> Энциклопедический словарь Гранат, страница 149 > Греки были большие мастера в деле решение задач на построение

Греки были большие мастера в деле решение задач на построение

Греки были большие мастера в деле решения задач на построение. Однако, уже у них составилась группа задач, справиться с которыми они не были в состоянии. Три задачи этого рода особенно замечательны: задача об удвоении куба (Делийская задача), то есть о построении по данной стороне куба стороны такого куба, который имеет вдвое больший объём; задачи о трисекции угла (то есть о разделении любого угла на 3 равные части) и о квадратуре круга, то есть о построении квадрата, равповелпкого данному кругу. Эти задачи представляли настоящие камни преткновения человеческой мысли; трудно себе представить, сколько бесплодных усилий было затра-чепо на их разрешение. Полное выяснение этого вопроса принадлежит, одпако, уже только XIX столетию. Геометры не принимали во внимание, что они требуют построений определенными средствами — циркулем и линейкой—и что этих средств может оказаться для выполнения требуемого построения недостаточно. Лишь аналитическая геометрия была в состоянии дать ответ на вопрос, какие задачи могут быть решены циркулем и линейкой, какие не могут быть решены. Ответ этот сводится к следующему. Всякая задача может быть приведена к построению одного или нескольких отрезков; если, например, требуется построить некоторую точку, то эго может быть приведено к построению ея декартовых координат. Длины этих отрезков могут быть выражены алгебраически в зависимости от заданий. Циркулем и линейкой могут быть построены только такие отрезки, которые выражаются в зависимости от данных рациопальпо или при помощи квадратных корней. Такие же отрезки, которые выражаются более сложными алгебраическими формами, не разрешающимися в ряд рациональных и квадрато-ра-дикальпых операций, построены быть не могут. Ваы-цель (L. Wantzell, 1837) внервые доказал, что задача о трисекции угла зависит от уравнения 3-ей степени, которое никоим образом не может быть разрешено при помощи ряда квадратных корней. Этим было обнаружено, что задача о трисекции угла не разрешается циркулем и линейкой; задача об удвоении куба исчерпывается теми же средствами. Гораздо сложнее было обнаружить невозможность квадратуры круга (смотрите квадратура). Здесь заметим только, что это было внервые строго доказано Ляндеманом (F. Lindemann) только в 1882 г Эти исследования имели черезвычайно важное значение, так как они положили начало целому ряду изысканий относительно возможности выполнения тех или иных алгебраических и геометрических операций заданными средствами.

В теспой связи с этим находится теоретический вопрос о том, какие задачи решаются более ограниченными еще средствами, чем те, которыми пользуется классическая геометрия,—например—одной липецкой, одной окружностью. Совершенно ясно, что одной линейкой решаются проективные задачи. Маскерони (Masclie-roni, 1797) показал, что при помощи одного циркуля можно решать все задачи, какие решаются циркулем и линейкой. Штейнер же обнаружил, что те же задачи могут быть также решены одной линейкой, если в плоскости дана одна окружность.

В самые последние годы, главным образом, Лему-ад (Lemoine, 1902, предварительные работы 1888 —

1893 гг.) поставил вопрос о простейшем решении дайной конструктивной задачи; эти именно исследования в настоящее время по преимуществу называют „геометрографией,“ а решение, удовлетворяющее требованию наибольшей простоты, называют геометрографи чески м. Для математической оценки простоты решения все конструктивные приемы разбиваются на ряд элементарных операций, и то построение признается наиболее простым, которое требует наименьшого числа этих элементарных приемов. Задача геометрографии заключается в указании для каждой задачи того построения, которое удовлетворяет этим требованиям наибольшей простоты. Нужно, однако, сказать, что в установлении элементарных операций остается достаточно места произ-во яу. С другой стороны, многие справедливо находят, что простота и изящество геометрического построения не могут быть оцениваемы сухим перечислением элементарных операции. Все направление имеет поэтому решительных противников.

X. Начертательная геометрия.

В предыдущем отделе, быть может, недостаточно подчеркнуто, что все построения, о которых идет речь, выполняются в плоскости. Хотя липейка определяет прямую линию независимо от плоскости, но циркуль чертит окружность только в плоскости. Да и вообще черчение, как и всякое графическое изображение, возможно только на некоторой поверхности, лучше и проще всего—на плоскости. Воспроизведепиф геометрических образов в пространстве падаетъуже в область пластики. Между тем множество геометрических задач на построение в пространстве представляет для геометрии не меньший иптерес, а по своей трудности—и больший. Отсюда естественное стремление перенести на плоскость те построения, которыя, собственно, должны быть выполнены в пространстве. Но та же задача возникает с гораздо большей настойчивостью на другой почве. Изобразить на плоскости образы трехмерного пространства является пасущной необходимостью не только в области техники, по и во многих отраслях культурной деятельности человека. Это достигалосьрисованием, искусством столь же древним, как и геометрия. Но искусство рельефного воспроизведения образов в течение веков оставалось достоянием особого дарования, чуждое общих правил и научной теории. Поскольку речь идет о воспроизведении наружного сходства, об изображении, котороео называло бы воздействие на глаз всякого непосвященного, словом, о художественном воспроизведении, таковое и по настоящее время относится к области искусства, и геометрическая теория играет здесь лишь весьма второстепенную роль. Но если речь идет о таком графическом воспроизведении пространственных образов на плоскости, которое давало бы возможность с точностью восстановить геометрические размеры и расположение изображаемого объекта, то здесь уже нет места свободному художеству; на место его выступает строгая общая теория — начертательная геометрия.

Основной метод, проникающий все разнообразные приемы начертательной геометрии, есть центральное проектирование. Это метод, можно сказать, и естественный, ибо наш глаз постоянно проектирует на туили иную плоскость созерцаемые объекты. Рельефное (стереоскопическое) видение, как известно, заключается в сведении двух центральных проекций. Расположение теней также определяется центральной проекцией освещенных и неосвещенных частей объекта.

Вопрос о теоретическом обосновании рельефного изображепия пмеэт древнее происхождение; в архитектуре и живописи он, естественно, возник еще в пору первого сознательного отношения к этому делу. Попытки теоретического обоснования архитектурного черчения мы паходпм уже у римского архитектора Витрувия (Marcus Vitruvius Pollio, „De architectural ИПв.). К этому возвращаются многие живописны и архитекторы эпохи возрождения с Леонардо да Винчи во главе. Знаменитый художник Альберт Дюрер (А. Diirer, XV, XVI ст.) первый сделал попытку дать общую теорию геометрического черчения. Дюрера нередко называли отцом начертательной геометрии. Дюрер прежде всего художник; геометрические формы интересуют его лишь постольку, поскольку он понимал, что их нельзя обойти в теории перспективы. Отцом или, вернее, дедом начертательной геометрии нужно считать Дезарга, о котором мы уже говорили в отделе VIII. Разрозпенпия по содержанию, но единые по духу идеи Дезарга о перспективе, о трансверсалях, о конических сечениях, о полюсах и полярах, как мы видели, послужили началом новой синтетической геометрии. Понслф и Шал использовали эти идеи и положили пх в основу теоретической дисциплины— проективной геометрии; Монж создал, исходя из тех же идей, прикладную науку — начертательную геометрию.

Основная идея Монжа заключается в следующем. При помощи одной проекции можно получить лишь перспективное изображение фигуры, дающее общее представление о ея форме и расположении частей. Восиро“-извести размеры фигуры в точности по одной проекции невозможно. Это особенно ясно уже потому, что все точки, лежащия на одпом и том же проектирующем луче, проектируются в одну и ту же точку плоскости изображения (картинная плоскость). Для того, чтобы по изображению действительно можно было точно воспроизвести геометрическую форму и положение объекта, нужна не одна, а две проекции па две различные плоскости. Между тем изображение требуется воспроизвести в одной плоскости. Монж выходит из этого затруднения след. образом.

Пусть Р и Q будут две взаимно перпендикулярные плоскости, скажем, первая горизонтальная, вторая вертикальная. Пусть М (фигура 47) будет произвольная точка в пространстве. Опустим из нея перпендикуляры на плоскости, то есть спроектируем ее на обе плоскости в точки т и т. Ясно, что две проекции т и т не только вполпе определяются точкой M, но и, обратно, определяют положение последней в том смысле, что по этим двум проекциям не трудно воспроизвести точку ИИ. Если, таким образом, нам дана горизонтальная и вертикальная проекция всех точек некоторой фигуры, то мы сможем воспроизвести и всю фигура. Так, на Фигуре 47 тп и вгп> суть проекции прямой MN, которую легко по этим проекциям воспроизвести. Задача была бы разрешена, если бы изображение не распадалось на две части, расположенные па двух взаим>

но перпендикулярных плоскостях. Остается сделать еще один шаг: свести обе проекции в одну плоскость. Монж поворачивает для этого плоскость Q на 90° в направлении, указанномъстрелкои, так что плоскость Q падает на плоскость Р. Два изображевия, сведенные таким образом в одну плоскость, имеют вид, изображенный на фигуре 48. Изображение, составленное из двух проекций, которые сведены в одну плоскость, называется эпюром. Совершенно ясно, что по эпюру мы имеем возможность восстановить вполпе изображаемый объект. Каждая точка пространства М однозначно изображается, таким образом, двумя точками m и т на эпюре. Зпачек на букве отличает вертикальную проекцию от горизонтальной, а по этим проекциям, как уже выяснено, мы можем восстановить точку М.

определять, пересекаются ли нанесенные на эпюр прямия и так далее Решение всех этих задач и составляет содержание начертательной геометрии. Идеи Монжа разработаны его учениками, главным образом, Гашетом (Uachette) и Брисоном (Brisson). Методы для простейшого изображения геометрических образов очень детально разработаны. Основная идея всех этих методов заключается в следующем: если нужно изобразить какую-либо геометрическую фигуру в определенном положении, то сначала ставят ее в положение, наиболее благоприятное для проектирования; затем переводят из этого положения в требуемое. Сообразно этому существенно важвой задачей в начертательной геометрии является преобразование эпюра сообразно перемещению объекта вли изменению плоскостей проекций.

Крэме метода „спобоцо” проекции“, ведущого свое

Этим, по существу, основная идея Монжа исчерпывается. Но если нам нужпо воспроизвести объект, то по этому правилу пришлось бы разыскивать две проекции каждой точки и по этим проекциям папосить еф па эпюр. Это представляет, конечпо, непреодолимия затруднения; да к тому же проекции сплошных образов заполняли бы целые участки чертежа и налагались бы друг на друга. Но задача упрощается тем, что чаще всего приходится чертить эпюр тела или поверхности, имеющого определенные геометрические формы. На чертеж наносятся контуры, определяющие форму тела; но самые этп контуры определяются обыкновенно небольшим числом элементов; задача теории заключается в том, чтобы указать методы построения геометрических образов по определяющим их элементам. Например, положение и размеры куба вполне определяются, если даны два смежных ребра; нужно, следовательно, показать, как построить эпюр куба, когда нанесены проекции двух его смежных ребер.

Прямая определяется двумя своими точками, плоскость — тремя точками; по этим элементам нужно уметь воспроизвести т. н. „следы“ прямой, то есть точки ея пересечения с плоскостями проекции, и „следы“ плоскости, то есть прямыя, по которым опа пересекает плоскости проекций. Нужпо уметь разыскать пересечение прямой с плоскостью, пересечение плоскостей,

происхождение от Монжа, в настоящее время часто применяется так называемая осевая или аксапометрическая проекция. Здесь идея заключается в следующем. Изображаемое геометрическое тело относят к пеко-торой системе декартовых коордипат; координаты каждой точки выражаются, следовательно, тремя отрезками. Затем оси координат и эти отрезки проектируются па плоскость изображения. По проекциям координат восстанавливаются самия координаты, а по пимь изоб.ажаемая точка. Мы лишепы возможности входить здесь в большия подробности относительно этого метода.

Пам остается еще указать теоретическое значение начертательной геометрии. Как было выяснено выше, эпюр содержит в плоскости все расположение пространственных образов. Каждому соотношению проективному и метрическому пространственных объектов отвечает некоторое соотношение между соответствующими элементами на эпюре и обратно. Отсюда следует, что изучение эпюра эквивалентно изучению пространственных соотношений и начерт пельпая геометрия содержит средства для илапим-трического исследований стерео.етричнеких соотношений. Эти методы оказались весьма плодотворными в деле исследования многогранников, кривых пересечения алгебраических поверхностей, линейчатых поверхностей и так далее

XI. Неевклидова геометрия.

Изложенный выше материал содержит весьма краткий очерк современного фактического развития геометрии. Но кроме вопросов строго фактического свойства, геометрия проникнута целым рядом глубоких философских вопросов. Геометрия разматывается usь небольшого числа основных положении—ея определений в аксиом. Каковы эти аксиомые Каков их источникъе Как убедиться в том, что те или иные положения не могут быть данными средствами доказаны и должны быть приняты за аксиомые В чем заключается независимость аксиом и как она уста.-навливаетсяе Каковы наиболее простия основные понятия, к которым должно быть сведено все остальноее Вот вопросы, которые издавна одинаково интересовали геометров и философов. Относящаяся сюда литература необычайно велика, и от Платона до Канта можно с трудом назвать философа, который не старался бы внести свет в эти темные вопросы. Однако, лишь последнее столетие принесло с собой значительное выяснение этих вопросов. Но путь, приведший к современным взглядам на н&чалоосвовы математики лежит через математику, а не через философию. В арифметике и в геометрии возникли совершенно новия теории, новия дисциплины, которым собственно мы и обязаны выяснением этих вопросов. Эти новия дисциплины в геометрии известны в настоящее время под общем названием „неевклидовой геометрии“. Все вопросы философского характера, относящиеся к арифметике, анализу и геометрии, сконцентрированы в особой статье Основания математики. Там найдет себе место и „неевклидова геометрия“.

Библиография.

Литература геометрии черезвычайно велика. По каждому отделу под рубрикой ос) указаны важнейшия классические сочинения, трактаты; под рубрикой |3) сочинения» более доступные для широкого круга читателей.

По истории геометрии, ос) М. Cantor, „Ge-sohichte der Mathematik“; TV. Rouse Ball, „А schort account of tlie history of mathematics“ (имеется французский перевод TV. Rouse Ball, „Hisloire des mathdmatiques“). P. Tannery, „La gdomdtrie grecque“; M. Ващенко-Захарченко, „История геометрии“. /3) Tropflce, „Gescbichte der-Elementarmathematik“; Ф. Кэджори, „История элемфн. тарной математики“.

I. ос) Лучший трактат по элементарной геометрии: Е. Rouche et Ch. de Comherousse, „Traite de geometrie“ I, II. /3) Наиболее распространенные у нас руководства по элементарной геометрии гг. Киселева Давыдоча, Симашко заслуженно пользуются значительным распространением. Ващенко-Захарченко, „Элементарная геометрия“. Более научное изложение важнейших вопросов элементарной геометрии можно найти в сочинении Вебер и Веллыитейп, „Энциклопедия элементарной Математики“ т. II (перевод с немецкаго).

Из сочннепий, касающихся отдельных вопросов элемевтарной геометрии, особенного внимания заслуживают: Ф. Клейн, „Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований“ (перевод с немецкаго); F. Enriques, „Fragen der Elementargeometrie“ (приводимнемецкий перевод вместо итальянского оригинала).

Издания Евклида: а) Heiberg und Menge, „Еасии-dis opera omnia“ (грфч. и латинский текст); Heath, „The thirteen books of Enclida Elements“. Английский перевод с многочисленными примечаниями; лучшее справочное издание. Ващенко-Захарченко, „Начала Евклида“. 3) М. Simon, „Euclid und die sechs planimetrischen Bilcher“.

II. О конических сечениях, a) M. Chasles, „ТгаНё des sections couiques“; A. Clebsch, „Vorlesungen fiber Geometrie“. Bd. I; 0. Hesse, „Sieben Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte“; ]3) H. Zeu-ihen, „Grundriss einer elementar-geometr. Kegelschinitts-lehre“. J. Schlotke, „DieKegelschnitte undihre wichtigsten Eigenschaten in elementar-geometrischer Behandlung“. Из различных изданий Аполлония наиболее подходящим является английское издание Heath, „Apollonius of Perga, Treatise of conic sections“.

ИИ—V. Аналитическая геометрия, ос) В. Xiewenglowski, „Conrs de g6om6trie analytiqne“. I—Ш. Salmon, „Analytische Geometrie der Kegelschnitte“, „An. G. der hoheren ebenen Kurven“. „An. Geometrie des Rau-mes frei bearbeitet von Fiedler. Приводим немецкую обработку, так как она превосходит английский оригинал. |3) Briot et Bouquet „Lejons des gdom6trie ana-lytique“; J. Xeuberg, „Cours de gdometrie analytiqne“;

K. Андреев, „Курс аналитической геометрии“; Б. ЛИлоЬ-зпевский| „Аналитическая геометрия на плоскости“; Двиабек, „Курс аналитической геометрии“.

VI—ВП. Д и ф ф е р е и ци а и ьная геометрия изложена во всех курсах анализа (смотрите исчисление безко печно малых), но имеются и специальные сочинения: а)

L. Bianchi, „Vorlesungen fiber Differentialgeometrie (приводим ииЬмецк. перевод вместо итальянского оригинала). L. Raffy, „Lemons sur les applications gdomdtriques de l’analyse“. 3) F. Joachimsthal, „Anwendung der Differential und integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flaehen und der Linien doppelter Krummung“. В. Л. Вукргьвв. „Курс приложении дифференциального и интегрального исчисления к геометрии.

VIII. Проективная геометрия, ос) М. Chasles, „Trait6 de geometrie superieuro“. J. Steiner. „Systema-tisohe Entwicklung der Abbangigkeit geometrischer Gestal-ten von einander“. Th. Reye, „Dio Geometrie der Lage. 3) F. Enriques, „Vorlesungen fiber projective Geometrie“, auto-risierte deutsche Ausgabe von H. Fleischer. R. Boger, „Ebene Geometrie der Lage“.

IX. Геометрография, oc) Th. Vahlen, „Konstruk-tionen und Approximationenin systomatischer Darstellung“. |3) И.Александров. „Методы решений геометрических задач па построение“. Weber и. Wcllstein, „Encyklopadie der Elementar-Mathematik“, Band III, отд. Y. Graphik (этот том по-русски еще не издан); А. Адлер, „Теория геометрических построений“.

X. Начертательная геометрия, а) G. Мопде „Leеons de geometrie descriptive“. S. F. Lacroix, „Essai de g6ometrie sur les plans et les surfaces courbes“. K. Polike. „Darstellende Geometrie“. /3) F. Smolik. „Elemen-te der darstellenden Geometrie“. H. Макаров. „Начертательная геометрия“. 1. Сомов. „Начертательная геометрия“. А. Полыиау. „Начала начертательной геометрии, теории теней и линейной перспективы“.

В. Каган.

между супругами происходят нередко ссоры. Г. преследует внебрачных детей и любимцев Зевса, особенно Геракла. Будучи не в состоянии справиться с Зевсом силою, Г. прибегает к хитрости. Особенно сварливою, строптивою, упрямою, строгою и ревнивою рисует Г. Илиада, заимствуя эту характеристику, вероятно, из древних героических пе-сен, прославлявших Геракла, ярою противницей которого она была. Г.— воинственная богиня и бурная натура. Г. покровительствует браку, верным женам, помогает женщинам в трудные минуты родов. Как богине неба, покрытого звездами и проливающого дождь, Г. приносили в жертву козла— символ дождя, и позднее ей был посвящен павлин, пятна которого на хвосте сближали с звездами. Как жене Зевса, Г. была посвящена кукушка, вестница весны, той поры года, когда Г. вышла замуж за Зевса. Как богине брака, Г. придавали аттрибут—гранатовое яблоко, символ брака и любви. Как царице, ей давали в руку скипетр. Культ Г. был широко распространен по всей Греции и ея колониям. Более всего чествовали Г. в Арголиде. В Аргосе находился большой храм с прекрасным колоссальным изображением Г., исполненным Поликлетом. Были храмы ея в Микенах, Спарте, Олимпии и Коринфе. В честь Г. происходили празднества гереи с состязаниями. У римлян Г. отождествлялась с Юноной. В отличие от греческой Г. римская Юнона была более властной. Юнона также покровительствовала браку. Замужния женщины праздновали в честь ея 1 марта ма-троналии. В этот день оне с венками на головах стекались в храмы молиться о счастье в браках и приносили в жертву цветы. Юноне был посвящен гусь. Первые идолы Г. были камни и пни. Затем явились раскрашенные доски и после этого деревянные идолы в виде сидящей фигуры. Во второй половине V в до Р. Хр., когда было закончено создание типа Г., изображение его дал знаменитый Поликлет в своей статуе из слоновой кости и золота для храма еяв Аргосе. Этой статуи не сохранилось. Описание изображает ее сидящей в царственном величии на троне, с венцом на голове, с гранатовым яблоком в одной руке и с жезлом, увенчанным кукушкою, в другой. Некоторое представление о статуе Поликлета дают изображения на аргосских монетах. Этот тип величавой богини строгой и чистой красоты изменяется несколько в IV в связи с общим очеловечением богов. Г. сходит с царственного трона и изображается стоящей в той или иной позе, но всегда величавой и полной достоинства. Сохранившихся статуй. Г. очень немного. Одне, как например Г. Барберини, дают лик богини без покрывала, другия—с покрывалом. Первия изображают Г.-царицу, вторыя—Г.-жену. Из бюстов Г. лучшие Г. Фарнезф и Г. Людовизи. В последней дан лучший образ царицы Олимпа и жены Зевса. Многочисленны изображения Г. на вазах. О Г. см.: Welker, „Griechische Gotterlehrc“; Roscher, „Ausfiihrl. mytholog. Lexikon“; Preller, „Griechische Mythologie“; Аппелырот, В., „Гера“ („Гимназия1“, кн. LXX). П. T.