> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Из дифференциальных уравнении высших
Из дифференциальных уравнении высших
Из дифференциальных уравнении высших .порядков особепно замечательны уравнения линейные, часто встречающияся в мехапике и математической физике. Общий вид линейного уравнения n-го порядка следующий:
y(n)+P1y(n-l) + P!T(n-s)++
+ Pn-/+Pn=Q
где Р Рп и Q —данные функции независимого переменного х. Интегрирование этого уравнения приводится, как будет показано ниже, к интегрированию более простого линейного уравнения, в котором Q=0:
y(n) + Pty(o-t)- + P„y=°.
т. н. однородного лнпейного уравнения, или уравнения без второй части. Лагранж показал, что общий интеграл такого уравнения имеет вид
У=с(у, +°2У5+- + СПУП, где у4, у о уп известпия функции от х, а
Сп — произвольные постоянные. Напр., общий интеграл уравнения 2-го порядкат 1
= 0
у“-ту+т=ггу =
есть у= -{- С2е‘, как это можно проверить подстановкою.
Лнпфйпое одпородпое уравнение легко интегрируется в том случае, когда все коэффициенты Р—постоянные числа. В этом случае, как показал Э лер, достаточно найти корпи „решающого уравнения“ tn -}-Р1 tn -f -j-Petn -f Р t-1-P =0. Если псе эти корнидействительны и различны, то, обозначая их через t|, to tu, мы получим общий интеграл предложенного линейного уравнения в видеу =C1etiX+ C„et2I+ -f Cne‘nX.
Если среди корней решающого уравнения естьмпимые, папр., tj — ссиЭ, t»=a— и(3, где и=то соответствующие члены общого интеграла заменяютсячерез СиФ51 sin (3tС2е 1со8 pt. Наконец, если решающее уравнение имеет равпыо корпи, ианриме; ь, t4 == tp, то соответствую дио члены интеграла
t х, „ t х., _ р-и t хобращаются в С te 1 -j-C2xe -{- Н-СрХ о и
d2y
Найдем, например, общий интеграл уравнения-р4~а“У — О»
встречающагося в теории колебательных движений. Решающее уравнение будет в этом случае t2-|-a2=0, и его корни t4=4~ а2» — аи. Отсюда находим общий
Интеграл в виде у=Cisinax -{- C1cosax
Когда“ общий интеграл лннейпого уравнения без второй части известен, то нахождение интеграла соответствующого уравпепия со второю частью приводится, как показал Лагранж, к квадратурам, при помощи тому подобное. метода измепепия произвольных постоянных. Сущностьэтого метода выяснится на следующем примере. Выше .„ ., х.
мы имели общий интеграл уравнения у“ — ———уу=0 в виде у=Ctx -{- С2е. Чтобы получитьчастью
X—1
отсюда, интеграл уравнения со второю
У —
-У - --г“ У=х— 1, предположим, чтох—1 х—1
в предыдущем выражении Ct и С2 суть не постоянные, а некоторые функции от х, которые мы выберем так, чтобы получающееся выражение для у удовлетворяло предложенному линейному уравнению со второю частью.
Дифференцируя выражение у C1×-1- С2е, в предположении, что С£ и Со суть функции от х, получим у =
= С4 -f- С2ех + х + ех-~ Подчиним С, и С2
dCt. ч dCo.,
условно х —г-1- -г ех-г-=-=0; тогда производная у прн-J dx dx
мет вид у == C1 -ф- С2ех так, как если бы С4 и С2 были постоянными. Составляя затем у“, найдем у“ =
dCt j х dC«
dx 1 dx
для у, у1, у“ в предложенное уравнение со второю
С- е х —]----]-ех “. Подставляя эти выражения
dCl I -×dCi dx 1 dx Присоединяя сюда предыдущее условие dCt, в dC- „ „ dC, dC.
dx
„ aL/j duo
, =0, найдем —— — — 1, ——=s
dx dx dx
И отсюда C1=c1 —x, C2=c2—(x-fl) e““ x; где сл и c2— повия произвольные постоянные. Выражение для С2 получается здесь интегрированием их но частям (смотрите выше). Подставляя выражения, получеппия для C1 и С2, в формулу у =С4-}- С2ех, будем иметь общий интеграл предложенного уравнения со второю частью в виде у=cjx -j- с5ех — х — х — 1.