10) состоит из трех частей: а) доски, на которую наклеивается бумага для получения графического изображения контуров,

б) штатива, которым инструмент

Рисунок 8.

ставится на землю, и в) подставки, которая служит для соединения доски

со штативом. Мензулы различных систем различаются между собою именно устройством подставки.

Мензула, как и астролябия, так же весьма старинный инструмент; им уже пользовались в XVIII веке, и самое устройство мензулы того времени близко к простейшим из современных типов. Мензульная доска, или планшет, имет форму квадрата со стороной около 20 дюймов. При съемке доска должна устанавливаться в горизонтальном положении, для чего подставку снабжают подъемными винтами, а на доску ставят уровень.

Необходимым для каждой мензулы вспомогательным прибором являются алидада или кипрегель. Алидадою (на рисунке 10) называется медная линейка со скошенными ребрами и находящимися на концах диоптрами; длиною она почти равна стороне мензульной доски. Алидада приставляется на мензуле к той точке на доске, которая соответствует пункту стояния с мензулой, и направляется на те пункты, между которыми на мензуле должны быть изображены углы; по краю линейки при этом прочерчиваются стороны углов. Вместо диоптров утверждают на линейке на особой колонке зрительную трубу и получают кипрегель (рисунок 11). Трубу последнего снабжают дальномером для определения

разстояний и вертикальным кругом для измерения углов наклонений; такой тахеометрический кипрегель служит для совместной горизонтальной и вертикальной съемки на мензуле. Мелкими и второстепенными принадлежностями при мензульной съемке являются буссоль для ориентирования края доски по меридиану и и вилка для точной установки мензулы определенною на планшете точкою под пунктом местности (оба эти предмета видны на рисунке 10).

6) Непосредственное измерение разностей высот различных точек земной поверхности производится при помощи нивеллира и реек.

Принцип устройства нивеллира заключается в следующем: к подставке (рисунок 12), устанавливающейся на шта-

РиС. 12.

тиве, прикрепляется зрительная труба так, чтобы ось ея легко было приводить по данному направлению в горизонтальное положение; с трубою или с подставкою (как на рисунке 12) скреп ляется уровень, ось которого должна

Рисунок 14.

ном и том же состоянии атмосферы. Таким образом барометр является геодезическим инструментом, и в частности пружинные барометры, или анероиды, благодаря своим малым размерам и удобству переноски, являются весьма простыми и удобными нивеллирными инструментами; некоторые анероиды устраиваются таким образом, что на их шкалах отсчитывают не давления воздуха в дюймах или миллиметрах, а прямо высоты точек над уровнем моря в саженях или метрах.

Построение планов производится при помощи разных чертежных инструментов, из которых следует упомянуть: линейку, треугольник, циркуль, транспортир для построения углов с масштабом. Весьма разнообразный класс инструментов составляют планиметры, которые служат для определения площадей по планам. Из них особенно распространен

Рисунок 15.

быть параллельна оси трубы. На точках, разность уровней которых определяется, ставятся рейки (рисунок 13)—тонкие бруски, вышиною от 1 до 2 сажен с делениями на них через каждую сотку сажени (а иногда через две тысячных). Нивеллир устанавливают между рейками, направляют трубу поочередно на ту и другую рейку и считают числа делений от низа реек до горизонтального луча зрения нивеллира; разность этих чисел (взглядов) дает разность высот нивеллируемых точек. Последовательным приложением этого приема нивелли-руются какие угодно длинные линии. Нивеллирование производится также при помощи тахеометрического теодолита или кипрегеля, причем определяются: при помощи дальномера длина линии от инструмента до какой-либо точки местности и измеряется угол наклонения этой линии, отсюда легко вычислить разность Рисунок 13. уровней. В последнее время начинают входить в употребление такие инструменты, в которых отсчет угла наклонения линии заменяется прямо отсчетомъразности уровней; для этого к инструменту приспосабливается соответственная система счетных линеек (В,СС)- Такие теодолиты, в которых измерения углов наклонения заменяются определением разности уровней, дают возможность, следовательно, вести весьма быстро подробную съемку, как горизонтальную, так и вертикальную, с определением углов между линиями, длин линий и превышений однех точек местности над другими. Эти инструменты называются автоматическими тахеометрами. Вид одного из них, тахеометра Вагнер-Феннеля, изображен на рисунке 14.

Третий способ нивеллирования основан на том обстоятельстве, что давление воздуха изменяется при поднятии над поверхностью земли; вследствие этого о разности уровней точек земной поверхности можно судить по разности отсчетов барометра при одполярный планиметр Амслера, усовершенствованный Коради (рисунок 15). Для перерисовки планов с изменением их масштаба, именно для уменьшения планов, пользуются пантографами

Производ ство геодезических инструментов—отрасль промышленности для нашего отечества еще новая, но у наших соседей за границей насчитывается немало фабрик, переживших в свофй деятельности столетие, и там эта отрасль точного механического дела достигла высокой степени совершенства. В особенности в Германии повсюду рассеяны большия и малия мастерские, из которых иные имеют всемирную известность. Из современных русских фабрик геодезических иструментов следует отметить: в Петербурге—механическую мастерскую военнотопографического отдела главного штаба, в Варшаве— Г. Герлях, в Москве — Швабе, Таубер, Цветков и К°, Трындина и Громова.

И. Иверонов.

впереди всех по, обдуманности инструментов, тщательности их выполнения и разнообразию типов; в то же время русские геодезисты дали не мало своеобразных изменений как в методах производства работ, так и в конструкции приборов. Размеры земли определялись разными учеными, как из отдельных градусных измерений, так и из той или иной группы их. Позднейшим определением, сделанным на основании всего опубликованного до 1880 г. материала, является определение Кларка, который дает следующия цифры: длина большой полуоси (экваториальный радиус) земного сфероида а=2.989.457,4 саж. (5979 верст), длина малой полуоси (полярный радиус) 6=2.979.270,7 саж. (59 59 верст), отсюда величина

а—Ь 1

сжатия земли, т. е. —„

Ь 293

При изучении формы физической земной поверхности воображают, что каждая ея точка проектируется на математическую поверхность земли отвесной линией, проведенной в данной точке; при этом на поверхности геоида получается горизонтальное про-ложение точки физической земной поверхности; каждой линии или контуру на физической земной поверхности будет соответствовать контур горизонтального проложения на поверхности геоида. Задача изучения земной поверхности при этом распадается на две части: во-первых, нужно определить расположение горизонтальных ггроложений различных точек и линий и изобразить их на бумаге. Эта задача составляет предмет горизонтальной съемки и составления карты или плана. Во-вторых, нужно найти высоты точек физической земной поверхности над их горизонтальными проложениями (иначе, отметки над уровнем моря)—эта задача разрешается нивеллированием, результаты которого могут быть изображены графически либо отдельно в виде профиля или разреза вертикальною плоскостью земной поверхности по той или иной линии, либо эти результаты цифровыми надписями или условными знаками показываются на планах горизонтальных съемок, тогда это будут нивел-лирные планы. Горизонтальные проложения контуров данного пространства физической земной поверхности располагаются всегда, очевидно, на математической поверхности земли. Если этот район невелик, а именно не превышает нескольких десятков верст, то можно считать его, благодаря значительным размерам земли, за плоскость, и задача изображения всех контуров будет весьма проста; контуры могут быть вычерчены в подобном и уменьшенном виде, и мы будем иметь план района. Если же дело идет о значительном пространстве, то кривизною земли уже нельзя пренебрегать и на плоскости, на бумаге, нельзя изобразить значительный район без неизбежных искажений. При съемках значительных пространств земной поверхности, например, при государственных съемках, прежде всего избирают на местности систему главных опорных точек и стараются определить их относительное положение с возможною точностью. Лучшим методом для этого является метод триангуляции, или тригонометрической сети; он заключается в следующем: опорные пункты выбираются на местности так, чтобы они составляли цепи или сети последовательных треугольников; из каждого пункта должны быть видны по крайней мере два соседних, составляющих вместе с ним вершины треугольника. Так, на чертеже точки А, В, С составляют первый треугольник, на его стороне АС строится второй ACD, далее пойдет CDE, к сторонам которого в свою очередь примыкают СЕР и DEG, потом пойдут DGJ, JDK, KDL и LDM. Эти треугольники должны быть возможно ближе к равносторонним. Длины сторон триангуляции, или расстояния между пунктами, делаются сперва весьма длинными, от 20 до 30 верст, —это будет сеть первого класса; внутри этой сети размещается сеть более мелких треугольников второго класса со сторонами от 5 до 10 верст, причем эта более мелкая сеть опирается на сеть первоклассную так, что пункты последней служат непременно

9из

Гическую разработку основных идей Г.; другия—„О деленияхъ1“, „Поверхностные геометрические места“—составляют собрания серьезных задач частью на построение, частью на разыскание геометрических мест (к этим можно причислить и „Данныя“); третьи, главным образом—„Конические се-чения“, содержат материал, не вошедший в состав „Началъ“; наконец, четвертыя—„Феномены““, „Оп-тика“, „Музыка“ — содержат приложения Г. к астрономии, физике и гармонии. Таким образом, сочинения Евклида в совокупности охватывают весь материал современной ему Г.; в таком масштабе это был, конечно, первый и единственный в своем роде трактат.

Однако, это не значит, что после Евклида наступил упадок Г. Напротив, ближайшее после Евклида столетие представляет собой новый мощный подъем, можно сказать, золотой век греческой Г. В эту эпоху почти одновременно жили и творили три геометра, занимающие, быть может, наиболее выдающееся место среди греческих математиков; это были Архимед, Эратосфен и Аполлоний.

Об Архимеде (смотрите), по сохранившимся преданиям о его защите Сиракуз, в публике сложилось представление, как о представителе, главным образом, прикладной математики. В известной мере, это действительно справедливо: его сочинения „О равновесии плоских фи-гуръ“ и „О равновесии плавающих тел несомненно содержат основу современной механики (вернее, статики); но остальные сочинения (в том числе 7 дошедших до нас) носят чисто математический характер. Главная заслуга Архимеда заключается в указании методов измерения длины окружности, площади круга, объёма и поверхности шара, площади параболы—вообще, следовательно, измерения криволинейных образов. У Архимеда впервые получил цельную разработку тот прием, который в средние века был известен под названием метода исчерпывания, а в нашей элементарной Г. известен под названиемметода пределов. Конечно, никакого общого обоснования этого метода ни у Архимеда, ни у позднейших греческих геометров нет; вряд ли здесь даже возможно говорить об едином методе. Но для того, кто смотрит на эти приемы с современной точки зрения, в них совершенно ясно вырисовываются те общия идеи, которые положены в основу современного интегрального исчисления. С особой явственностью эти идеи выражены в недавно открытом „Эфоди-ке“,—послании к Эратосфену о некоторых теоремах механики. Сущность Архимедова метода в применении, например, к квадратуре параболы заключается в том, что он вписывает в нее треугольники, последовательно удваивая число их, и этими треугольниками постепенно „истоща-етъ“, „исчерпывает измеряемую площадь; тела вращения в „Эфодике“ рассматриваются, как состоящия из безчисленного множества круговых сечений, заполняющих объём. Этими методами Архимед нашел приближенное значение числа к (ЗВ7), носящее его имя. Учение об измерении круга и шара в том виде, как оно разработано Архимедом, и составляет главное дополнение к „Началам Евклида, вошедшее вместе с последними в состав элементарной Г. (смотрите выше).

Заслуги Эратосфена отнссятся, главным образом, к астрономии и геодезии: в Г. он оставил толькоаппарат, служащий для построения двойной средней пропорциональной (т. е. отрезка х, определяемого пропорциями а: у=у:х; у: х — х: Ь), в частности для удвоения куба. Зато Аполлониии Пергамский обезсмертил свое имя трактатом о конических сечениях, в котором эти замечательные кривия изучены с такой исчерпывающей полнотой, что дальнейшия исследования фактически прибавили к нему весьма немного. Наши методы оставляют далеко за собой сложные рассуждения Аполлония; но фактический материал, изучаемый, например, нашими студентами в университете, не охватывает всего содержания трактата Аполлония. Ииампридется еще возвратиться к этому трактату (смотрите приложение). Трудами Аполл., можно сказать, завершается классическая Г. „Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний“, говорит Мориц Кантор, „довели математику до такой высоты, дальше которой старыми методами ее невозможно было развивать. И не только выше нельзя было подняться, но и достигнутия вершины науки были вскоре исследованы во всех направлениях. Оставалось вернуться обратно, осмотреться, разобраться в частностях того материала, мимо которого проскользнули творцы науки, быстро взбираясь на ея крутизны“.

С этого именно времени начинается упадок геометрического творчества. Первое столетие до Р. Хр. и первое после Р. Хр. еще дали отдельных выдающихся геометров (Феодосий, Менелай, Герон, Нико-мах); но это уже люди меньшого размаха, вклады которых в науку носят изолированный, частичный характер. Составляется впечатление, что все главное, принципиальное уже сделано; можно вносить лишь поправки и дополнения второстепенного значения. После Птолемея упадок идет уже быстрыми шагами, и математическая мысль сосредоточивается, главным образом, на разборе „Началъ“ Евклида. Издаются многочисленные к ним комментарии, которые, по большей части, ничего не вносят ни в фактическую, ни в логическую сторону дела: они перебирают случаи, Евклидом опущенные, пополняют и исправляют определения, вносят новия аксиомы и леммы. „Но всеми этими случаями, леммами, новыми доказательствами“, говорит ИИрокл, „мы уже насыщены до отвала“. Лишь немногие из комментаторов Евклида возвышались до действительно продуктивной разработки и критики; мы упомянем только Теона (ГВ ст.), которому принадлежит издание Евклида, давшее начало почти всем сохранившимся спискам, Паппа, также жившего около IV столетия, и Прокла (V ст.), последнего из глубоких классических комментаторов Евклида. С падением греческой культуры была забыта и греческая Г.

О развитии так называемой классической Г. у других народов не приходится много говорить. Римляне ничего в нее не внесли; здесь нельзя назвать ни одного имени, которое приближалось бы, если не к великим творцам Г., то хотя бы к греческим геометрам второй величины. Только римские землемеры оставили некоторые практические приемы, сохранившие свою ценность. Начатки интуитивной Г., которые мы находим в поэтических трактатах индусских астрономов (Арьябхатта, Брахмагупта, Бхаскара) совершенно бледнеют перед созданием греческого гения.

Хранителями греческой науки после падения античной культуры явились арабы. Арабская наука в эпоху своего расцвета (X—ХПИ ст.) выдвинула и весьма выдающихся математиков, но это все были алгебраисты, их считают даже отцами алгебры (смотрите II, 88); но геометров, которые сделали бы крупный вклад в эту науку, они не выдвинули; даже Насир Эддин (XIII ст.) играет лишь скромную роль комментатора Евклида. Но арабы перевели сочинения греческих геометров и прежде всего Евклида на арабский язык; они их тщательно изучали и комментировали; они послужили, таким образом, проводниками классической Г. в новую европейскую культуру.

В ХП ст. начинается возрождение науки в Италии и на западе Европы. В 1220 г. знаменитый итальянский геометр, Леонард Пизанский (смотрите), опубликовал сочинение под названием „Practica Geometriae“. Это—руководство, содержащее, главным образом, практические сведения из Г., заимствованные у Евклида и Архимеда. С этого времени, сначала в Италии, а затем во франции и Германии, начинают появляться руководства по Г., перечислять которые нет нужды; большая часть из них—новия издания, переводы и переработки Евклида; некоторые составляют попытки заново разработать элементы геометрии,—но эти попытки черезвычайно слабы. На протяжении столетий мы не можем указать крупных вкладовв Г.; задачи, интересующия геометров, как бы сузились до отдельных частных вопросов, правда, часто очень интересных и трудных. Новый подъем геометрического исследования начинается с ХВП столетия, но он характеризуется уже совершенно другими приемами. В классич. же Г. даже „Начала“ Лежандра (1-ое изд. 1794) внесли изменения исключит. по форме и методу разработки, а не по существу. „Начала“ Лежандра послужили прототипом, по кот. составляются наши учебники Г.; все со-врем. руководства элемент. Г. построены более или менее по этому типу. Т. к. идеи, с кот. связано дальн. развитие Г., носят более спед. характер, то продолжение статьи Г. выделено в приложение. В. Каган.