> Энциклопедический словарь Гранат, страница 145 > Главное же значеиие конических сечспий в прикладном знании заключается в том
Главное же значеиие конических сечспий в прикладном знании заключается в том
Главное же значеиие конических сечспий в прикладном знании заключается в том, что материальная точка, которая движется вследствие притяжения к неподвижному центру, действующого по закону Ньютона, совершает свое движение по одному из конических сечений. От величины и направления начальной скорости зависит, будет ли орбита эллипсом, гиперболой или параболой. Не даром говорили, что Кеплер не открыл бы законов движения небесных светпл, если бы древние пе разработали учения о копнчеекпх сечениях.
Мы не исчерпали здесь, конечно, даже важнейших свойств конических сечений; но многие из них мы еще укажем, когда придем к этим замечательным кривым с других точек зрения; другия же свойства читатель может найти в специальных сочинениях.
Коническими сечениями пе исчерпываются высшия кривыя, которые встречаются в классической геометрии. Грекам принадлежат еще квадратрикса Гппиаса Эллийского, конхоида ИИикомеда, циссоида Диоклфсса, спираль Архимеда и другия кривыя; но оне не объединены здесь общей руководящей идеей, и мы предпочитаем сказать о них в другом месте.
III. Руководящия идеи аналитической геометрии.
Методы классической геометрии чвжды какого бы то ни было алгебраического оттепка. Греки, как известно, ие владели алгеброй, а, напротив, часто облекали в геометрическую форму то, что мы в настоящее время относим к алгебре. Вторжение алгебры в область геометрического исследования составило новую эпоху в истории геометрии и вызвало в этой пауке новый мощный подъем.
Единственная форма вычисления, которую мы пахо-дим у Евклида и Аиоллония, это —пропорции; по даже учение о пропорциональности, как оно создано было Евдоксом, посит в греческой литературе своеобраз-шый характер, обходящий попятие о числе.
Связь между геометрией и алгеброй впервые устанавливают арабы. Если греки в своих построениях справлялись с уравнениями второй степепи геометрически, то у арабских писателей мы находим уже эти уравнения в чистом виде; более того, арабские математики обнаруживают постоянную склонность сводить аадачп на построение к решению алгебраических уравнений. Эти приемы от арабов перешли к итальянским математикам эпохи Возрождения; у Леонарда Пизанского, у Региомонтана, у Пачиолли мы постоянно встречаем геометрические задачи на построение, которые они решают алгебраически, т.-ф. сводят решение эадачи к разысканию некоторых неизвестных, определяемых одним или несколькими уравнениями. Тем не мепее отцом приложения алгебры к геометрии обыкновенно считают знаменитого французского математика Виста (смотрите АлиеСра, П, 91/94); его знаменитая книга „In artem analyticura isagoge“ (1591) содержит как первое систематическое изложение начал символической алгебры, так и первую попытку систематически изложить приложения алгебры к геометрии, т. е. систематически указать методы построения алгебраических выражений. Таким образом приложения алгебры к геометрий развивались деразрывпо с ходом развития самой алгебры; но приложения этп всегда сводились к следующему основному припципу: для решения геометрической задачи на построение та или иная геометрическая величина (обыкновенно отрезок) принималась sa неизвестную; составлялось уравнение, от которого эта неизвестная зависит; это уравнение разрешалось, и полученпое выражение воспроизводили графически—строили. Этими методами был несомпенно расчищен и подготовлен путь к аналитической геометрии; но прямое зарождение последней зпаменуется существенно новой идеей, почти одновременно высказанной двумя великими французскими математиками Депортом и Ферма; эта идея заключается в геометрической интерпретации неопределенного уравнения, связывающого две переменные величины—координаты точки.
Под координатами точки разумеют те величины, которыми па данном геометрическом образе определяется положение ея; так, например, если мы на прямой или па кривой линии фиксируем некоторую постоянную точку 0, то положение всякой другой точки А на этой линии будет известно, если будет задано расстояние точки А от начальной точки О, отсчитываемое по длинеэтой лппии, иначе говоря, если будет задана длина дуги ОА этой линии. Эта величина и представляет собой коордппату точки на нашей линии. Чтобы этой координатой положение точки действительно определялось вполне, к длине отрезка О А должеп быть присоединен знак, который указывал бы, в какую сторопу от точки О нужно отложить заданпую длину, чтобы прийти к точке А. Всем известно, что положение точки па поверхности земли определяется ея долготой и широтой; долгота и широта представляют собой координаты точки на земной поверхности.
Декарту принадлежит очень простой метод для определения положения точек на плоскости при помощи длин двух отрезков—абсциссы и ординаты точки. Сущность этого метода вполне выяснепа в статье „Высшая математика“ (XII, 66/69), и мы не будем здесь к ней возвращаться. Идея координации, конечно, не нова, зародыши ея можно найти ещо у греческих геометров. Ганкель приводит целый ряд средневековых авторов по математвке и астрономии, у которых эта идея выражена со всей возможною ясностью. Не в введении понятия о координатах заключается заслуга Декарта, а в том геометрическом истолковании, которое он дал каждой зависимости между двумя координатами точки.
Положим, что между координатами у и х установлена некоторая зависимость, так что значение у определяется значением х, то есть у есть функция от х:
»=/()(7)
Попятие о функции (смотрите функция) мы предполагаем здесь совершенно усвоенным; здесь заметим только, что самая идея Декарта не мало содействовала установлению и уяснению этого понятия. Положим для простоты, что f (х) в соотношении (7) есть однозначная непрерывная функция. Если мы в этом соотношении дадим значение х, то оно даст для ij некоторое определенное зпачсниф у; papa координат ( х, у) определит некоторую точку W (фпг. 11); дадим теперь х некоторое другое зпачопие х соотношение (7) даст для этого соответствующее значение у; координаты (ж“, у“) определят точку М“; если теперь возьмем произвольно х“ то ему будет соответствовать ордината у“ и точка М,г; мы можем получить таким образом неограниченный ряд точек, которые будут тем чаще следовать одна за другой, чем гуще мы будем брать значения независимой переменной х; если мы представим себе, что переменная х проходит непрерывно через все доступпия ей зпачепия, то соотношения у определят непрерывныйряд точек—кривую; об этой кривой говорят, что она выражается уравнением (7). Таким образом каждое уравнение вида (7) выражает некоторую кривую на плоскости. Если f (х) есть неоднозначная функция, то каждому значению х отвечает не одна, а песколько точек; например, если f (ге) есть трехзначная функция, то каждому значению ж,ж“,ж“ отвечают три точки Mit Jfs),
(М“4, Jf“8, if“,), (i/“|f if“., if“,) (фигура 12); в этом случае уравнение (7) выражает кривую, состоящую из нескольких веток; эти ветки могут иногда соединяться, как верхния две на фигуре 12, могут иногда располагаться изолированно, как нижняя и верхняя кривая на фигуре 12.
В соотношении (7) ордината у выражена, как явная, непосредственно заданная функция от абсциссы х. Соотношение между координатами может быть выражено уравнением более общого вида:
f{x, у)=О(8)
связывающим координаты х и у; но и в этом случае каждому значению х отвечает одно нлп несколько значений у; разрешая это уравнение, мы приведем его к виду (7). Уравнение вида (8) также выражает некоторую линию на плоскости.
Обратно, если дана некоторая кривая линия, например изображенная на фигуре 11 или 12, то каждому ич-чению абсциссы х точки этой линии отвечает одно
Мы старались отчетливо выразить эту идей Декарта, несомненно представляющую собой одно из величай ших завоеваний математической мысли, переносящее в алгебру и анализ центр тяжести геометрического исследования. Эти идеи получили выражение и развитие вт небольшом по объёму сочинении „Геометрия“, опубликованном Декартом в 1637 г., и долгое время оне связывались исключительно с его именем. Однако, в последнее время обнаружилось, что ферма владел этими идеями уже в 1629 г.; об этом свидетельствует сохранившееся письмо ферма к Робервалю, а главным образом посмертный мемуар Ферма („Isagoge ad Иосоч pianos et solidos“); оставлять поэтому имя Ферма в тени было бы тем более несправедливо, что в этом ме-муаре идея аналитической геометрии разработана с значительно большей полнотой, чем у Декарта. Но и здесь следует подчеркнуть, что зародыши этой идеи можно найти уже в глубокой древности. В самом деле, возвратимся, например, к соотношению (3), которым парабола определялась еще до Аполлония, правда, в геометрической форме. Будем рассматривать прямия АС и АН (фигура 6), как оси координат, и отрезки AC ~а CD примем за абсциссу х и ординату у точки на кривой; постоянный отрезок АН обозначим через р. Соотношение (3) древние выражали таким образом, что квадрат, построенный на OD, равен пря-
вли несколько значений у; ордината у представляет собой, таким образом, некоторую функцию абсциссы х, и кривой соответствует уравнение вида (7) или (8).
Итак, каждое уравнение вида (8). выражает некоторую кривую на плоскости и. обратно, каждая кривая выражается некоторым уравнением этого вида. Координаты каждой точки кривой удовлетворяют этому уравнению и, обратно, каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению, лежит на кривой.. Это есть уравнение кривой. Так как по этому уравнению можно воспроизвести все точки кривой, то в нем необходимо содержатели все свойства кривой; исследование кривой сводится к исследованию этого уравнения между координатами точки.
Фигура 13.
моугольнику, построенному на АС и АН. Если мьт, однако, выразим это соотношение в числах при помощи принятых сейчас обозначении, то получим:
У =рх,(9)
как уравнение параболы. Таким же образом соотношение (4), служащее общим определением конических сечении у Аполлония, в новых обозначениях имеет вид
У3=рх- -hx ..(Ю)
это и есть обгцев уравнение конических епчений.
В основе Декартовой координации лелсат две неподвижные пересекающияся прямыя—оси координат; эти осп могут быть выбраны, конечно, произвольно; каждой системе осей отвечает своя координация. Ипынш словами, каждая точка относительно однех осей будет иметь одне координаты, относительно других—другия. Весьма простая, по в то же время и основная задача аналитической геометрии заключается в следующем:
тючки плоскости отнесены к пекоторой одной системе кюордипат, затем выбрапм новия оси; как выразятся стария координаты каждой точки через новия и обратпое Простейший случай мы имеем возможность здесь же исчерпать. Положим, что плоскость была отнесена к- осям ОХ и 0Y (фигура 13); пусть ху у будут координаты произвольной точки М, а а, Ь—координаты некоторой определенп<-й точки 0f. Через эту последпюю проведем прямия ОХ и O F, параллельпия старым осям; координаты точки М относительно новой системы осей обозначим через х у (смотрите чертеж). Одного взгляда па чертеж достаточно, чтобы убедиться, что х=х -f-я, у — у b(11)
Таковы в этом случае простия формулы преобразования координат; простота их обусловливается темь обстоятельством, что новия оси параллельны первоначальным. При ином относительном положении осей оне становятся сложнее, но всегда имеют вид:
х — кх -j- Иу - -а, у — тх - -пу> -f- 6,.. .(12) где коэффициенты kt I, т, и зависят от относительного положения новых и старых осей.
Учение о преобразовании координат всегда начинает собой аналитическую геометрию и имеет капитальное значепиф потому, что от выбора координат в большой мере зависит и форма уравнения кривой: целесообразное избрание осей часто приводит к значительному упрощению уравнения.
Способ координации точек па плоскости, указанный Декартом, отпюдь не является единственным. Из других методов координации важнейшее значение имеют полярные координаты. Здесь положение точки М на плоскости определяется относительно неподвижной оси ОХ (полярной оси, фигура 14) и постоянной точки на ней О (начала). На том же чертеже показаны и Декартовы координаты той же точки М. Полярными координатами служат расстояние г — ОМ и угол Ф MON; соотношение между г и ф вида:
Г=f (ф) ИЛИ f (г, ф)=о(13) 1
выражает линию на плоскости. Положение точки на плоскости может определяться ся расстояниями от двух неподвижных точек (биполярные коорднпаты), пересечением проходящих через нее конических сечелий (эллиптические координаты) и многочисленными другими способами. Ламе (G. Lame) дал общую теорию координации („Lemons sur les coordonees couryilignea“), которая служит по ыасто.тщее время основанием наиболее общихметодов аналитического исследования кривых. Мы укажем здесь только осповную идей этих общих исследований, представляющую собой непосредственное развитие идей Декарта—Ферма.
Пусть t будет совершенно произвольная переменная, и пусть
=и y=g(t).(14)
будут два уравнения, определяющия координаты х, у точки на плоскости в зависимости от t. Тогда каждому значению t отвечает пара значений х, у, то есть отвечает точка на плоскости; совокупность всех точек, отвечающих всем доступным для переменной t значениям, образует линию; говорят, что эта линия выражается уравнениями (14) в зависимости от парамфт pa t. Эти два „параметрические“ уравнения заменяют одно Декартово уравнение (8); и это последнее уравнение можно получить, исключая параметр t из этих уравнений. Эти идео вполне выясняются на следующем □ростом примере. Разсмотрим окружность, описанную радиусом г из начала прямоугольных Декартовых коордиват (ф. 14). Из прямоугольника MON мы видим, чтох =. г соэф, у — г эипф(15)
Это и будут параметрические уравнения окружности, выражающия координаты точки на окружности через параметр ф. Чтобы получить Декартово уравнение окружности, нужно из пих исключить ф; возвышая для этого уравнения (15) в квадрат и складывая их почленно, получим:
х“ + у“=г“(16)
Выяснив с надлежащей обстоятельностью исходные тдек аналитической геометрии на плоскости, мы можем >граничиться относительно распространения этих идей на трехмерное пространство тем, что изложено в статье „Высшая математика“ (XII, 73/74), и здесь дадим только сводку результатов.
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами; в системе декартовых прямоугольных координат этими координатами (:е, у, з) служат расстояния точки от трех взааиноифр-иендпкулярных плоскостей, взятия с надлежащими знаками. Каждой уравнение вида:
f (х, у, в)=0,..(17)
связывающее эти координаты, выражает поверхность; два уравнения вида;
/ (я, У, )=0, g (х, у, з) =0.. .. (18)
выражают кривую в пространстве. Изследование линий и поверхностей сводится таким образом к исследованию уравнений, которыми оне выражаются.
IV. Учение об алгебраических кривых.
При аналитическом исследовании плоских кривых естественным основанием для классификации последних должна служить форма уравнения кривой. Но, как ми сказали, эта форма в большой мере эависит от выбора координат. В основу классификации должпы быть, естественно, положены такие свойства уравнения, ко»
тория пе меняются прп преобразовании координат определенной системы, например декартовых коордипат. Плоские кривия делятся прежде всего на алгебраические и трансцендентныя; алгебраическими кривыми называются такия, в которых левая часть уравнения (8) представляет целую алгебраическую функцию от ж и у, т-е. полином, расположенный по степеням хну. Кривия же, уравнения которых не могут быть приведены к этому виду, называются трансцендентными; мы ниже приведем несколько примеров трансцендентных кривых, а теперь обратимся к алгебраическим кривым.
Каким бы преобразованиям мы ни подвергали декартовы координаты, степень уравнения, выражающого алгебраическую кривую, не изменяется; эта степень представляет нечто для алгебраической кривой неизменное (инвариант), характерное; эту степень называют поэтому порядком кривой. Покажем, что прямая есть линия первого порядка, то есть выражается уравнением первой степени. Так как степень уравнения, как уже было сказано, не зависит от выбора осей, то мы будем в дальнейшем пользоваться прямоугольными координатами, то есть такими, в которых оси координат образуют прямой угол.
Пусть ОР будет прямая, проходящая через точку пересечения осей О, или начало координат, как ее принято называть (фпг. 15); пусть Р (ж, у) будет про
значим тангенс угла а, который «и.имая образует с осью абсцисс. Теперь из прямоугольного треугольника с катетами х и у ясно, что для лэбой точки прямой Р имеет место соотношение:
у=xtga, то есть у=кх;(19)
это и есть уравнение прямой, проходящей через начало координат; коэффициент при х к называют угловым коэффициентом прямой. Положим теперь, что нам пуж-но составить уравнение прямой ОР, не проходящей через начало координат. Пусть а, b будут координаты произвольной точки 0 этой прямой; проведем через нее две прямия ОХ и O Г, параллельпия осям, и при“ мем эти прямия за оси повой системы координат. Так как теперь прямая ОР1 проходит через начало, то в повых координатах (ж, у) фя уравнение будет иметь форму (19), то есть будет: у=кх>.
Но при помощи формул (11) мы молсем легко перейти от новых коордипат (ж, у) к первоначальным (ж, у); ясно, что уравнение примет вид:
У — b — к (х — а).(20).
Эю есть уравнение прямой, проходящей через даннуюточку (а, b) и образующей с осью абсцисс угол а (tga — k). Прямая, таким образом, всегда выражается уравнением первой степени, то есть представляет собой лппию первого порядка. Предыдущее рассуждение падает только в том случае, если прямая перпендикулярна к оси абсцисс: в этом случае коэффициент к в уравнениях (19) и (20) обращается в безконечность; треугольника, из которого мы получили соотношение (19), вовсе нельзя составить. Но если PQ есть такая прямая (перпендикулярная к оси абсцисс) и а есть абсцисса точки Q, в которой она встречает ось абсцисс, то и все точки прямой PQ имеют ту же абсциссу, то есть для всех точек этой прямойх=а(21)
Это и есть уравнение прямой, параллельной ось ординат; оно также представляет собою уравнение первой степени.
Обратно, всякое уравпепие 1-ой степени может быть приведено либо к виду (20), либо к виду( 21). В самом деле, наиболее общий вид уравнения первой степени между двумя переменными (ж, у) есть:
Ax -f By=С(22)
Если в этом уравнении коэффициент В отличеп от пуля (то есть если в нем не отсутствует вовсе у), то оно может быть решено относительно у, и тогда примет вид:
у=кх + 1(23)
Пусть а, Ь будет пара значений переменных хну,
удовлетворяющих этому уравнению; мы будем тогдаиметь тождество:. _ .,
Ь=ка -f I(24)
Вычитая это тождество из уравнения (23), мы приведем его к виду (20); оно выражает собой, следовательно, прямую, проходящую через точки (а, Ь) и имеющую коэффициент наклона к. Если в уравнении (22) члена, содержащого у, нет, то оно приводится к виду (21), то есть выражает прямую, параллельную оси ординат.
Мы преднамеренно остановились несколько подробнее на этом анализе, так как, при всей своей простоте, он является типичным для аналитического исследования геометрических образов. Уравнений прямой у Декарта пет, у Ферма онн приведены в несколько иной форме. В современных сочинениях по анали тической геометрии учепие о прямой изучает аналити чески все те вопросы, которые в классической геометрии решаются графически: там решают задачи о построении прямых, перпендикулярных или параллельных дапным прямым, о проведении биссфкторов углов между прямыми, вообще, о проведении прямых но разным заданиям; здесь задача сводится к тому, чтобы по аналогичным заданиям составить уравнения соответствующих прямых и, обратно, по уравнению прямой судить об ея положении. Мы обратим здесь внимание еще на одно только обстоятельство. В наиболее общем уравпфнии прямой (22) имеются как будто 3 произвольных коэффициента; в действительности их, однако, только 2, так как на один из коэффициентов мы всегда можем уравнение разделить. Этому факту отвечает то обстоятельство, что прямая определяется двумя задании ми, в частности, двумя своими точками.
Обращаясь теперь к кривым второго порядка, заметим прежде всего, что наиболее общее уравнение этого рода кривой имеет вид:
Ах‘2 By- -f- Сху -f- Р% -f- Ey -f- F=0. .. (25)
Здесь коэффициентов 6, по так как однп из них мы можем делением свести к 1, то независимых коэффициентов остается 5. Соответственно этому кривая 2-го порядка наиболее общого вида определяется 5 заданиями, в частности 5 своими точками.,
Обращаясь к вопросу о возможной форме кривой 2-го порядка, заметим прежде всего, что левая часть может иногда распадаться на два рациональных множителя 1-ой степени, то есть уравнение (25) иногда может быть представлепо в виде:
(ax -J- by -f- с) {ах - -Ь у cf) z=0 (26) !
Но так как произведение двух множителей обращается в нуль в том и только в том случае, если один из множителей обращается в нуль, то уравнение (26) распадается на 2 уравнения
ax by + с=0; ах Ьу с“=0,. .. (27) то есть выражает две прямыя. Говорят, что кривая 2-го порядка распадается в этом случае на 2 прямия или „вырождается“ в две прямыя. Интерес сводится, таким образом, к определению формы нераспадающейся кривой второго порядка. Весь вопрос исчерпывается в этом случае следующей теоремой: уравнение всякой нераспадающейся кривой второю поряока надлежащим преобразованием координат всегда может быт приведено к виду (10); а так как это последнее уравнение, в зависимости от значения коэффициента 1и, выражает то или иное коническое сечение, то всякая кривая второю поряока представляет собой коническое сечение (даже распадающаяся, так как две прямия также могут представлять сечение конической поверхности плоскостью). Аналитическая геометрия, таким образом, приводит к коническим сечениям, как к первой по простоте после прямых категории кривых линий.
Мы остановимся еще па некоторых деталях. Первый шаг в деле исследования уравнения (25) заключается б том, чтобы решить, от каких членов это уравнение может быть освобождено надлежащим преобразованием координат. Оказывается, что надлежащим поворотом осей уравнение всегда может быть освобождено от члена, содержащого ху. Интерес исследования сосредоточивается па том, мояс«ть ли ураппопие быть также освобождено от членов, содержащих координаты х, у в первой степени; это иногда бывает возможно, иногда невозможно. Если это возможно, то уравнение принимает вид
Агс2 -|- 7ег/2=F.(28)
Существенная особенность этого уравнения заключается в следующем: если ему удовлетворяют значения переменных (а, b), то ему удовлетворяют в этом случае также значения (—а,—Ь). Иначе говоря, если на кривой лежит точка М (а, 6), то па пей лежит также точка М (—а,—6), симметричная точке М относительно пачала; начало служит серединой отрезка ММ, то есть серединой любой хорды кривой, через пего проходящей; начало служит центром симметрии кривой. Итак, если уравнение кривой может быть приведено к виду (28), то она имеет центр. Если здесь F не равно 0 (случай F=0 мы рассмотрим ниже), то уравпепиф можно разделить па F, и оно примет вид:
Ах1 ф- Ву-=1
(29)
уравнения имела бы отрицательное значение. Вновь возможны, таким образом, 2 случая,—когда оба коэффициента имеют положительные значения и когда один имеет положительное, другой отрицательное зпачсние. Если поэтому мы абсолютные величины коэффициентов
А и В выразим для симметрии через — и -тт-, тоа“ 62
уравнение (29) примет одну из двух форм: а:2 в2 ж2 V2
b — р“=1
Как уже было выяснено в статье „Высшая математика“, первое из этих уравнений выражает эллипс, второе—гиперболу; в том и в другом случае оси кривой лежат па осях координат и имеют длины 2а и 26. Впрочем, но виду этих уравнении можпо сразу усмотреть, что в нервом из них координата х по абс. величине не может превышать а, а координата у не может по абс. величине превышать 6; уравнение выражает ограниченную кривую—эллипс; во втором уравпепии обе коордипаты могут принимать сколь-угодно большия значения, как это имеет место в гиперболе.
Любопытно сравнить уравнения (30) с аналогичными, которые получаются, когда мы в правой части вместо 1 напишем нули; это соответствует упомянутому выше случаю, когда в ур-ии (28) F т= О. Мы получим: ж2, у1 _ ж2 и/2
--h —=0,—
а2 Ь2 ’ а2 62
О
(31)
Левая часть первого из этих уравнений состоит из двух положительных слагаемых; она может поэтому обратиться в 0 только в том случае, если каждое слагаемое отдельно обращается в нуль. Иными словами, уравнению удовлетворяет только одна пара действительных значений переменных х—0, у=0, то есть оно выражает только одну точку—начало координат.
Что касается второго уравнения, то оно распадается на два:
-+т=0’ <32>
Не трудно убедиться, что это две прямыя, проходящия через противоположные вершипы F,J и G,1J прямоугольника (фигура 5), построенного па осях соответствующей гиперболы. Этп замечательные прямия называются асимптотами гиперболы; обе ветви кривой медлеппо и неограниченно приближаются к асимптотам с обеих сторон, никогда их, однако, не достигая.
Возвратимся еще к первому из уравпений (30); ему удовлетворяет, кроме одной пары действительных значений х, у, еще безчисленное множество комбинаций мнимых значений. Это обстоятельство привело к идее ввести в рассмотрение так называемия „мнимия точки“. Под мнимой точкой разумеют только пару мнимых значении координат; никакого пространственного образа с этим понятием пе соединяется. Когда говорят, что па том или ином образе лежит мнимая точка, то это лишь по форме геометрическое выражение того факта, что пара мнимых значений координат удовлетворяет уравнению геометрического места. Так как левая часть 1-го уравнения (30) может быть разбита на два мнимых множителя, то она распадается па уравнения
Отсюда следует, что коэффициенты А’ и В> не могут быть оба отрицательными, так как тогда левая часть их -f уи — 0, х — уи — 0,(33)
Говорят, что оно выражает две „мнимия г»пя“
Принятый внутрь, Г. производит раздражающее действие на бронхи и легкия, причем воспалительный процесс, несколько обостряясь, изменяется в том смысле, что жизнедеятельность тканей (слизистой оболочки бронхов, легочной ткани) повышается, и в связи с этим усиливается кровообращение в области воспаления, усиливается реакция тканей на возбудителей воспаления (микроорганизмы); воспаление принимает более доброкачественный характер, отделение мокроты делается более обильным, но сама мокрота становится менее вязкой, из слизистогнойной превращается в слизистую; в связи с этим уменьшается кашель. Однако, большия дозы Г., черезмерно раздражая легочную ткань, могут способствовать легочным кровотечениям; кроме того Г. может раздражающим образом действовать на стенки желудка. В целях уменьшения раздражающого влияния Г. на ткани организма, в последнее время употребляют Г. не в чистом виде, а в соедин. с углекислотой (углекислый Г.). Н. Кабанов.