> Энциклопедический словарь Гранат, страница 148 > Глубокое изучение высших алгебраических кривых тксно связало с решением сложных алгебраическихъ вопросов

Глубокое изучение высших алгебраических кривых тксно связало с решением сложных алгебраическихъ вопросов

Глубокое изучение высших алгебраических кривых тксно связало с решением сложных алгебраических вопросов; геометрическое и алгебраическое исследования идут здесь рядом, и геометрия часто оказывает такие же услуги алгебре, какие последняя оказывасть геометрии.

V. Учение об алгебраических поверхностях.

Остановившись сравнительно подробно на аналитическом исследовании алгебраических кривых, мы дадим лишь краткий обзор результатов, к которым приводит применение техт> же приемов к исследованию алгебраических поверхностей.

Как было выяспепо в отделе III, поверхность выражается уравнением вида F (x,y,z) — О. Поверхпость называется алгебраической, если она выражается алгебраическим уравнением; степень этого уравпепия определяет порядок поверхности. Поверхность первого порядка, выражающаяся уравнением

Ax + By + Ся + I)=О,(35)

представляет собою плоскость; и, обратно, каждая плоскость выражается уравнением этого вида. Аналитическая геометрия дает средства определять положение такой плоскости и положение плоскостей друг относительно друга по их уравнениям; она дает также правила для составления уравнения плоскости ио заданиям, которыми таковая определяется.

Пересечением двух плоскостей определяется прямая в пространстве. Сообразно этому прямая в пространстве выражается двумя уравнениями вида (35).

Поверхность второго порядка выражается уравнением второй степени, наиболее общая форма которого представляется в следующем виде:

Aлг-}-Zty2-}-C,я, - -Dxy- -Eyz- -Fzx- - Аx-f- Ly -Mz - -N= 0(36) Левая часть этого уравнения распадается на четыре части; первую часть представляют 3 члена, содержащие квадраты координат, вторую—члены, содержащие их произведения, третью—члены нервой степепп, а четвертую составляет свободный член. Как и при исследовании кривых второго порядка, оказывается, что прямоугольные координаты можно всегда ориентировать такиш образом, чтобы члены, содержащие произведения неизвестных, исчезли. Вопрос заключается в том, возможно ли при надлежащем выборе пачала освободиться также от членов первой степени. Это иногда оказывается возможным, иногда невозможным. Если возможно освободить уравнение от членов первой степени, то оно приводится к виду:

Ах“ -}- By -j- Сж“=N,(37)

аналогичному урав нению (28). В этом случае каждой точке М (ж, у, я) на поверхности отвечает также точка М (—х,

—у,—я), симметрич. первой относительно начала. Начало координат является центром симметрии поверхности, и она называется поэтому центральной. Если иВ не равно пулю, то, деля уравнение на N, ыы приведем его к виду:

Лх“ { By“- -f Се“ - 1. .. .. .. (38) Здесь все три коэффициента не могут быть отрицательными, ибо тогда левая часть уравнения всегда имела бы отрицательное значение. Следовательно, либо все 3 коэффициента имеют положительные значения, либо между ними есть один отрицательный, либо 2 отрицательных. В первом случае уравнение приводи ся

к виду:

2 2.2,2

(39)

я выражает эллипсоид (фигура 22). Это есть замкпутая поверхность, которая при пересечении плоскостью всегда дает в сечении эллипс. Оси координат служат осямисимметрии поверхности; расположенные но этим осям диаметры имеют длины 2а, 26, 2с; это суть так зазываемия оси эллипсоида. Если две из этих осей равны, то поверхность обращается в поверхпость вращешия, которая получается при вращении эллипса вокруг одной из своих осей.

Еислн в уравнении (38) один из коэффициентов имеет отрицательное значение, то оно приводится к виду:

“, _ В5 _

я“ “И Ь с“-

(40)

Оно выражает т.-п. однополый гиперболоид фигура 23). Плоскости, перпендикулярные к оси г, пересекают эту поверхность по эллипсам, причем плоскость ХУ дает в сечении наименьший эллипс—горло гиперболоида. В сечении с плоскостями, проходящими через ось г, получаются гиперболы. Поверхность состоит из одной полости, простирающейся в безконечность по обе сторопы от горла.

Фигура 23.

Фигура 24.

Если в уравнении (38) имеется 2 отрицательных коэффициента, to опо приводится е виду: х8 у% г2,

5Г-»т-е= 1..(4И>

и выражает т.-п. двуполый гиперболоид (фигура 24). При пересечении с плоскостями,перпендикулярными к оси я-ов, он также дает эллипсы, а в сечении с плоскостями, проходящими через ось,—гиперболы. Но эга поверхность состоит из двух раздельных полостей, каждая из которых простирается в безконечность.

Если в уравнении (38) один из коэффициентов, скажем, С, обращается в нуль, то оно выражает цилиндрическую поверхность, которую описывает прямая, параллельная оси г-ов и опирающаяся на коническое сечение,

Ax Вуг =1..(42)

В зависимости от того, будет ли это эллипс или гипербола, цилиндр называется эллиптическим или гиперболическим. Прямая, проходящая через центр направляющого конического сечения (42) параллельно образующей, называется осью цилиндрической поверхности. Так как поверхность простирается в безконечность в обе стороны, то каждая точка на оси является центром симметрии поверхности. Она имеет, таким образом, безчисленное множество центров.

Эллипсоид и два гиперболоида представляют собой важнейшия центральные поверхности 2-го порядка. По в уравнении (37) свободный член N может оказаться нулем; тогда начало координат—центр симметрии поверхности—лежит па самой поверхности. Это—коническая поверхность о двух полах, как па фигура 7; центром симметрии служит вершина конуса, а самая поверхность образуется прямой, которая движется, проходя постоянно через вершину и опираясь на кривую второго порядка. Эта поверхность является матерью кони чеекчх сечений.

Такопы центральные поверхности второго порядка. Если уравнение (36) пе может быть освобождено от членов, содержащих первия степени неизвестных, то есть пе может быть приведено к виду (37), то поверхность вовсе пе имеет центра. Изследование обнаруживает, однако, что в этом случае уравнение поверхпости может быть приведено к такой форме, чтобы одна из координат входила только в первой степени; простейшая форма, в которой урав-испие (36) может быть в этом случае представлено, имеет вид:

Ах“+Ву“=рз .(43) Все поверхности, выражаемия уравнениями этого вида, дают в сечении с плоскостями, проходящими через ось я-ов, параболы; оне называются поэтому параболоидами. Если коэффициенты А и В имеют одинаковые знаки, то в сечении с плоскостями, перпепдикуляр. к оси г, поверхность дает эллипсы; такая поверхность называется эллиптическим параболоидом (фигура 25). Если же коэффициенты А и В имеют противоположные знаки, то в сечении с перпендикулярными плоскостями получаются гиперболы; поверхность называется гиперболическим параболоидом (фигура 26); на рисунках 25 и 26 изображены, конечно, лишь небольшия части поверхностей, простирающихся в безконечность.

Таковы различные типы поверхностей второго порядка.

Как мы видели выше, кривия второго порядка были открыты и изучены еще греками; аналитическая геометрия осветила лишь теориюэтих замечатель-

ных кривых с иной точки зрения и дала новые пути к исследованию их. Напротив, поверхпости 2-го порядка были открыты и расклассифицированы исключительно па основании аналитических соображений. Эйлеру,

Фигура 25.

давшему в свосм замечательном сочинении „Intro-ductio in analysin infinitorum“ (1748) аналитическую классификацию кривых второго порядка, принадлежит также классификация поверхностей 2-го порядка. Чисто геометрическая теория их была дана позже Штейнером (/. Steiner. „SystematiscUe Entwicklung der Abiiangig-keit geometrischer Gestalten yon einander“; 1832).

Фигура 26.

Аналитическая геометрия ставит по отношению к поверхностям вопросы, совершенно аналогичные тем, которые составляют предмет аналитической теории кривых второго порядка. Наиболее важное свойство поверхностей второго порядка, с точки зрения Эйлера, заключается в том, что прямая пересекает их не более, чем в двух точках, а всякая плоскость сечет эти поверхности по коническому сечению. В связи с этим надо остановиться на следующем замечательном обстоятельстве. Мы знаем, что кривая второго порядка вырождается иногда в совокупность двух прямых. Сообразно этому и плоскость может иногда пересекать поверхность второго порядка по двум прямым—это имеет место, например, при пересечении конуса плоскостью, проходящей через вершину, и при пересечении цилиндра плоскостью, параллельной оси. Но замечательно, что и другия поверхности второго порядка могут давать иногда в пересечении с плоскостями две прямыя. Этим свойством обладают однополый гиперболоид и гиперболический параболоид. Более того, через каждую точку той и другой поверхности можно провести плоскость, рассекающую поверхность по двум прямым. Иначе говоря. —через каждую точку поверхности проходят две прямыя, расположенные целиком на этой поверхности. Вся поверхность таким образом покрывается двумя системами прямых; па поверхности этого рода можно смотреть, как па линейчатия по-верхцоети, то есть такия, которые образованы движением прямой. Простейшие виды линейчатых поверхностей хорошо известны в элементарной геометрии: это конические и цилипдрические поверхности. Но эти простейшия поверхности обладают следующей замечательной особенностью: любия две образующия их лежат в одпои плоскости; поверхность образуется прямой, перемещающейся таким образом, что она постоянно пересекает предыдущее свое положение или остается ему параллельной. В тесной связи с этим стоит то обстоятельство, что поверхности этого рода могут быть, как говорят, развернуты па плоскость: мы представляем себе, что коническою и цилиндрическую поверхностьможно разогнуть таким образом, чтобы она иокрыл-плоскость. Эти поверхности называются поэтому развертывающимися на плоскость. Иначе обстоит дело в однополом гиперболоиде и гиперболическом параболоиде. Эти поверхности, как уже сказано, также могут быть образованы движением прямой линии, но самое движение совершается иначе: каждая образующая не пересекает своего предыдущого положения; опа нф только отклоняется от него на небольшой угол, по и отходит от него на некоторое расстояние в другую плоскость. Так, например, гиперболический параболоид можно получить движением прямой следующим образом: представим себе некоторую плоскость и две неподвижные прямия АВ и АВ, не лежащия в одной плоскости (фигура 2И). Положим, что третья прямая MX (образующая) движется таким образом, что она остается параллельной некоторой плоскости и в то же время постоянно пересекает обе не-подвижпия прямыя—АВ и АВ. Яспо, что при этих условиях последовательные положения прямой MX, даже сколь угодно близкия, располагают я в различных плоскостях. Этого рода поверхности не могут быть развернуты на плоскость; оне называются косыми липейчатыми поверхностями.

Возвратимся теперь к тому факту, что плоскость сечет поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Пусть 0 будет точка, пе лежащая ла данной поверхности 2-го порядка. Проведем через точку Ot произвольную плоскость, пересекающую данную поверхность по копическому сечению Р; точке 0 отвечает относительно этого конического сечения поляра р. Так как через точку 0 можно провести безчисленное множество плоскостей, то ей отвечает безчисленное ыпожеетво поляр. Изследование обнаруживает, что оне располагаются все в одной плоскости; эта

плоскость называется полярной плоскости» точки О относительно конического сечения. Если из точки О можно провести к поверхности иучек касательных, то точки касания последних образуют коническое сечение, которое представляет собою пересечение поверхности с полярною плоскостью точки О. Если точка О

лежит на поверхности, то полярная плоскость обращается в касательную плоскость к поверхности в этой точке. Соответствие между полюсом и полярно» плоскостью, устанавливаемое поверхностью второго порядка, представляет собой новый вид геометрического соответствия, которое получает развитие в проективной геометрии.

Мы видим, таким образом, что в теории поверхностей второго порядка получают дальнейшее развитие те пдеи, которые вложены в учение о кривых 2-го порядка. В общей теории алгебраических поверхностей эти идеи значительно усложняются. Если при исследовании кривых высших порядков на сцену выступают особенные точки, то здесь эти особенные точки образуют часто целия кривия на поверхно>тн. По этим кривым либо пересекаются отдельные полости поверхности (линии кратных точек), либо сходятся отдельные части их (ребра поверхности), либо перегибаются часии поверхности с одной стороны касательной плоскости на другую (линии перегиба). Изучение этих особенностей и связанная с этим классификация алгебраических поверхностей высших порядков представляет большия затруднения; во многих своих частях это учение еще ждет исследователей.

VI. Дифференциальные методы в Геометрии.

Ровно через 100 лет после того, как появилась в свет „Геометрия“ Декарта (1637 — 1736), был опубликован безсмертный мемуар Ньютона, „Методъфлюксий“, послуживший основой современного анализа безконечно малых. Этот замечательный мемуар был написан еще в 1671 г. В ст. „Исчисление безконечно малыхъ“ читатель найдет изложение эволюции, которой подверглись повия идеи от момента пх зарождения до эпохи общого призпания, к которой и относится опубликование мемуара после смерти его великого автора. Полное заглавие мемуара („Methodus fluxionum et serierum iu finitarum cum eiusdem application ad curvarum geome-triam“) уже свидетельствует, что новое исчисление в иервыф же годы после своего зарождения получило применение к геометрии; более того, исчисление безконечно малых в значительной мере обязано своим происхождением некоторым классическим геометрическим задачам, к которым мы сейчас обратимся. Когда же новый анализ развернулся, то внесение его идей в аналитическую геометрию послужило таким лсе мощным импульсом, как и появление оеповых идей Декарта и Ферма. Те исследования, о которых была речь в предыдущих двух отделах, носят чисто алгебраический характер; они имеют применение только к тем кривым и поверхностям, которые выражаются алгебраическим уравнением между координатами. Анализ безконечно малых чужд этих ограничений; он находит себе применение в неизмеримо более широком комплексе функций; его творцам и основателям даже казалось, что он применим ко всем непрерывным функциям. Сообразно этому и методы приложения анализа безконечно-малых к геометрии носят неизмеримо более общий характер, нежели тЬ приемы, кото-рым“ получепы результаты изложенные в двух предыдущих отделах; они составляют дифференциальную геометрию. Здесь мы не паходнм классификации отдельных типов кривых; здесь мы имеем лишь такие исследования, когория применяются ко всякой кривой, выражаемой па плоскости уравнением вида:

y=f(x)С44)

(в пространстве-двумя уравнениями такого рода), если только фупкция f (х) имеет первия две производпыя. Геометрическое происхождение понятия о производной с полною яспостью изложепо в статье .Высшая математика“ (XII, 84), аналитическое установление этого понятия читатель найдет в ст. „Исчисление безконечно малыхъ“. Для понимания формул и вычкелений дифференциальной геометрии необходимо вполне владеть этим понятием. Однако при изложении настоящого отдела мы сосредоточим впимаиие, главным образом, па геометрической стороне дела—на сущности задач и на результатах, к которым приводит их решепие.

Все вопросы, которыми занимается дифференциальная Г., так или ипаче сводятся к определению предельного положения того или иного образа по неограниченному ряду приближенных его положении. Точкой отправления здесь служит задача о касательной, классический вопрос, приведший к понятью о флюксии или производной.

Если проведем секущую к кривой через точку М и весьма близкую к ней точку W (фигура 20 а), а затем станем точку W неограниченно приближать к АГ, то положение секущей будет мепятьел, по будет при этом неограниченно приближаться к некоторому предельному положению, которое и представляет собою касательпую в точке М. Как разыскать эту касательную, как построить ее геометрически, как составить аналитически ея уравнениее

Если координаты точки М. суть (а, b), то уравнение касательной, как и уравнение каждой прямой, через эту точку проходящей, имеет вид (20). Весь вопрос заключается в определении коэффициента к, так называемого углового коэффициента касательной, т. - е. таигснса угла, который оиа образует сь осью абсцисс. Этот угловой коэффициент и представляет собой геометрическое определение производной от функции Дж), представляющей правую часть уравнения (44). Аналитически образование производпои в связи с задачей о касательной выяснено в указанном выше месте статьи „Высш. математика“. Правила образования производной от данной фупкции дает дифференциальное исчисление. В пору первого развития исчисления безконечно малых полагали, что всякая непрерывная функция имеет производную при каждом значении независимой переменной, а потому каждая непрерывная кривая имеет касательпую в каждой своей точке. Однако, глубокие исследования ХИХ-го столетия разрушили эту иллюзию и этим, конечно, несколько сузили комплекс образов, к которым применяется дифференциальная геометрия. Дальнейшия наши рассуждения относятся только к таким кривым вида (44), для которых левая часть уравпепия имеет первую и вторую производные. Из того, что мы выражаем кривую уравнением вида (44), следует, что мы имеем в виду плоскую кривую, то есть расположенную в одной плоскости. О более сложных кривых речь еще впереди. Производнаяот функции f x) обозначается через Р(х); и сообразно этому уравнение касательпой к плоской кривой (44) в точке (а, 6) имеет вид:

y—b=(x—a) Р(Х).(45).

Прямая, проведенная через точку кривой перпендикулярно к касательной в этой точке, называется нормалью к кривой. Главное значение касательной и нормали в прикладной математике заключается в следующем: если некоторая точка движется по кривой, то скорость этого движения в каждый момент направлена по касательной к траектории в той точке, в которой и этот момент находится движущаяся точка. Если же движется неизменяемая фигура, некоторая точка которой описывает данную кривую, то так называемый мгновенный центр движения в каждый момент лежит па нормали к кривой. Шаль (Chasles), Роберваль (Roberval) и др. основали на этом свон приемы для геометрического построения касательной и нормали к кривой. Эгн приемы находят себе применение всякий раз, как удается указать такой способ образования кривой при помощи движения, который дает возможность непосредственно определить либо направление скорости, либо положение мгновенного центра движения-Пусть М будет некоторая точка на данной кривой, MN—нормаль к кривой в этой точке. Возьмем точку М, весьма близкую к М (фигура 28), и в ней проведем нормаль MN. Эта нормаль пересечет предыдущую в некоторой точке С. Если теперь мы будем приближать точку М к 31, то положение точки пере. сечения С будет, как оказывается, неограниченно приближаться к некоторому предельному положению— к некоторой точке С на исходной нормали MN. Эта точка С называется центром криви зпы кривой, соответствующим ея точке 31; расстояние МС называется радиусом кривизны кривой в точке М; окружность, описснная из точки С радиубом СМ,—окружностью кривизны в точке М.

Это суть основные понятия дифференциальной геометрии. Если исходной кривой служит окружность, то центр кривизны всегда нанимает одно и то же положение—он совпадает с центром окружности; радиус кривизны совпадает с радиусом окружности. Чем меньше радиус окружности, тем быстрее она загибается, искривляется и, наоборот, чем больше радиус окружности, тем меньше небольшая дуга ея отличается от прямой, тем меньше ея кривизна. Сообразно этому, за меру кривизны окружности принимает

ся величина, обратная ея радиусу

за меру жекривизны в данной точке любой кривой принимается величина, обратная радиусу кривизны в этой точке. Значение окружности кривизны в данной точке кривой заключается в том, что это есть окружность, имеющая с него в данной точке кривой наиболеетеспое соприкосновение. Во многих случаях дуг& кривой в ближайших частях точки М может быть заменена дугой окружности кривизны в этой точке. Так, например, если точка движется но окружности и имеет в данный момент скорость в, то так называемое центростремительное ускорение этого движения

t)2 „

направлено к центру окружности и равно —. Еслидвижение совершается по любой кривой, то центростремительное ускорение направлено к центру кривизны итакже выражается формулой —, где г—радиус кривизны в данной точке кривой. Движение по кривой вблизи точки М как бы заменяется движением по окружности кривизны в этой точке. Бресс (Втеззф) и другие пользуются этим обстоятельством для геометрического построения центра кривизны в каждой точке кривой.

К идее о кривизне кривой можно прийти и иным путем. Обозначим через а угол между нормалями 31N и MN1; этот угол выражает уклонение нормали па протяжении дуги ММ’ (или уклонение касательной на этом протяжении, так как угол между нормалямиравен углу между касательными). Отношение

ММ

выражает как бы скорость отклонения нормали или касательной вдоль дуги ММ; предел этого отношения, ко. гда точка М> стремится к М, и представляет собой кривизну в этой точке. Кривизна прямой постоянно равна нулю, ибо касательная и пормаль здесь вовсе пе отклоняются. В окружности кривизна имеет одинаковое значение --во всех ея точках. Прямая и окружность суть линии, имеющия постоянную кривизну; во всех других кривых кривизна меняется от точки к точке.

Как мы уже указали, в случае окружности центр кривизны всегда лежит в одной и той же точке в центре ея. В других кривых положение центра окружности меняется от точки к точке. Если ыы для

каждой точки кривой построим ея центр кривизны N (фигура 29), то геометрическое место точек N составить новую кривую—ея эволюту или развертку. Самая же кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой или разверзающей кривой. Между точками эвольвенты и эволюты устанавливается такпм образом

Геометрическое соответствие. Каждой точке М эвольвенты отвечает ея центр кривизны — точка N на эволюте; и, так как центр кривизны лежит всегда на нормали к кривой, то каждая точка эволюты лежит на нормали соответствующей точки эвольвенты. По замечательно, что эта нормаль в то же время касается эвольвенты: нормали к эвольвепте служат касательными к эволюте; эволюта как бы огибает пучек нормалей. Мало того, если мы возьмем две точки эвольвенты М и М1 (фигура 29) и соответствующия точки иВ u N па эволюте, то разность между радиусами кривизны MN и 3PN как раз равна длине эволюты NNf на этом протяжении: длина радиуса кривизны эвольвенты парастает как раз на длину дугп соответствующей части эволюты. Если бы мы в некоторой точке N эволюты закрепили нить и направили ее по касательной к кривой до точки M, затем, постоянно натягивая нить, вели бы ее так, чтобы точка М все время оставалась на эвольвепте, то нить постоянно облегала бы эволюту. Укажем еще следующее замечательное обстоятельство в соответствии между эвольвентой и эволютой: каждой эвольвепте отвечает одна определенная эволюта; но каждой эволюте отвечает безчисленное множество эвольвент. Это зпачит; если дана кривая, то мы имеем возможность построить множество кривых, для которых данная кривая служит эволютой.

В этом рассуждении мы в первый раз встречаемся с семейством лииий. Этим семейством здесь является совокупность нормалей к эвольвепте или совокупность касательных к эволюте. Понятие о семействе кривых играет весьма важную роль в геометрии. В наиболее простом случае семейство кривых выражается уравнением вида:

Р (х, у, а)=0,

а

Фигура 30.