> Энциклопедический словарь Гранат, страница 149 > Города в XIV и XV вв

Города в XIV и XV вв

Города в XIV и XV вв. пережили высшую точку своего расцвета. Ибо движущия силы городского развития, торговля и промышленность, в это время делали огромные успехи. Весь север Г. в торговом отношении был захвачен сферою деятельности

Ганзы. Пользуясь тем, что империя была слаба, что княжеская торговая политика еще блуждала впотьмах, что скандинавские государства изнуряли друг друга усобицами, что Англия была занята борьбою с францией, Ганза раскинула сеть своего влияния по всему северу Европы. Всюду, куда доходили ганзейские корабли, на Руси, в скандинавских странах, в Ан-лии, Испании, немецкие купцы заключали с местными государями договоры, обеспечивавшие им права наибольшого благоприятствования, т. е. понижение пошлин, а иногда и полное освобождение от них, льготы при нагрузке и выгрузке судов и при взвешивании товаров, право розничной торговли, которое обыкновенно всюду рассматривается, как привилегия местных купцов, и проч. и проч. Иногда им удается добиться основания „конторы “, т. е. автономной или почти автономной торговой колонии на чужбине. Выговоренные ганзей-цами права были настолько велики, что они порою были поставлены в лучшее положение, чем местные купцы, и почти всегда пользовались несравненно большими правами, чем другие иностранные купцы. В конце концов в течение XIV в Ганза добилась полного преобладания в торговле северно - европейских морей. Корабли дальнего плавания, ходившие по Балтийскому морю, принадлежали исключительно ей. Прежние господа этого моря, скандинавы, были оттъс-нены к берегам; русские купцы, которые раньше плавали до Висби и даже до Любека, больше не появлялись; англичане и шотландцы играли второстепенную роль. Этот колоссальный успех объясняется не столько тем, что Ганза была сильна, как военная держава—она могла тягаться с таким могущественным противником, как Вальдемар IV датский,—сколько ея организацией. Ганза была союзом городов; если каждый город в отдельности держался узкой политики,стеснявшей торговия сношения вообще, то союз городов, в котором устранялись эти вредные для торговли особенности городского строя, превращался в настоящую торговую державу,

которая могла диктовать свои условия кому угодно. Пока в других странах не сложилась торговая политика, оберегающая местные выгоды, Ганза могла не бояться конкуренции и не нуждалась ни в каких искусственных мерах для поддержания своего престижа. Число городов, входивших в состав Ганзы, не всегда было одинаково. Оно колебалось между 70 и 100. Вступление в союз и выход из него были свободны. Каждый город пользовался всеми теми привилегиями, которые союз добывал для себя за границею. Для совместного обсуждения дел после Кельнской конференции 1367 г. сделались обычны более или менее регулярные съезды городов (Hansatag). Постановления съездов, относившиеся к сфере торговой политики, были обязательны для всех членов, даже отсутствующих. Непокорных исключали из союза. В территориальном отношении союз делился сначала на трети, потом на четверти. Четверти были: вендская

(Любек), нидерландско - вестфальская (Кельн), прусско-лнфляндская (Данциг), саксонско - бранденбургская (Брауншвейг).—В отдельности каждый ганзейский город управлялся советом, в состав которого входили члены местного патрициата. Купеческая аристократия, вообще, была господствовавшим классом и энергично боролась с ремесленными цехами. Эта классовая исключительность и была одной из причин упадка Ганзы. Основой торговой политики Ганзы было то, что она старалась установить за границей полную свободу торговли; особенно дорожила она принципом допущения к розничной торговле. Ганзейцы отлично понимали, что, если они ограничатся в своих заграничных закупках ролью транспортеров и коммиссионеров, то значительная часть возможной торговой прибыли должна попасть в карман местного скупщика. Поэтому они всячески стремились вырваться из тесных рамок оптовых операций и добиться права непосредственных закупок у местных производителей, без посредничества местных оптовиков. Пока Ганза была сильна, онаумела удерживать за собою это право. Но уже в XY в она стала его терять. Товарная торговля с начала до конца оставалась главным предметом деятельности Ганзы. Ганзейцы неохотно вкладывали капиталы в промышленные и кредитные предприятия. Но косвенно ганзейская торговля служила могущественным рычагом для немецкой промышленности. Ея главной ареною был немецкий юг.

В хозяйственной деятельности купцов северной и южной Г. была разница, обусловленная тем, что первым приходилось иметь дело по большей части с балтийскими странами, культура которых была ниже немецкой, а вторые соприкасались с высококультурными итальянскими и французскими городами и у них заимствовали торговые обычаи. На севере, у ганзейцев, ячейкой торговой организации, по крайней мере в принципе, была гильдия. На юге купец торговал в одиночку, и если соединялся в общества, то это были уже иные общества, не похожия на гильдию, гораздо более совершенные. На юге промышленность и торговля шли рука об руку, и промышленность большей частью была направляющим моментом. Она заставляла торговать, т. е. закупать сырье и сбывать фабрикаты. Поэтому рост южных городов сложился натуральнее, и они не захирели так быстро, подобно ганзейским, развившимся односторонне. Благодаря промышленности южные города находились в тесных сношениях прежде всего с северной Италией. Купцы из Венеции, Милана, Комо, Генуи и проч. очень часто наезжали в Ульм, Констанц, Нюрнберг. В свою очередь немцы привыкли теперь считать перевал через Альпы вещью обыкновенной. Они тоже довольно часто появлялись в торговых и промышленных центрах Италии и оттуда нередко ездили дальше, во Францию, в Испанию, в Португалию. В сношениях немцев с итальянцами выработалось несколько типичных учреждений.Таково, прежде всего, знаменитое Fondaco dei Tedeschi в Венеции (смотрите IX, 483), таковы их немецкие сколки: Kaufhauser,

торговия подворья, где должны были останавливаться чужие купцы вместе с своими товарами и где специальные чиновники зорко наблюдали, чтобы не было торговли вне здания. Главными предметами промышленности в южных городах были: полотно, производство которого сосредоточивалось в Констанце, Регенсбурге и Сен-Галлене; бумазея, главным центром которой был Ульм; металлические изделия, в частности оружие, чем особенно славился Нюрнберг. В Аугсбурге тоже сосредоточивалось несколько отраслей обрабатывающей промышленности, но главные нервы его хозяйственной деятельности были иные. Аугсбург был центром капиталистической горной промышленности и мировой столицей кредитного дела. Он был родиною Фуггеров (смотрите), банкирский дом которых к концу XV в сделался первым в мире. У них были свои фактории в Риме, в Венеции, в Милане, в Генуе, в Лионе, в Антверпене, позднее в Лиссабоне. Дела у них были в Индии и южной Америке. В середине XVI в они владели самым крупным состоянием в Европе; их должниками были многие коронованные особы, и один из Фуггеров мог писать Карлу V: „известно всем, что без моей поддержки Ваше Величество никогда не получили бы короны свящ. римской империи“.

Так на севере и на юге экономическая деятельность поднимала города. Силами, образующими капитал в городах, были главным образом, но не исключительно, торговля и промышленность. На ряду с ними действовала, как один из подсобных моментов, также земельная рента. Капиталы, которыми работали горожане в XIV и XV вв., были сравнительно не велики. На юге лицо, владевшее в городе состоянием свыше

2.000 гульд. (ок. 35.000 руб.), считалось богатым. Высшим размером состояния Фуггеров было 4,7 миллионов гульд. (ок. 80 миллионов руб.). Если в первое время преобладание в городе давал торговый капитал, то в рассматриваемый период промышленностьвсе больше и больше, особенно на юге и на западе, начала конкурировать с торговлей в качестве руководящей хозяйственной силы. Это сделалось особенно заметно, когда в рамках старой цеховой системы стали водворяться капиталистические формы промышленности, постепенно вытесняющия формы ремесленные. Зачатки этой замены мы видели уже и в более раннее время (смотрите выше, стр. 527). Теперь, когда Г. стала все более и более вовлекаться в систему международного обмена, образование вокруг цеховых мастеров-предпринимате-лей группы цеховых и нецеховых рабочих, принимающих от них сырье на дом и возвращающих им фабрикат, начало становиться явлением очень обыкновенным. И промышленный класс, который еще нигде не пробовал разбить цеховия рамки, начал требовать, чтобы его представители были допущены к управлению городом. До этого времени состав городских советов был исключительно патрицианский. В нем заседала купеческая аристократия, Geschlechter. В ХГВ в это была замкнутая, обособленная группа, не пускавшая в свою среду никого. В исключительных случаях раньше, в ХИП в., особенно крупный мастер-ремесленник мог еще проникнуть в совет и этим самымт причислиться к сонму Ratsfahiger, что почти всегда означало включение в число Geschlechter. В XIV в это стало невозможным. Между тем ремесленники, сознавшие свою силу, стали требовать этого. Началась борьба, упорная и жестокая, изобилующая зверскими расправами (в 1302 г. городские заправилы в Магдебурге сожгли живьем десять ремесленных старшин) и геройскими подвигами. В результате в большинстве случаев победа осталась за ремесленниками. Там, где она была полная (Аугсбург, Констанц, Брауншвейг), патрицианское господство гибло окончательно, в совет на будущее время могли выбираться только члены цехов, так что бывшие Geschlechter, если хотели сохранить еще влияние, должны были записываться в цех.

В других городах (Нюрнберг, Франкфурт) патрициат отстоял свой совет, но должен был допустить в его состав представителей ремесленников. Наконец, в третьей категории городов (Кельн) был выработан новый компромисс: ни патрицианские организации, ни цехи не получили политической роли; была составлена особая избирательная коллегия из граждан, владеющих известным цензом, которая выбирала членов совета. Были, конечно, и такие города, где ремесленники были просто побеждены. Это те, где купеческий класс был очень силен, а ремесленный слаб вследствие малого развития промышленности (большинство ганзейских городов севера). Но таких было все-таки меньшинство. Ремесленные движения не были демократической революцией: в среде цехов в XIV в произошла перемена, резко расчленившая ремесленников на два класса: предпринимателей и рабочих. Время, когда единственным типом ремесленника был мелкий мастер, работавший при помощи одного-двух учеников, прошло. Запросы ремесла были таковы, что мастеру стал нужен опытный взрослый рабочий, иногда не один. Именно в XIV в сделалась обычной изредка существовавшая и раньше должность подмастерья, Geselle. Теперь ученик уже не мог сразу пройти в мастера; он должен был пробыть некоторое время подмастерьем. И хотя подмастерье считается членом цеха не в пример ученику, но отношение его к мастеру таково, что открывает возможность для самой широкой эксплуатации. Правда, пока шла борьба с патрициатом, и цеховые мастера нуждались в политической поддержке своих дюжих рабочих, положение подмастерьев было сносно. Но когда, чаще всего уже в XV в., борьба приходила к благополучному—и даже неблагополучному — концу, классовый интерес вступал в свои права, и начиналась беспощадная эксплуатация рабочого. Выражалось это в том, что экзамен на степень мастера и особенно изготовление шедевра (Meisterstiick)

никакая часть ея не умещается целиком в одной плоскости. Самым простым примером такой кривой является так называемая винтовая линия. Если мы возьмем прямоугольный треугольник и обвернем его вокруг круглого цилипдра так, чтобы один из катетов обогдул основание, то гипотенуза свернется в кривую двоякой кривизны, называемую винтовой линией (фигура 31).

Касательная определяется на кривой двоякой кривизны совершенно так же, как и на плоской кривой, то есть, как предельное положепие секущей. Но так как эти кривия мы рассматриваем не в плоскости, а в пространстве, то перпендикуляров к касательной в данной ея точке, или пормалей к кривой, можпо провести безчисленное множество. Как перпендикуляры к одной и той же прямой в одной точке, этп нормали образуют плоскость—и ормальную плоскость к кривой в данной ея точке. На фигуре 32 изображена кривая двоякой кривизны, касательная МК к ней в точ ке if и нормальная плоскость RS.

Если мы теперь представим себе какую-либо плоскость, проходящую через касательную, и станем ее вращать вокруг касателыюй, то глазу ясно, что она близь точки if будет приходить с кривой то в более, то в мспее тесное соприкосновение. При каком поло

жения это соприкосновение сделается наиболее теснымъе Этот вопрос разрешается следующим образом. Возьмем вблизи точки If па кривой две другия точки if и М“ и через 3 точки M, if, if“ проведем плоскость. Если мы станем сближать точки М и if“ с if, то плоскость будет приближаться к некоторому предельному положению; так как в этом предельном положении прямия ММ и ММ“ сольются с касательной, то предельная плоскость будет проходить через касательную; она и представляет плоскость наиболее тесного соприкосновения—так называемую соприкасающуюся плоскость в точке М; на фигуре 32 это есть плоскость PQ. Нормаль ML к кривой в точке if, проведенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью к кривой в этой точке. Главная нормаль представляет собой пересечение соприкасающейся плоскости с нормальной плоскостью. Наконец, прямая MN, периендикулярпая как к касательной, так и к главной нормали, называется бинормалью к кривой в эгой точке.

Центр кривизны кривой двоякой кривизны не может быть определен так, как это было сделано для плоской кривой: главпая нормаль к кривой может сосмежной главной нормалью вовсе не пересекаться. Здесь нужно исходить из другой аналогии. Пусть МК будет касательная в точке if кривой, М К> касательная в смежной точке М. Если у есть угол между этими прямыми, то есть угол, па который отклоняется касательная при переходе от точки if к if, то отношение у: ММ, как и в случае плоской кривой, в известном смысле характеризует скорость ея искривлевия. Когда точка .If неограниченно приближается к if, это отношение стремится к определенному пределу; это и есть кривизна кривой в точке И; обратная величина называется радиусом кривизны в этой точке. Выражаемый этим числом в тех же единицах, в которых выражается длина дуги МЗР, отрезок откладывается по главпой нормали в ту сторону, в которую загибается кривая; конечная точка этого отрезка и будет цептром кривизны кривой.

На угол у можпо смотреть также, как на отклонение нормальной плоскости ири переходе от точки if к точке if, ибо угол между нормальными плоскостями давен углу между касательными. Если мы обозначим иерез,3 угол, на который отклоняется соприкасающаяся плоскость при переходе от точки М к if о отношение j3: ЗИМ’ также стремится к определенному пределу, когда точка if приближается к if; этот федел называют второй кривизной кривой в очке if. Первая кривизна характеризует загибание фивой от нормальной плоскости, а вторая—от со-фнкасающейся плоскости.

Если кривая плоская, то все ея касательные расположены в той же плоскости; но если это кривая двоякой крпвизпы, то совокупность ея касательных ибразует линейчатую поверхность и при том развертывающуюся па плоскость. Это наиболее общий тип раз зертывающихся линейчатых поверхностей в том смысле, что каждая развертывающаяся на плоскость линейчатая поверхность может быть рассматриваема, как геометрическое место касательных к некоторой кривой двоякой кривизны; эта кривая называется ребром возврата поверхности. В конических поверхностях ребро возврата вырождается в точк/, в цилиндрических — даже в безконечно удаленную точку.

Мы естественно пришли, таким образом, к поверхностям. Через каждую точку М на поверхности проходит безчисленное множество кривых,а к каждой кривой можно провести касательную. Геометрическое место этих касательных, как оказывается, есть плоскость; опа называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке кривой. Обыкновенно представляют себе, что касательная плоскость к поверхности в точке if по крайней мере вблизи этой точки других общих точек с поверхностью не имеет; но это не гак. В эллипсоиде, например, это действительно так имеет место; по в однополом гиперболоиде, ска жем, или в гиперболическом параболоиде дело обстоит совершепно иначе: здесь касательная плоскость рассекает поверхность всегда по двум образующим и даже вблизи точки касания поверхность всегда располагается по обе сторопы касательной плоскости. Руководясь этим частным случаем, точку на поверхности называют эллиптической, если вблизи этой точки поверхность располагается по одну сторону касательной плоскостии и гидерболическо й—когда онарасполагается по обе стороны касательной плоскости. Если рассечь поверхность плоскостью, весьма близкой к касательной плоскости и параллельной ей, то это сечение вблизи эллиптической точки будет весьма приближаться к небольшому эллипсу, а вблизи гиперболической точки—к небольшой части гиперболы. Среднее место занимают параболические точки, вблизи которых сечение уподобляется части параболы. В параболической точке касательная плоскость иногда рассекает поверхность, иногда не рассекает ея. Это нисколько расходится с приведенным выше определением эллиптической и гиперболической точки; но более точное различение осповапо па аналитических критериях, которых мы не можем здесь приводить.

Прямая, перп#ндикулярпая к касательной плоскости в точке касания M, называется нормалью к поверхности вт, этой точке. Если мы через нормаль про ведем какую либо плоскость (фпг. 33), то она пересечет поверхность по кривой, которую называют нормальным сечением поверхности; таких нормальных сечений через дапную точку па поверхности можпо, очевидно, провести безчисленное множество. Каждое нормальное сечение имеет в точке М определенную кривизну и определенный центр кривизны; последний всегда расположен на нормали MN к поверхности. Однако, в этом отношении возможно двоякое положение. Если касательная плоскость в точке 21 не рассекает поверхности, то все сечения расположены во одну сторону касательной плоскости, и с той же стороны располагаются по нормали их центры кривизны. В этом случае, следуя Гауссу, говорят, что кривизна всех нормальных сечений имеет одинаковый знак; даже, более определенно, говорят, что все сечения имеют положительную кривизну. Если же касательная плоскость рассекает поверхность, то центры кривизны одних нормальных сечении лежат на нормали но одну сторопу касательной плоскости, а на других—по другую. В этом случае кривизнам сечений, имеющих центры по разные сторопы касательной плоскости, приписываются различные знаки. С какой сторопы считать кривизну положительной, а с какой отрицательной, совершеппо безразлично; но коль скоро это установлено, калсдое нормальное сечение приобретает кривизну, определенную по величине и по зпаку. Если мы проследим за ходом изменения кривизны в нормальных сечениях, то окажется, что в обыкновенных точках поверхности имеются два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, в одном из которых кривизна достигает максимума, а в другом минимума (принимая при этом, конечно, во внимание и знаки кривизн).

Эти два сечения называются главными сечениямиповерхности, а произведение их кривизн называется кривизной самой поверхности в точке М, Таким образом поверхность имеет в данной точке положительную кривизну, если касательная плоскость не пересекает поверхности (ибо в этом случае кривизны главных сечений имеют одинаковые знаки), и отрицательную кривизну, если кас. плоскость в этой точке рассекает поверхность. Эллипсоид, однополый гиперболоид и эллиптический параболоид имеют положительную кривизну во всех своих точках, а однополый гиперболоид и гиперболический параболоид имеют в каждой точке отрицательную кривизну. Но от точки к точке на эллипсоиде, скажем, кривизна по и бсолютпой величине меняется. Есть, однако, поверхности, которые имеют во всех своих точках одну и ту же положительную кривизну. Самая простая из таких поверхностей постоянной положительной кривизпы есть шаровая поверхность (сфера). Чтоб составить себе представление о других поверхностях, имеющих во всех своих точках постоянную положительную кривизну, нужно исходить из знаменитой теоремы Гаусса, доказанной в замечательном мемуаре „Disqui itiones generales circa superficies curvas“. Опа заключается в следующем: если мы возьмем кусок поверхности и, представляя себе таковую, как безконечно тонкую иленку, станем ее непрерывно деформировать, не делая никаких разрывов или складок, то есть просто будем ее изгибать, как тонкий кусок материи, то кривизна в каждой точке поверхности, будет оставаться без изменения. Если мы поэтому вырежем кусок сферы и как-нибудь его изогнем, то мы получим поверхность постоянной положительной кривизны. Особенно характерна следующая форма: возьмем сферу и через два противоположных ея полюса проведем два меридиана (две полуокружности). Сделав по этим меридианам разрез, мы получим сферический вырезок; сводя его концы, образуем нечто в роде челпока—обычная форма поверхностей постоянной положительной кривизны. По существуют также поверхности постоянной отрицательной кривизпы. По их аналогии в втоы отношении со сферой, Бельтрами назвал их псевдосферами. Различные формы псевдосферы необычайно разнообразны. Подобно тому,как сфера есть поверхность вращения постоянной положительной кривизны, имеются поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны; оне имеют форму неограниченно уживающагося бокала, как это изображено на фигуре 34.

Разработка начал дифференциального исследовавия кривых линий и поверхностей относится, главным образом ис XVIII столетию. Во главе большой группы геометров, занятых их разработкой, стоят Клеро (Clairaut, „Traite des courbes a double courbnre“) и Эйлер („Introduetio in analysin infinitorum“, 1748). По мере развития анализа безконечно малых углубляются, конечно, и его приложения к геометрии, выдвигается ряд задач, решение которых зависит от наиболее сложных аналитических форм—от дифференциальных

Фнг. 34.

уравнений; и обратно, геометрические соображения становятся руководящей нитью в деле исследования (интегрирования) этпх уравнений. В этой области идеи исходную руководящую роль играют работы Монжа (б. Мопде, главным образом „Application de l’analyse а la g£om6trie“ с 1795 г.), с именем которого нам еще ниже придется встретиться. Однако, эти идеи связаны такими глубокими аналитическими соображениями, что оне могут найти себе место лишь в последнем отделе статьи „Исчисление безкопечпо малыхъ“.

VII. Трансцендентные кривия и поверхности.

Как мы уже указали выше, дифференциальные методы имеют то преимущество перед алгебраическими кривыми, что они находят себе применение не только к алгебраическим, по и к трансцендентным кривым и поверхностям. Этим последним образам ми уделим теперь несколько слов, чтобы позпакомнть с наиболее важными кривыми и поверхностями этого рода.

плоская фигура движется таким образом, что некоторая ея кривая катится без скольжения но другой, неподвижной кривой. На фигуре 35 изображена пеиодвижная окружность С, по которой катится круг if; этот круг может, конечно, составлять часть большей плоской фигуры, движущейся вместе с ним. Путь, описываемый любою точкой движущейся таким образом фигуры, называется рулетой. При черезвычайном разнообразии, которое могут представлять неподвижная кривая и катящияся по пей линии, формы рулет беспредельно разнообразны. Де-ла-Гир показал даже, что всякая плоская кривая может быть рассматриваема, как рулета. Если как подвижная, так и неподвижная кривая представляют собой окружности, то рулета называется трохоидой, и имеппо э ии и т р о х о и д о и —когда подвижный круг лежит вне неподвижного, и гппотро-х о и д о й—когда подвижный круг лежит внутри неподвижного. На фпг. 35а изображена эпитрохоида РР па фигура 35 Ь—гипотрохоида РР. Трохоида не всегда представляет собой трансцендентную кривую: если отношение радиусов двух кругов есть число рациональное, то трохоида оказывается алгебраической кривой; если

Фпг. 36.

При необычайном разнообразии, которое могут представлять трансцендентные кривыя, опе, можпо сказать, вовсе не поддаются классификации. Здесь может быть речь скорее только о группировке этого рода кривых, независимо одна от другой появляющихся то в теоретических, то в прикладных исследованиях.

Очень большая категория плоских трансцендентных кривых относится к числу рулет. Под этим разумеют кривыя, которые получаются следующим об разом. Представим себе, что некоторая неизменяемаяесть кривая, которую описывает точка неизменяемой фигуры, неразрывно связанпой с окружпостью, катящейся по прямой. На фигуре 36 изображена циклоида, которую описывает | внутренняя точка круга. Рулеты играют очень важную | роль в механике, так как всякое движение в плоскости может быть сведено к качению рулет.

Из спиралей укажем так называемую Архимедову сиирадь (фигура 37), которая выражается в полярных координатах уравнения гга9, синусоидальную спираль, которая имеет уравнение вида ТП= CLUsinb, и логарифмические спирали, которые выражаются уравнением г=ае$. Все эти кривия безчнелеппое мноясество раз завнзаются вокруг начала координат и отлшчаются между собой лишь скоростью нарастания радииуса-вектора, то есть расстояния точки от пачал по мере загибания кривой.

В математической физике огромную роль играют такт называемия синусоиды, по которым происходят гармонические колебания точки в звуковой волне. Схе-матшчески этими кривыми изображаются также попереч-ныяг колебания в световой и электрической волне. Синусоида в декартовых координатах выражается ураганением:

ху — asm—;

она изображена на чертеже 38.

Историческое значение имеет квадратрпкса (фигура 39), уравнгние которой имеет вид:

у — xcotg ;

и цепная линия (фигура 40), папомипающая параболу и выражаемая уравнениемлого цилиндра, па который намотана винтовая линия, и в своем движении постоянно опирается па винтовую линию и ось цилиндра. Это есть косая лпнейчатая поверхность.

VIII. Проективная геометрия.

Хотя предыдущий очерк охватывает лишь начальные элементы современной аналитической и дифференциальной геометрии, мы полагаем, что он дает всо-такн некоторое представление о том огромпомт“ развитии, которое получила геометрия под влиянием пдей Декарта, Ферма, Лейбница и Ньютона. Глав, ценность аналитического метода заключается в его необычайно широкой общности; Декарту не даром приписывают фразу: „Я разрешил все задачи геометрии“. Но, как всякий прием в пауке, так и аналитический метод геометрии имеет и свою оборотную сторону. Широкая общность часто покупается ценой очепь сложных аналитических рассуждении, и там, где счастливый геометрический прием иногда удачно справляется с вопросом в песколькпх штрихах, яналнет бывает

Фигура 38.

Фигура 40.

Квадратриксой еще в древности пользовались для квадратуры круга (смотрите), а по цепной линии свешивается тяжелая нить, подвешенная в двух точках.

Из трансцендентных кривых двоякой кривизны укакем ь упомянутую уже винтовую линию, замечательную в том отношении, что она во всех своих точках имеет постоянную как первую, так и вторую кривизну, и локсодромы, то есть кривыя, которые на поверхности вращения изгибаются таким образом, что во всех своих точках образуют один и тот же угол с мерндимпом.

Из трансцендентных поверхностей мы укажем только винтовую поверхность, которая образуется прямой линией, движущейся параллельно основапито круг- 1

поставлен в необходимость с трудом расчищать путь сложных, иногда даже мало осуществимых вычислений. Вот почему среди математиков всегда оставались приверженцы чисто геометрических методов, для которых девизом служило требование: „geometria geometrice“; это зпачит — геометрию падо строить геометрически, без чуждых ей арифметических и алгебраических средств. Этого не нужно понимать в том смысле, что кто-либо из круппых математиков был склопеп отрицать значение аналитических методов в геометрии; но многие по складу своего ума предпочитали синтетические приемы и утверждали, что там, где чисто геометрические методы находят себе приложение, они приводят к целитом, чтобы это обнаружить. Так, например, треугольник определяется тремя своими сторонами, двумя сторонами и углом между ними, стороной и двумя углами и так далее Яркое выражение эта точка зрения получила в „Данныхъ“ Евклида. Другая, более техническая точка зрения заключается в том, чтобы по определенным графически заданным элементам образа графически же воспроизвести другия части этого образа. Это графическое воспроизведение носит название черчения; в этой постановке решение задачи па построение имеет две стадии: геометрическую подготовку, указание тех построений, которые должны быть вынолпены, и осуществление этих построений; первая стадия составляет предмет геометрографии, вторая—черчепия (с«и.)

Но раз геометр должен подготовлять указания, которыми воспользуется чертежник, он должен зпать, какими инструментами, какими орудиями последний располагает. И подобно тому, как скульптор может дать более или менее тонкую работу в зависимости от инструментов, которыми он располагает, и геометр может справиться с более или менее трудной задачей в зависимости от инструментов, которые предоставлены в его распоряжение. Классическая геометрия признавала только два таких инструмента: линейку и циркуль; с точки зрения теоретической это значит, что геометру предоставлялось оперировать только прямыми линиями и окружностями; их пересечением должны определяться искомия точки.