> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Идею безконечпо-малых величин ыожпо пояснить следующим примером

Идею безконечпо-малых величин ыожпо пояснить следующим примером

Идей безконечпо-малых величин ыожпо пояснить следующим примером. Обыкновенно за угол между двумя пересекающимися линиями на плоскости принимают угол между прямыми, касательпыми к обеим кривым в точке их пересечения, и в таком случае угол между двумя прикасающимися друг к другу кривыми равен пулю. Но мы можем смотреть на углы иначе и сказать, что величина угла зависит от формы его сторон, причем из двух углов с общей вершиною тот будет считаться меньшим, стороны которого, в непосредственной близости в вершине, заключены между сторонами другого. При таком условии мы будем, панр., иметь (чертёж 1). АОВ >

MON, COD < POQ. При таком правиле сравнения углов, угол между кривою и касательною к ней уже ьо будет пулем, а будет представлять некоторую определенную величину, как это принимал и Евклид (III, 16); это так называемый угол прикосновения. Легко видеть (чертёж 2), что если мы проведем через точку прикосновения секущую ОМ, то па сколько бы частей мы ни делили угол АОМ, полученная часть будет все же более угла АО С; таким образом угол АОС между кривого и касательною представляет величину безкопечпо-малую по отношению к каждому углу с прямолинейными сторонами.

Если величина а бозкопочпо-мала относительно а, a величина s безконечно-мала относительно а, то е называется по отношению к а, величиною безконечно-малою высшого порядка, нежели я.

Так как безконечно малая величина менее всякой конечной, то в тех случаях, когда мы ищем толькоконечные величины, мы можем отбрасывать безконечномалия слагаемия или вычитаемыя, так как при этом мы отбрасываем величины, меньшия, нежели все те, которые подлежат нашему рассмотрению; так, в случае угла между пересекающимися крпвммй, папр., £_ АОВ (чертёж 1), мы можем заменить этот угол углом MON, так как отброшенные углы АОМ и

BON безкопечно-малы по отношению к углу MON. По если в данной сумме все конечные слагаемия взаимно уничтожаются, и остаются только безконечно - малыя, то ими не всегда можно пренебречь.

Применение безконечпо-малых в апалпзе-осповано па том, что действия над безконечно-малыми величинами могут в двух случаях давать в результате величины конечпыя. Сь одной стороны, безкопечпо-ма-лия величины могут иметь конечное отношение и, следовательно, давать в частном конечное число. С другой стороны, хотя сумма сколь угодпо большого числа безкопечно-малых слагаемых сама безкопфчпо-мала, но сумма безкопечно-большого числа безконечномалых слагаемых может быт конечпою. На первом свойстве основано применение безкопечно-малых в дифференциальном исчислении, па втором — их применение в интегральном исчислении.

Вопрос о реальности безконечно-малых велнчип издавна занимал математиков и философов. Так как прежде всякое изменение мыслилось, как ряд последовательных переходов из одного определенного состояния в другое, то и при рассмотрении непрерывного измепепия, папр, движения, время и пройденный путь рассматривались, какь состоящие из безконечного множества элементарных неделимых частей, проходимых последовательно. Так смотрели, папр., Виета, Галилей, ИСавальери, Кеплер и др. Ньютон называл моментами, безконечно-малия приращения изменяющихся величин, но не пользовался вми в своей теории, вводя вместо них копечпия величины—флюксии.

Лейбниц, повидимому, признавал реальность актуальных безкопечно-малых величин и рассматривал первоначально свои дифференциалы как безконечно-малия приращения переменных величин; но в своем „Nova methodus“ он определяет дифференциалы, как некоторые конечпия числа, взбегая употребления безконечно-малых. Однако, в нервом трактате по дифференциальному исчислению, принадлежащем Лопиталю, дифференциалы вповь определяются, как разности двух последовательных значений перемеппой величины, следовательно, как величины безконечпо-малыя.

Введение в математику безконечно-малых величин вызвало с разных сторон возражения (Ние-веиитииит, 1604, Гериели, 1710, и др.). Главное возражение заключалось в том, что И. б.-м. не точно, так как в нем отбрасываются величины, которые хотя и безконечно-малы, но не равпы пулю. В другом возражении указываюсь па то, что безконечно-малыя, как неделимыя, не могут состоять из частей, следовательно, не возможны безконечно-малия или дифференциалы высших порядков, введение которых было существенно для првого исчисления. С математической стороны, актуальные безконечно-малия представляют то неудобство, что частпое двух таких величин, а также сумма безконечного множества таких велпчип не имеют прямого смысла, и потому должны определяться косвенным путем, по способу пределов. Чтобы поставить высший анализ на более прочпом основании, метод безконечно-малых был заменен методом пределов, как это предлагали уже Маклорен и Даламбер. Эта замепа была выполнена Коши. Тем не менее, метод безконечно - малых представляет такие удобства, особенно в различных приложениях высшого анализа к другим отделам чистой и прикладной математики, что безконечпо-малыл тем не мепее сохранялись в анализе в измененном виде — в виде несобственных безконечно-малых величин, которые правильнее было бы называть, как это делал уже Ньютон, неограниченно - малыми. Так как в настоящее время высший анализ имеет дело только с безконечпо-малыми величинами этого второго рода, то в последующем мы будем понимать под безко-печпо-малыми только несобствеппо безконечно - малия величины. Что касается актуальных безконечно малых величин, то оне встречаются теперь только в общем учении о величинах и в учепип о множествах Безконечно-малия несобственные определяются следующим образом. Пусть мы имеем переменную величину а, которая при своем изменении может сделаться и оставаться мепьшей по абсолютной величине каждого данного сколь угодно малого числа е, |а|< е; иными словами, пусть это число может при своем изменении сколь угодно близко приближаться к нулю. Такая переменная величина, рассматриваемая в этом ея изменении, и называется песюбствепно безконечно-малой величиною. Таким образом, тогда как актуально безконечно-малая величина есть величина постоянная или переменная, меньшая всякой конечной величины того же рода, — несобственная безконечно-малая величина есть такая перемппная величина, которая при своем изменении может сделаться меньше всякой заданной величины.

С понятием о безконечно-малой величине связано и понятие о пределе. Если перемепное х изменяется так, что разность между ним и постоянным а есть величина а безконечно-малая, — т. ф. может быть сде ляна меньше всякой данной величины, то постоянное а называется пределом переменного х при данном его изменении. Так, площадь круга есть предел площадей вписанных в пего правильных многоугольников с увеличением числа их стороп, так как при увеличении числа стороп вписанного многоугольника площадь его неограниченно приближается к площади круга. То что а есть предел переменного х, изображается равенством α= lim х, где lim — начальные буквы слова limes — предел. Так как разность х — а между переменным и его пределом равна безконечно-малому а, то х=a-}-а, т. е., перемепное равно своему пределу, сложенному с безконечно-малою величиною. Из предыдущого следует, что безконечно-малое есть переменное, предел которого равен нулю; таким образом И. б.-м. может быть замепено исчислением пределов.

Если мы имеем несколько безконечно - малых а, Р> Т-» зависимых между собою, то одно из нихнапример а, принимается за главное; тогда, если lim —

И

равен нулю, (3 называется безкопечно-мальтм высшого порядка относительно а; если этот предел равеп безконечности, то (3 называется безконечно-малым низшого порядка; если же этот предел равен конечпому числу, то (3 и а называются безконечно-малыми одинакового порядка. Во многих случаях безконечно-малому [3 соответствует такое положительное число п.

что lim--равно конечпому числу; тогда (3 называетсяпабезконечно-малым n-го порядка относительно а. Например, если х стремится к пулю, то, по отпошепию к х, 2х будет безконечпо-малым первого порядка,

2 х —~-

так как lim —=2, Зх2 — второго, 5 [/ х — половиппаго; так как из тригонометрии известно, что

sin х sinx л

lim -> т. е. предел -при х=0, равепх О х хединице, то sin х будет относительно х безконечномалым первого порядка. Не нужно думать, что каждому безконечно-малому соответствует определенный порядок малости. Так, в анализе доказывается, что хотя 1

;- безконечно-мало вместе с х, но это безконечпо-

log X

малое пе имеет определенного порядка, так как при всяком и, как бы оно ни было мало, предел отношения; хп, при х=О, равен нулю.

II. Дифференциальное исчисление. Основное понятие дифференциального исчисления — понятие пропзводпой функции (ср. высшая математика). Производная данной функции у=f(x) есть предел, к которому стремится отпошение между приращением функции у и соответствующим приращением независимого переменного, или аргумента, х, когда последнее стремится к нулю,см. высшая математика). Таким образом, производная от у по х есть пе что иное, как предела д fw

Д х

lim

Дх=0

lim

Д х =0

f(x +Д х)

lim

Дх=0 - Г(х>

Д х

Или, что то же,

Д х

Очевидно, что производпяяне зависит от Д х, так как опа подучается в пределе, когда Д х неограниченно приближается к нулю; но она, вообще, зависит от х и, следовательно, представляет некоторую функцию от х, определенным образом зависящую от начальной функции f (х). Производная функция обозначается по Лейбницу через d у

—, по Ньютопу, у которого производпая называется а хфлюксией, через у, по Лаграпжу — у, или V (х), по Коши — Если, например, мы имеем у=х2, то, чтобынайти производную, составляем разность Д у (х -|-+ Д х)2 — х2=2 х. Д х —(Д х)2, представляющую приращение фулкции у=х2 при переходе от х к x-f-Ax; Д-узатем имеем —=2 х + Д х, и, переходя к пределупри Д х=0, находим производную у=2 х.Если функция у представляет ордипату кривой y=f(x), то производная у1 представляет tg« — тапгспс угла па-клопепия а между касательной к кривой в точке (х, у) с осью х (ср. высшая математика). ИИьютсп выводил понятие производной из механики. Обозначим через t время, через s=f (t) расстояние движущейся точки от пекоторой начальной точки О. Найдем скорость движения в данный момент времени t. В этот момент движущаяся точка находится от О па дапном расстоянии s. В следующий за момептом t промежуток времени At точка пройдет некоторое расстояние As. Если бы движение было равномерным, то скорость As

движения была бы —, т. е. получилась бы делениемпройденного пути на время; по, па самом деле, это выражение дает только среднюю скорость за промежуток времени At. Чем меньше будет At, тем ближе будет эта средняя скорость к истинной скорости движения в момента» t. Таким образом, истинная скорость есть предел, к которому стремится отношение

—, когда At стремится к пулю; и, следовательпо, At

As

Истннпая скорость в момент t равна lim, т. е.

At=О At

равна производной от проидеппого пространства s по времени t. Но Ньютону это есть то значение отношения As,

—, с которым величины As и At исчезают или возникают; поэтому Ньютон назвал свои метод методом первых и последних отношений. В связи с этим механическим толкованием производной, Ньютон рассматривал непрерывное изменение величин, как течение, и называл функцию флюэнтою, а ея производную, представляющую скорость изменения, флюксией.

„ „ dy

В обозначении производной по Лейбницу у= числитель и знаменатель суть два произвольных числа, отношение которых равно производной у; эти числа называются соответственно дифференциалами переменных у и х. С точки зрения актуальных безконечно-малых, dx и dy суть безконечно - малия величины, в которые обращаются приращения Дх и Ду при своем неограниченном уменьшении; это—актуально безконечномалия приращения хну. Так смотрит па них, например, Лопиталь. По, с устранением из высшого анализа актуалыю-безкопечно-малых, под dx и dy понимают, следуя Лейбницу и Коши, произвольные числа, имеющия отношение у. Принимая dx равным Дх, получим dy=у. Дх (смотрите высииал математика). Хотя, таким образом dx есть вполне произвольное число, но в приложениях анализа к геометрии, механике и естествознанию удобнее понимать под дифференциалами весьма малия числа.