> Энциклопедический словарь Гранат, страница 148 > Гораздо сложнее обстоит дело в алгебраичи ских кривых более высокаго порядка

Гораздо сложнее обстоит дело в алгебраичи ских кривых более высокаго порядка

Гораздо сложнее обстоит дело в алгебраичи ских кривых более высокого порядка. Здесь нераспадающаяся кривая может иметь и обыкновенно имеет особенные точки. Особенности зти столь разнообразны, что даже дать общее их определение геометрически представляется затруднительным. Прежде всего возможны кратные точки, в которых пересекаются или соприкасаются различпия ветви кривой. Кривая п-го порядка выражается уравнением n-ой степени. Если мы расположим левую часть уравнения кривой f[x,y) — 0 по восходящим степеням переменных, то она будет начинаться со свободного члена, затем будут следовать члены 1-го, 2-го, 3-го измерения и так далее Если за начало коордипат принята точка на кривой, то значения х=О, у=0 должны обращать левую часть уравпепия в нуль; а потому свободный член должен быть равен нулю. Обыкновенно левая часть уравнения будет при таких условиях начинаться с членов иервого измерения; в этом случае пачало координатбудет обыкновенной точкой кривой; приравнивая пулю члены первого измерения, мы получим уравнение касательной к кривой в этой точке. По иногда членов первого измерения может пе быть, левая часть уравнения начинается с членов второй кратности; тогда начало будет двойной точкой кривой, а приравнивая члепы второго измерения пулю, мы получим геометрическое место, распадающееся на две прямыя; это будут две касательные к кривой в этой точке. Вообще, если функция / (х,у), составляющая левую часть уравнения кривой (8), начинается с членов А-го измерения, то пачало координат служит точкой А-ой кратности этой кривой; приравнивая же нулю члены А-ой кратности, мы получим уравнение А касательных в этой точке. Но эти А касательных могут группами совпадать, некоторые из них могут оказаться мнимыми; это ки репным образом влияет па характер кратной точки. Па чертеже XI в статье „Высшая математика“ (XII, 81) можпо видеть различные виды особенных точек.

Но даже в том случае, когда 0 есть обыкновенная точка кривой, касательная к нфй в этой точке может находиться с кривой в более или менее тесном соприкосновении. Если мы в точке 31 кривой (фигура 20) повернем касательную па небольшой угол, то она пересечет кривую еще в одной точке 31, весьма близкой к ЗГ. По если мы повернем касательную вокруг точки 31 на небольшой угол на кривой, изображенной на фнг. 21, то касательная пересечет кривую помимо точки 31 еще в двух точках, потому что кривая в точках, прилежащих к 31, располагается пе с одной стороны касательной, а с обеих сторон. Такого рода точка называется точкой перегиба; в зависимости от числа точек, в которых касательная при небольшом повороте пересекает кривую вблизи точки 31, определяется порядок перегиба. Аналитически точка перегиба характеризуется тем, что сумма члепов первого измерения входит множителем в состав более высоких групп; в так называемой простой точке перегиба группа члепов первого измерения служит делителем группы членов 2-го измерения, но но делить группы 3-го измерения.

Неразлагающаяся кривая n-го порядка имеет нф больше, чем — (н—1) (п—2) двойных точек; в частности кривая 8-го порядка может иметь только одну двойную точку, но может иметь 9 точек перегиба.

Еще Маклореп показал, что эти точки перегиба расположены таким образом, что прямая, проходящая через две из них, проходит еще через третью; таким образом получается 12 прямых, из которых каждая содержит три точки перегиба, а через каждую точку перегиба проходят четыре из этих прямых.

Роль поляр для кривых высших порядков заменяют так называемия полярпия кривыя. Относительно кривой п-ого порядка каждой точке отвечает кривая

(п—1)-го порядка, служащая ея полярной кривой. Относительно кривой 3-го порядка, например, каждой точке отвечает полярное коническое сечение. Точки касания касательных, проведенных к кривой из данной точки, лежат на пересечении данной кривой с полярной кривой, соответствующей этой точке; этих точек пересечения в случае кривой n-го порядка будет п(п—1); сообразно этому из точки, лежащей вне кривой, можно провести к кривой n-ого порядка п(п— 1) касательных; но между ними могут оказаться совпадающия и мпимыя. Из точки, лежащей вне кривой 3-го порядка, можно провести к ней 6 касательных.

Классификация алгебраических кривых каждого по рядка представляет большия затруднения. Так, классификацией кривых 3-го порядка заримался еще Ньютон; но так как здесь возможны различные точки отправления, то и результаты классификации могут быть черезвычайно различны. Так, например, Ныотоп различал 72 вида кривых 3-го порядка, между тем как Плюкер (Pliicker) насчитывает их 219.

Было указано много приемов, определяющих геометрически происхождение кривых высшого порядка; в большинстве случаев они основаны на проективных соображениях, и мы еще упомянем о них в своем месте. Здесь же укажем следующее образование кривых 3-го порядка, принадлежащее Грасеману. Положим, что мы имеем три неподвижные прямия а, Ь, с и три постоянные точки А, В, С; если мы произвольную точку М соединим с точками А, В, С, то прямия МА, В В, МС пересекут неподвижные прямия а, Ь, с соответственно в точках А, В, С. Если точка М движется гаким образом, что при каждом фя положении соответствующия точки Af, В, С лежат на одной прямой, то она описывает кривую 3-го порядка; и обратно, как показал Клебш (Clebsch), каждая кривая 3-го порядка может быть получена этим путем. Замечательно, что этот метод образования кривых 3-го порядка может быть распространен на алгебраические кривия любого порядка; но мы не будем на этом останавливаться.