> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Из определение производной
Из определение производной
Из определения производной, как предела отношения между приращением функции и приращением аргумента, следует, что производная есть мера быстроты роста функции сравнительно с ростом аргумента: чем больше производная, тем быстрее растет функция сравнительно с аргументом. Так как у=А у А У
= Ииш —то —=у; -I- е, где е стремится к пулю А х А х J 1
вместе с Ах. Поэтому, если уг положительно, то при Ах, достаточно малом, Ау и Дх имеют знаки одинаковые, а если у отрицательно, то — разные. Это показывает, что с возрастанием аргумента Функция возрастает, если ея производная положительна, и убывает, если производпая отрицательна.
Прежде чем перейти к изложению правил дифференцирования функции, т. е. вычисления их производных и дифференциалов, мы приведем здесь некоторые нужные нам свойства функций тригонометрических, показательных и им обратных. Обыкновенно углы выражаются в градусах и их частях; но в анализе удобнее выражать углы в т. н. абсолютной мере, т. е., рассматривая каждый угол, как центральный, измерять его отношением дуги, па которую он опирается, к радиусу соответствующого круга, пли, что то же, измерять угол соответствующей ему дугою в кругЬ радиуса, равного единице. При таком измерении углов каждому числу х будет соответствовать свой угол; например, прямой угол будет измеряться нечислом 90°, а отвлеченным числом 2 тг : 4, или у, т. е. 1,57079; таким образом мы можем, например, написать sin у=~, так как число ~ соответствует полной окружности, т. е. 30°. Что касается показательной функции ах и логарифмической logax, то из них в анализе всего проще те, для которых основанием а служит т. п. Нсперово число е, предстачисло е иррацюпалыюе пвляющее lim (1-4- — п=СО Ч n равно 2,718281828459 Логарифмы, вычисленные при этом основании, называются натуральными; мы будем их обозначать через logx.
Основные правила дифференцирования заключаются в следующих соотношениях, даипых Лейбницем, которые легко вывести из определения производпон. Обозначая через с постоянное, через и, в, хв функции от х, находим, что из и=в следует du=dv. Далее, имеем dc =: 0, d(cu) - c.du, d(u±:v)=du-i-dv, d(uv) =, u vdu — udv
= v.du-j-udv, d—= -r- Деля обе части ка-
1 в в2
ждого из предыдущих тождеств на dx, мы получим из соотношений между дифференциалами соотношения между пронзводпыми; например, последнее соотношение var-
даетъI
/и V в
ЬЫ =-
в»
Дифференцирование простейших функций приводитк следующим результатам: d
dx
при всяком действительном m, d sin х r=: cos x dx, d cos x==—sinxdx, dtgx=—dctgx =--Дт-darcsinx=
l>nc»r С111ИВ
dx
d arccos x r= —
dx
V 1 — X2
dx
V 1 — X’
= -r|4>-daicctg=-Tq
- alogadx, dlog x— —d, log x=-
, d arcctg x =
de m e dx, dx
da =
x log a’
Пусть теперь у представляет сложную функцию от х, т. е. пусть у зависит не непосредственно от х. а от некоторого переменного и, которое есть casto Функция от х. Если, например, у — sin2x, положив sin mm, мы представим у в виде у=и2, и у будет сложною функцией от х. Правило дифференцированияг- ЛИ.
-du,
плиравносильною
du
обр. нросложпой функций выражается формулою dy
dy dy du
dx du ’ dx
взводная сложной функции равна производной от этой функции по тому переменному, от которого она непосредственно зависит, умноженной на производпую от этого переменного по переменному независимому. Например, применяя это правило к функции у=sin2x,
d sin2x _ d (и2) _
dx dx
полагая sin x =- и, найдем
d (и2) du
= 2 и.
d sinx
= 2 sinx cosx.
du dx dx
Первоначально думали, что всякая непрерывная функция имеет производную, подобно тому, как всякая непрерывная кривая имеет касательные и всякое непрерывное движение имеет скорость. Ошибочность этого мнения выяснилась только из исследований Римана (1851). В 1861 г. Вейерштрасс дал пример функции непрерывной при всех значениях аргумента и пе имеющей производпой ни при одном из этих значении.
Основную теорему дифференциального исчисления представляет теорема конечных приращений, состоящая в следующем. Если для всех значений аргумента х, от х=а до х=Ь, функция f (х) конечна, (пф обращается в безконечность), непрерывна и имеет определенную производную f(x), то между а и b есть по крайней мере одно значение х=с, для котораго
f (Ь) - f (а) _
f(b) —f(a)=(b — а) f(c), или
:=f(o).
b — a
Из этой теоремы получаются все важнейшия предложения дифференциального исчисления. Ея значение состоит в том, что ей устанавливается связь междуконечными приращениями функции и аргумента, с одной стороны, и производною, т. е. отношением бсзкопечио-ыалых приращений, с другой.
Теореме конечных приращений можно дать простое геометрическое истолкование. Пусть будет f(х) уравнение кривой MN (чертёж 3). Пусть будет О А=а,
ОС
ОВ=b абсциссы точек M.N, О С ~с — абсцисса точки Р. Тогда AM=f ва), BN=f (1>), и отношениепредставляет tgO.MN, т. е. tg угла наклонения хорды MN к оси х. Точно так же f (с) есть tg угла наклонения касательной в точке Р к оси х. Таким образом теорема конечных приращений выражает, что па всякой дуге есть, по крайней мере, одна точка, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Так как производная от функции есть сама также функция того же переменного, то от производной молено взять новую производную и так далее Таким образом получаются производные высших порядков, или высшия производные у= (у), y“’=z (у“) и так далее, или, по Ньютону, у, у Так же получаются и дифференциалы высших порядков d2v=d (dy), d3y==d (d2y) Чтобы найти связь между производными и дифференциалами высших порядков, представим пронз-
dy
водную у как отношение дифференциалов дифференцируя это отношение, как дробь, получим dy=
поэтому уг =
d2y dx — d2x dy
d2y dx — d2x dy _ dy,= (dx).--- HoH7 =y :
(dx)3
Так как мы видели выше, чтодифферепциал dx есть произвольная величина, то мы можем упростить последнее выражение, условившись считать, что дифференциал независимого переменного есть величина постоянная; так это всегда и принимается в анализе. Тогда d2x, как дифферепциал постоянного, равна пулю, и выражение для у“ принимает по d2y „
сокращении па dx вод у“=—; дальнейшее диффе-
d3y лренцировапиф дает у“ -, и так далее Отсюда получаются вырпжепия для дифференциалов высших порядков: d2y=y“dx2, d8y=ym dx3
Выражения производных высших порядков для большей части элементарных функций довольно сложны; по для некоторых фвтикцин можно дать общия выражения их производных высших порядков. Так,
обозпачая производную n-го порядка от у через уп будем иметь хШП=ш(т — 1)(т — п-|-1) хт П, (oX)(DW, ( аХ)(п) =
(-1)“
(п)
(logx)=-
= а (log а),п—и (п)
(log х) =
1. 2(n —1)
(-1)
х loga. 1. 2 (n— 1)
—,(sin х)
(п)
= sm( + n J1),
(cos х) п=cos х -{- и Замечательна также формула Лейбница, дающая выражение высших производных от пропзведепия (uv)v=u в— ux vf -J-
, П (п —1) (n—S)
+ —1 — и +
1. 2
1.2.3
Ив
Функции от весколькпх независимых переменных также имеют производные и дифференциалы. Если, например, мы имеем функцию трех переменных u=f(x, у, z), то мы можем исследовать изменение и в зависимости от изменения каждого из трех перфмеппых х, у, z в отдельности; при этом всякий раз мы предполагаем изменяющимся только одно из независимых переменных, тогда как остальные переменные остаются без изменения. Таким образом мы получаем т. н. частные производные от данной функции но каждому из независимых переменных отдельно. В нашем случае мы будем иметь три частных производных, составленных в предположении, что изменяется только одно из трех перемеппых.
du,. f (х -f- Дх, у, 7.) — f(x, у, z)
lim
Ах=0
du
д=lim
аУ ду=о луа« _ 1Иш f (зс, у, г + Дг) — f(x, у, z)
д2 Д z=0 д г
Если, например, мы имеем функцию двух переменных у u
И=х, то найдем следующия выражения для двух частных производных (смотрите выше формулы дифференцирования):
ди у— ida у,
_ — _ _ -V-7 7
Дх
f (» У + Ду, г) — f(x, у, z)
дх
: уХ
—=xlogx.
Обозначение частпых производных в виде
da
dx’
da du _. _
-, ——, принадлежит Якобп. Оно отличается это у dz
приведенного выше обозначения обыкновенной нронз-„ dy
водной — — введением круглого д вместо прямого d.
Такое различие должно напоминать, что тогда как в о dy
обыкновенной производпон дифференциалы dy, dx
Имеют самостоятельное значение,—в выражении част-„ „da
ной производной —— числитель и знаменатель отдель-охно зпачепия не имеют. Умножая частные производные на соответствующие дифференциалы переменных dx, dy,
dz, получаем частные днфферепциалыл du du du
du =-dx, du=—— dy, dtr_=-r— dz.
x ox У dy A dz
Полным дифференциалом функции называется сумма ея частных дифференциалов
du du
da=— dx -f- -f dy 4- — dz.
ox ду о z
Еслп функция и—сложная, т. е. зависит от переменных г, s, t, которые сами зависят от х, у, z, то выражение полного дифференциала остается то же du. du du
du=— dr 4- — + — dt,
dr 1 ds ‘at
при чем dr, ds, dt суть сами полные дифферепциалы; дт dr dr
папр., dr=— dx -f — dy 4- — dz. Вставляя вместо dr, r dx dy 1 dz
ds, dt их выражения и собирая коэффициенты при dx, dy, dz получим выражения частных производных, от сложной функции, например
dii du dr da ds da dt
dx dr dx ds dx dt dx
Последовательное дифференцирование приводит к частным производным высших порядков. Напр., функция и от двух переменных х, у имеет четыред-п д du
частных производных втор, порядка
dx dy d f du
d
dy
d2u dy dx
dx2 dx d f da dx Oy
dx
г—=— [-г— I. Основное свойство частных пронзводо-а
dy2 — dy dy ных высших порядков состоит в том, что опе не зависят от порядка дифференцирования, например, d2a d2u „
приведенном примере
dx dy ’
α= хУ,
du
dx
d5u
dy dx дифференцируя
В вышеполучеппия d2u
И ——, найдем -j-= у (у — 1)
выражения для
У — 2
dy
d2a
dx2 ~
da
— — xJ (l-{-logx), =xy (logx)
dx dy dy dx 4 1 ° dy2 4
Пз правил дифференцирования функций нескольких переменных выводятся правила дифференцирования пеявных фупкций (смотрите функция). Пусть у определяется, кик неявная функция от х, уравнением о (х, у)=0. Днфферепцируя обе части ио х и имея в виду, что у есть функция от х, получаем но правилудифференцирования сложных
+
д(р dy
dy
dF=0
dip dx функции ~—
dx dx dx
+
И отсюда, так как ——=1, нахо-dx
дим выражение производной неявной фупкций в виде ае (х, у)
dy _ dx
dx dip (x, у)
dy
Если, например, у связано с х уравнением х2 — у3 —
_ _ dy 2х _
— 1=0, томы получим ——= ——. Очевидпо, что
dx Зу2
если х дапо, то у нельзя здесь брать произвольно, а необходимо брать для у то значение, которое вместе с взятым значением х удовлетворяет уравнению <р (х, у)=0. Таким же образом получаются и частные производные от неявных фупкций нескольких переменных. Например, рассматривая в уравнении х2-}—у2—J—z2 — 1 =0 z как неявную функцию от х, у
dz
И днфферепцируя по х, найдем 2х -j- 2z=0, от-
dz
куда ——=— —. Наконец, мпогократпым дпффереп-dx z
цировапием получаются таким же образом производные высших порядков. Пусть, например, z“ определено как неявная функция от х, у уравнением x4y3z2=1; и d2z „
И требуется найти Найдем сначала производные первого порядка. Днфферепцируя данное уравнение ио х и по у, находим 4 х3 у3 z2 -f- 2 х4 у3 z=О,
3 х4 у2 z2 -}- 2 х4 у3 z dz
dz
dy
О, или по
dx
сокращении
2 z х
dz
=0, 3 z -} 2 у —= 0. Дифференцируязатем первое из полученных уравнений по у, нахо-
0 dz d2z _, dz
дим l —— -4- х ———=0, или, заменяя —— его dy dx dy dy
3z, d2z «
выражением из второго уравнения--- -х——=О,
у dx dy
откуда получаем окончательно
d2z
3 z
Если,
dx dy
например,х=2, у=1, то предложенное уравнение дает для z два значепия: z=4— Этим двум значениям z будут соответствовать зпачепия пронзводпой
d2z
dx dy 8 ’
Изложенное здесь представляет, в существенных чертах, теорию дифференциального исчисления. Не касаясь приложений дифференциального исчисления к геометрии и механике (смотрите соответствующия статьи), мы остановимся здесь на приложениях дифференциального исчисления к анализу. Важнейшия из них состоят в разложении функций в ряды, в нзыскапии наибольших и наименьших значений функций и в нахождении главных значепий неопределенных выражений.
Пусть мы имеем функцию f (х), которая, вместе с свонмн производными до (п— 1)-го порядка Р (х),
f“ (х)..
f (п — )
(х) конечпа при х=а; пусть, крометого, n-ая производпая f (х) имеет определенные значепия для всех значении х между а и а-|-1и. Тогда, применяя теорему конечных приращений (смотрите выше), можпо вывести формулу Тэлора:
f(» + h)=f(a)+Afr (a)+jii Г (») + +
+ ~1
(n_1)w+,
f (п)(а + 0 ии),
1.2П—1 ‘ 1 1.2.1.П
где D—некоторое число, содержащеяся между нулем и единицею. Последний член называется остаточным членом формулы Тэлора. Эта формула представляет обобщение теоремы средних приращений. Независимо от своего теоретического зпачепия, эта формула может служить для приближенного вычисления функций. Если остаточный член настолько мал, что при данной точности вычислений им можпо пренебречь, то зная значение функции и ея н—1 производных при х=а, мы можем вычислить вначепия функции для всех достаточно близких зпачений х=а -}- h. Если при неограниченном возрастании и остаточный член стремится к нулю, то в формуле Тэлора разложение может быть продолжено неограниченно, и мы получаем разложение функции в безконечный ряд Тэлора (Taylor, 1715, Job. Bernoulli, 1694):
h _, h«
f (» + h)=f (»)+ T f(a) +T2 f“ (a)
+ -
(n)
1.2,..n
Отсюда при a=О, заменяя h ряд Маклорена (Maclaurin, 1742):
(а) +
черезполучаем.
f (х)=f (0) + у f / (0) + — Г (0) + +
+ -
(п)
(0) +
1.2н
Этот ряд определяет функцию f(x) по значению функции и ея производных, при х лг 0, для всех значений х, для которых этот ряд сходящийся (смотрите ряииы). Он дает разложение функции по целым положительным степеням аргумента, и, следовательно, представляет функции при помощи элементарных действий, умножения и сложения, и, кроме того, переход к пределу.
Подставляя в ряд Маклорена вместо f (х) различные функции, получаем их разложения в ряды; при помощи этих разложений удобпо исследовать свойства фупкций, а также вычислять их значения. Ряды для sinx u cosx даны в ст. высшая математика. Из других рядов укажем на следующие:
1 + х) т=и + -5.+-ЕЦЕ=И>. ’
+ - +
m (m—1) (га—n-J-1) п
И 9 и х ‘
(бином ГГыотопа);
Замепяя в разложении е х х через их, где и=j/— 1, получаем знаменитое соотношение Эйлера (1748): е=cos х-{-и sin х, связывающее показательную функцию с тригонометрическими. Эта формула позволяет определить показательную функцию е х для мнимых значений аргумента. Заменяя в формулЬ Эйлера снова х через их, получаем е х=cos их -{-
-{- и sin их, и меняя знак прих, ех=cosix — и sinix.
Отсюда cos их =
е х _j_ е х 2
sin их =
формулы, определяющия тригонометрические функции для мнимых значений аргумента.
Ряд Тэлора может быть распространен па функции нескольких переменных. Например, для функции двух переменных он имеет вид:
Г
(a + h> b + k)= f j + Y---/a~ +
к df(a,b) h 2 d2 f (а, b) 2hkd2f(a,b)
1 d b 1.2 da2 ‘ 1.2 д a d b
( k2 d2f(a,b)
+ TT db2 +
всех других опа положительна. С другой стороны, опа имеет maximum при х=0, причем этот maximum равен единице, хотя при других значениях х,
3 25
папр., при х=—» у получает значение —» большее
<2 16
единицы. Значепие функции при х=0 представляет maximum не потому, что оно больше всех остальных значений функции, а потому, что оно больше значений функции, при значениях аргумента х, близких к пулю. Действительно, при всяком х, близком к нулю, значение функции, очевидно, меньше ея значения при х=0, т. е. единицы, и потому значение у 1, соответствующее х=0, есть maximum.
Возьмем формулу Тэлора, останавливаясь на втором члене: f (a+h) - f (а)=h (a) + f“ (a+flh)
Опа показывает, что функция f(x) будет иметь при х=а maximum или minimum только в том случае, если Г (а) лг 0; иначе с переменою знака у 1и разность f(a-J-h) — f(a) будет также менять знак, и мы не будем иметь ни maximum ни minimum. Геометрически это значит, что в тех точках кривой, где ея ордината достигает maximum или minimum, касательная к кривой должна быть параллельна оси х. Положим, что при х=а производные f’(a), f (n—1) (а) обращаются в пуль, а f (п) (а) неравно пулю. Тогдафорыула
hn г
Тэлора дает f (a+h) - f (а)=— f (n) (a)
+ f (n+9 (a+Oh) 1. Отсюда видно, что maximum или minimum будет только при и четном, и притом maximum будет, если f (п) (а) отрицательно, а minimum—если f (п) (а) положительно. Таким образом,
Из формулы Тэлора можно вывести способы определения наибольших и наименьших значений—maxima и minima—функций. Под maximum и minimum, в собственном смысле, разумеются наибольшее и наименьшее из всех значений, которые может принимать данная функция. По в анализе под maximum разумеют обыкновенно такоф значение функции, которое больше всех близких значений той же функции, т. е. значений, соот
ветствующих достаточно близким значениям аргумента. Другими словами, фупкция f (х) имеет maximum при х —а, если разность f (а; — f (a-j-h) положительна при всех достаточно малых значениях h, положительных и отрицательных; точно так же фупкция f(x) имеет minimum при х=а, если разность f(a) — — f (а-{-1и) отрицательна при всех достаточно малых значениях h. Например, фупкция у=(х 2 — 1 )2 (чертёж 4) имеет два minima при х=-е- 1. так как при этих значениях она обращается в нуль, а причтобы функция f (х) имела при xz=a maximum или minimum нужно, чтобы низшая производная, пе обращающаяся в пуль при х — а, была четного порядка; если значепие этой производной отрицательно, то мы имеем maximum; если положительпо—minimum. В пряложе-пиях вопрос решается обыкновенно знаком второй производной. В предыдущем примере у=(х2—1)а, или у=х4 — 2х2-|- 1, для определения maxima и minima составляем производпую у“=4х3 — 4х. Фупкция может иметь maxima и minima только при тех значениях х, при которых первая производная равна нулю; решая уравнение 4х3 — 4х zr 0, находим три корпя: х=0, х==Ь1. Чтобы узнать, соответствуют ли этим значениям maxima или minima, составляем вторую производпую у“=12х2 — 4. Так как эта производная отрицательна при х=0 и положительна при х — -4- 1. то значению х—О соответствует maximum, а значениям х= 1 — minima даипой функции. Найдем еще прямоугольник, который при данном периметре имел бы наибольшую площадь. Обозначим периметр прямоугольника через 2а, его основание через х. Тогда высота прямоугольника будет а — х, а его площадь s=x (а — х), или s=aX—х2. Чтобы пайти maximum s, составляем первую и вторую производные от s по х, s=а — 2х, s“=—2. Приравнивая нулю первую апроизводную, находим х——, а так как вторая производная отрицательна, то полученное значепие дает, действительно, maximum площади s. Из х=~ нахо-адпм: а — х=—и т. е. высота равна основанию; такимобразом из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Формула Тэлора применяется также к нахождению главных значений неопределенных выражении. Еслив дроби —1 обе функции обращаются прп х=а в
f (х)
нуль, то при этом значении перемеппого эта дробь не имеет определенного числового значения; но мы можем искать предел, к которому стремится эта дробь, когда х неограниченно приближается к а; такой предел,
г е(х)
1П1 называется главным, или, хотя и пеправильпо,
Истинным значением неопределенного выражения. Полагая х=а - - h и разлагая числитель и знаменатель по формуле Тэлора будем иметь;
ус-но »W + T (tt)+TT“w+™
f(a+h) + г-() +
По предположению со (а)=0, f (а) =0. Сокращая в правой части на h и переходя к пределу, получим о (х) o fa)
lim -7——=в Если (а) и Г (а) оба равпы нулю, х=а f(x) f (а)
lirn — 9“ (а)
то таким же образом получим _а f (х) — f (а)»11 так далее Найдем, например, главное зпачепие дроби 2е х — х — 2
--при х — 0. Замепяя числитель и зпамех — sin хнатель их производными, до тех пор, пока по крайней мере одип из них не сделается при х=.0 отличным от нуля, пайдем:
2е“_ х“ —2 2ех — 2х 2ех —2
х_0×— Sin× х—0 1 — cosx х—О sin х
2 ех _
= lira -= 2.
х=0 cos х
ill. Интегральное исчисление. В дифференциальном исчислении мы по данной фупкции ищем ея производную или ея. дифференциал. Обратно, имея данпую производную f(x) или дифференциал, мы можем искать ту начальную функцию F(x), которой соответствует эта производная или этот дифференциал. Эта начальнаяфункция изображается по Лейбницу в виде f (х) dx,
так что равенство F (х)=I f(x) dx равносильно dF(x)=f(x)dx, или F(x)=f(x). Из определения
-/
/
Интеграла с.
ледует: d udx=udх, J du=u-{-C, где
С—произвольное постоянное. Переход от данного дифференциала к начальной функции называется интегрированием, а самая начальная функция—интегралом. Интегральное исчисление исследует свойства интегралов и способы их вычислении (смотрите высшая математики). Из указанного выше геометрического и механического значения производной следует, что интегрированием решается, между прочим, задача о нахождении кривой по данному направлению касательных в различных ея точках, а также задача о вычислении пути, пройденного движущеюся точкою по данному закону изменения ея скорости. Первая задача интегрального исчисления—нахождение начальной фупкции но данному ея дифференциалу. Очевидно, что всякая формула дифференцирования дает соответствующую формулу интегрирования. Таким образом из приведенных выше дифференциальных формул получаем следующияформулы интегрального исчисления: Cudx=C Jndx,
J(udx±vdx) — judx±z J vdx, J xndx=---f-C,
при n не равном — 1, logx-fC, j exdx=ex-{-C,
I sin x dx=— cos x -[- C, j cos x dx=sin x -j- C,
iJ J
Г <lx C dx
I .—=arcsinx-f-C, j -=arctgx-(-C,iiT.;T.
J V I-2 J H‘
Такое иптегрпронапио, когда выражение интеграла прямо получается из соответствующих формул дифференциального исчисления, называется непосредственными интегрированием и возможно, конечно, только в простейших случаях. В тех случаях, где оно неприменимо, интеграл иногда может быть получен посредством вспомогательных приемов, из которых главнейшие: разложение на слагаемыя, интегрирование посредством подстановки и интегрирование по частям. Первый ирием состоит в разложении подъинтегральной фупкции на слагаемыя, каждое из которых интегрируется проще, чем вся сумма, папр,
=J 4х dx -{- 5dx=2x
х -f- 5) dx _
2х2 -}- 5 х С. Второй приемзаключается в том, что вместо независимого переменнаго—переменного интеграции—вводят новое переменное, причем при надлежащем выборе подстановки преобразованный интеграл находится более просто, чем первоначальный. Наир., полагая в интеграле
Г dx х=_и-ь1
J 2х-1 ’ ‘
dx — ——, и данный интеграл обратится в
, получим 2 х — 1=у,
— Г—
2 J У ’
который интегрируется непосредственно цдает —log у-}~ С. Подставляя вместо у его выра-2
жепие через х, у=2х— 1, получаем искомый пнтф-dx 1
грал в виде
I-
= — log (2х-1)+С. 2х — 1 2
Интегрирование по частям основано па следующем дифференциальном соотношении (смотрите выше): d (uv)=
= udv -j- vdu. Отсюда, интегрируя, получаем
/п
r~f
uv — vdu. Такпм образом интегрирование дифференциала u dv приводится к интегрированию дифференциала vdu, которое может оказаться более простым.
Найдем, папр. / х cosxdx. Полагая х=п, cosx dx=r — dv, получим du=dx, v=sinx, и формула интегрирования но частям дает j х cos х dx=х sinx-
~fs>
sin х dx. Последний интеграл находится непосредственно, и мы получим х cosx dx=:xsinx-f-cosx-f-C.
Применяя одновременно различные приемы, можно вычислять и более сложные интегралы. Найдем, папр.,
Разлагая подъиптсгральпую фупкцию на
/
х“ —1
слагаемыя, получим
Г d Г г и
/ -=I--
J х2-1 J L 2 (х —1)
1 1 Г dx .1 Г
--Idx, или— I---I
2(x+l) J 2 J х —1 2J
ом интеграле х=и-{-1,
_1_ Г _du___1_ Г
2 J и 2 J
x-f-1
Подставляя в первом интеграле х=u 1, во втором
, ж | «IX х и dv
-1, получим
logu---Iogv-j-С. Заменяя теперь обратно и черезх — 1 и в через х-}-1 и пользуясь известными свойствами логарифмов, получим окончательно
= >°е / -
X — 1
+ с.
Х-|-1
Интегрирование функций весьма редко приводит к функции той же степени сложности. Обыкновенно нпте-грал сложнее, чем подънптегральная функция. Так.
мы видели, что производной соответствует ннте-хграл log х, функции
— arctg х. Таким обра-
1 +х2
зом интегральное исчисление представляет неистощимый источник новых классов функций (смотрите высшая математика). Только в особеппо простых случаях интегралы выражаются в элементарных функциях— алгебраических, показательных, тригонометрических и им обратных. Именно, эго бывает тогда, когда под знаком интеграла стоит функция рациональная, или функция, содержащая корень квадратный из многочлена первой или второй степени, и, в исключительных случаях, при интегрировании более сложных функций.
Обозначим через F(x) интеграл
ff ох) dx.
Тогда разность F(b) — F (а) зпачеиий интегральной функции, взятых для зпачепии переменного х=Ь и х=а,
Г
изображается в виде I f (x)dx и называется определенным интегралом от f (х); числа а и b называются нижним и верхним пределами определенного интеграла (смотрите высшая математика). Интеграл I f (x)dx
/
называется, в отличие от определенного интеграла (х) dx — неопределенным интегралом. Напр.,
Г
С, мы найдем I х dx =
J 3
/
Имея
Ья ( х dx=——
J 2
5 2
+ с -
-{- С )=8. Очевидно, что прии:
f(x)dx. Если в интеграле / f(x)dx предел
Г
Ь, стремится к безконечности, то предел интеграла,
’СО
если он существует, обозначается через | f(x)dx.
I
Гег
Напр., зная, что J е Xdx=—е Х -j- С, получим
b —х
dx=e
, и отсюда
Точпотакъже { — =
/;
Г
dx=e =1.
2x2
- + С, и отсюда / -==
= Нт а=—СО
dx
СО х3
7 1+ -)=- 2 V аВ 2
Гb
< I f(x)dx =
!МеНЕ
Г
Будеме рассматривать в равенстве
— F (b) —F(a) верхний предел, как переменнуювелн-
d ГЬ
чину. Тогда, дифференцируя по b, имеем— f(x)dx =
dbja
— F (b). Но, по определению F(x), как интеграла
d Гь
f(x)dx, имеем F(x)=f(x). Поэтому— / f(x)dx=
db Ja
= f(b). Таким образом, производпая от определенного интеграла по его верхнему пределу равна значению подъинтегральпой функции на этом пределе.
Каждый неопределенный интеграл всегда можпо представить в виде интеграла определенного, так
/
как из x)dx == F(x)-j-C
== F(b)—F(a) следует
Г
fr(x)dx
f(x) dx =
f(x )dx,
вычислении определенного интеграла по неопределенному произвольное постоянное всегда исчезает. Так как при вычислении определенного интеграла переменное интеграции х заменяется пределами интеграла а и Ь, то определенный интеграл не зависит от переменного интеграции х, а только от вида подъинтегральпой функции f(x) и от пределов интеграции, а и Ь, такгчто I f (х) dx=j { (у) dy. Далее, из самого определения определенного интеграла непосредственно
Гаследуют его основные свойства: I f (х) dx=О,
гь
О / f (X
;лепия ( еду ют
ff(x) йх=f () f W dx +:
f (x) dx =
где a— постоянное, выбранное под условием F(a)=— С.
Так как главная задача иптегрального исчисления состоит в определении начальной функции по ея производной, то иптегральпое исчисление представлять исчисление обратное дифференциальному. Но иптегральпое исчисление имеет и самостоятельное значение. Как в дифференциальном исчислении производная есть предел отношения двух безконечно-малых величин, так в интегральном исчислении определенный нп-теграл представляет предел безконечно большого числа безконечно-малых слагаемых, т. е. предел, к которому стремится сумма, когда слагаемия пеогра-ниченпо уменьшаются, а их число неограниченно возрастает. Именно, в интегральном исчислении доказывается следующее свойство определенного интеграла. Пусть мы имеем функцию f (х), непрерывную при изменении х в пекотором промежутке. Возьмем в этом промежутке два числа а и Ь, причем пусть, например, b > а. Поместим между а и b ряд возрастающих чисел aif а“, ап и рассмотрим сумму
f (а) (а| — а) -j- f (at) (а2 — а4) 4- -f- t (an) (b — au). В этой сумме каждое слагаемое равпо разпости двух последовательных чисел а, умноженной па значение функции f(x) при втором из этих значений. Будем беспредельно увеличивать число промежуточных значений, так чтобы все их разпости беспредельно убывали. Тогда оказывается, что предел, к которому стремится написанная сумма, есть не что иное, как
Гьопределенный иптеграл I f (х) dx. С этим свой-
Ja
ством опредйлеппого интеграла связан и символ введенный для него Лейбницем; этот символ
/
происходит от буквы S, начальной буквы слова sum-ша. Символ / f (х) dx представляет, по его первоначальному смыслу, сумму безконечно-большого множества безкопечно-малых слагаемых f(x)dx, каждое из которых есть произведение значения функции f (х), на dx — безконечно - малое приращение независимого переменного х.
Разсматривая определенный интеграл, как предел суммы, мы можем дать ему простое геометрическое истолкование. Пусть мы имеем кривую y=f (x) (чертёж 5). Найдем выражение площади, ограниченной
зтою кривою, осью х и двумя ординатами AM, BN, восставленными в точках х=а, х=b. Поместим между точками А, В, ряд точек Аи, А2, Ап с абсциссами ait аа, ап и построим на полученных отрезках прямоугольники, высотами которых служили бы ординаты соответствующих точек кривой. Очевидно, что сумма площадей этих прямоугольников будет весьма мало отличаться от искомой площади кривой AMNB, и что по мере того, как число точек деления будет увеличиваться, разпость между площадью кривой и суммою площадей прямоугольников будет беспредельно уменьшаться. Так как сумма площадей прямоугольников равпа AM.AAj-J- AjMi. А, A«-f-, или f (а) (а, — а) + f (а,) (а2 — а,) + + f (ап) (Ь — ап), то площадь кривой будет равна пределу этой суммы, ‘ b
т. ф. равпа | f (х) dx. Таким образом, опреде
/
ленный интеграл f (х) dx представляет геометрически площадь, ограниченную кривою у=f (х).
Так как вычисление площадей криволинейных фигур называется квадратурою, то ии вычисление функции по ея производной илн дифференциалу, то есть, интегрирование, получило в анализе то же самое название, так что квадратура и интегрирование функции — два равносильных термина.
Определенный интеграл имеет также простое механическое значение. Пусть точка движется в течение промежутка времени от t=а до t=b, причем скорость движения представляет определенную функцию времени f(t). Разобьем промежуток времени между t=a и t=b па части промежуточными моментами t=ai, t=a2 t=an и предположим, что в течение каждого промежутка движение происходит равномерно, с постоянною скоростью, так что скорость движения меняется не непрерывно, а скачками в конце каждого весьма малого промежутка времени, на которые ыы разбили весь промежуток от t=a до t=b. Так как в равномерном движении пройденный путь измеряется произведением скорости на время движения, то весь путь, пройденный таким образом, выразится суммою f (а) (а, — а) -f f (а,) (а, — а,) + -f f (an) (Ь — an). Этот путь не равен искомому, потому что в заданном движении скорость изменяется непрерывно, тогда как у пас она меняется скачками; но если промежутки времени будут уменьшаться, эти скачки будут все меньше и меньше, и в пределе мы получим истинный пройденный путь. Таким образом, если скорость движепия выражается функцией f(t), то путь, пройденный от момента t=а до t =: b, выразится определен-b
ным интегралом | f (t) dt. Найдем, например, путь,
ъГ
пройденный во время t телом, падающим под действием тяжести, если известно, чго скорость падения выражается формулою в == gt, где g — постоянное. То-
t
гда пройденный путь будет 8=1 gt dt. Неопределенный интеграл
=Т,
j gt at — g j tat= -
I- С. Подставляя пределы интеграции, найдем s == --0=
Хотя при данном виде подъинтегралыиой фупкцип интеграл зависит только от пределов интегрирования, н, при постоянных пределах, сам есть величина постоянная, но, если подъннтегральпая функция, содержит, кроме переменного интеграции, еще другия переменные, т. н. параметры, то интеграл сам будет функцией этих параметров. Так, например, х мы имеем
/
О — рх
Рх dx=—{- С, и отсюда
X
/‘сое—Pxdx=J О
оо_. о Рх dx, хотя
=— Таким образом, интеграл Р
его пределы постоянны, представляет переменную величину, функцию переменного параметра р. Некоторые из функций, выражаемых определенными интегралами, обладают особыми свойствами. Так, есть определенные интегралы, значение которых, при непрерывном пзмепепин параметра, изменяются прерывно,
скачками. Например, интеграл
X
03
sin рх
dx равеп — при р > 0,— ПРИ Р < 0 и нулю при р — 0;
здесь ~ есть отношение окружпостн к диаметру.
Если мы имеем функцию нескольких переменных, то, интегрируя ее последовательно по каждому из переменных, мы получим кратный интеграл; при этом в каждом из последовательных интегрирований все переменные, кроме того, по которому интегрирование производится, рассматриваются, как постояппыя. Если ищется определенный кратный интеграл, то пределы каждого интегрирования могут быть или постоянными или зависеть от всех тех переменных, но которым интегрирование еще не было произведено. Найдем,
(х -f- у -{- z) dzj dv“| dxj’
который обыкновенно изображается в виде + У
(х у -f- z) dz dy dx. Чтобы вычислитьэто выражение, нужно проинтегрировать х -{- у -J- z по z между пределами 0 и х -f- у, затем полученное выражение проинтегрировать но у от 0 до х и, наконец полученный результат проинтегрировать по х от 0 до 1.
г г гт г“
априыер, J | J J (; оторый обыкнеа:и
Первое интегрирование даст xz -{- yz -}- — -f- ср (x, у),
где cp (x, у), произвольная функция от х, у, стоит на месте произвольного постоянного, входящого в неопределенный иптеграл. Это потому, что при интегрировании по z остальные переыенпия х, у рассматриваются как постоянные, и следовательно, всякая функция от х и у представляет по отношению к г постоянную величину. Подставляя в неопределенный интеграл пределы 0 и х -
у, получим 2
Jo(X + T
-f- z) dz =
=×( + у) + У (X + y)+v (X + Y) 2=4 > + у) 5 =
= — х5 -{- Зху-{---у2. Иптегрируя затем полученную фупкцию по у, получим неопределенный иптеграл 3.,3 „, 1
- ср (х), где ср (х) — произвольная функция от х. Подставляя сюда пределы 0 и + У опмъ/ Lx
+ TxS+Y xS=¥
ченное выражение по х 7
теграл -- х С
х 3. Наконец, интегрируя полу, получим неопределенный ин-подстлвляя пределы 0 и 1, будем х + У
(х. —J— у -|— z) dz dy dz =
Иметь окончательно ~ 8
Когда определенный иптеграл пельзя выразить формулою, удобною для вычислении, в приложениях довольствуются приблизительным вычислением интеграла с нужною степенью точности. Применяемые при этом приемы посят название механических квадратур. Простейший из этих приемов есть метод трапеций. Пусть нам нужно вычислить площадь кривой у m f (х) между ординатами х=а, х=Ь (чертёж 0).
U ИА
И:
f (х) dx. Разобьем промежуток АВ=b — а па п
„. b — а ·α
равных частей — п= в точках Aj, А
А п_|, восставим в каждой точке деления ординатыдо пересечения с кривою и соедиппм концы ординат ломаною липией М М М8 N. При приближенном вычислении мы можем заменить площадь, ограниченную кривою AIN, площадью, ограниченною этою ломаною;
последняя представляет сумму площадей трапеций с высотами AAt=At А3==h. Отсюда, пользуясь формулою площади трапеции, получим приближеппое выражение искомого интеграла,
f (х) dx :
:h [т(у«
+ Уи) + у (Уи
У..) -!
J
Или, по упрощении
l’f (х) dx=h [у, + у. + + yn _ t + У”---Ь2Уп ]
где у0, у, суть величины ординат AM, AjMj, т. е. значения f (а), f (а,), f (а«)
Приложения определенных интегралов весьма разнообразны. Так, интегралами пользуются при вычислении длин лппии, поверхностей и объёмов тел, при определении центров тяжести и моментов нперцин, в теории лрнтяжепия и ми. др.
IV. Дифференциальные уравнения. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которые входят переменные, их функции и производные от этих функций. Дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные дифференциальные уравнения, или уравнения с одним независимым переменным, например
dy
dx
водными, или уравнения с несколькими независимыми
: у8-|-2ху-{-Зх8, и уравнения с частными произ-
_ d8z, d2z
переменными, например--
= 0. Порядком
dx8 dy2
дифференциального уравнения называется высший порядок входящих в него производных. Из приведенных выше двух уравнений одпо—первого порядка, а другое—второго.
Функция, удовлетворяющая вместе с своими производными дапному дифференциальному уравнению, называется его интегралом, или решением. Изыскание всех функций, удовлетворяющих дапному уравнению, называется интегрированием данного уравнения.
Ближайшая задача теории интегрирования дифференциальных уравнении состоит в изыскании способов для приведения интегрирования данного уравнения там, где это возможно, к интегрированию другого дифференциального уравнения, более простого. Самое простое. dy
дифференциальное уравнение есть, очевпдпо,-= f (х),
dx
самое общее решение которого у
-Г
f(x) dx -j- С
получается посредством квадратуры. Задача интегрирования других, более сложных, уравнений считается решенною, когда опа также приведена к квадратурам, т. е. к интегрированию известных функций от одного независимого переменного. Самое выполнение квадратур составляет уже задачу собственно интегрального исчисления (смотрите выше).
Общий вид обыкновенного днфферепциальпого уравнения ии-го порядка с одною неизвестною функциейесть f (х, у, у, у“ у(п) )=0, где левая часть представляет данную фупкцию от х, у и производпых от у по х до n-го порядка включительно. Каждое такое уравнение имеет общее решение, или общий интеграл yrzFx, Clt Со Сп), представляющий определенную функцию от х и от и произвольных постоянных,
С4, с2 сп.
Давая в выражении общого интеграла постоянным различные частные значения, получим различные частные иптегралы предложенного уравнения. Например, уравнение у“-{-у=х имеет общий иптеграл y=x-j-C1 sin х -f- C1 cos х,
удовлетворяющий данному уравнению при всех значениях постоянных С4 и С2. Некоторые дифференциальные уравнения имеют, кроме общого интеграла, еще т. п. особия решения, которые не получаются из общого интеграла пи при какнх значениях произвольных постоянных. Напр., уравнение первого порядка у=ху—у2 имеет, кроме общагох2
Интеграла у=Сх — С2, еще особое решение у =-
В случае дифференциальных уравнении первого порядка соотношение между общим интегралом и особым решением имеет весьма простое геометрическое исто ико-вапие. Общий интеграл у=F (х, С) представляет семейство кривых, члены которого соответствуют различным значениям параметра С; особое решение предстапляет огибающую этого семейства, т. е. кривую, касательную ко всем линиям, изображаемым общим интегралом. Так, в предыдущем примере, общий интеграл у==Сх—С2 представляет семейство прямых, соответствующих различным значениям постоянного С, а х 2
особое решение у=—параболу (смотрите высшая матемашина}, касающуюся всех этих прямых (чертёж 7).
Всякое дифференциальное уравнение первого порядка dy
можно всегда привести к виду -= f (х, у), решив
dx
его относительно производной; по, для сохранения симметрии между обоими переменными хну, ему обыкновенно дают вид Mdx-j-Ndy=0, умножая обе части предыдущого уравпепия па Е1 dx и перенося все в первую часть. Здесь М и N суть две .данныя
, тт.. dy х + уфункции от х и у. Например, уравнение-=—
dx х — уможно представить в виде (х-]-у) dx — (х — у) dy=0; здесь M=x-f-y, N=—х-{-у. Уравнение Мdx + Ndy =0 интегрируется непосредственно, когда М и N представляют частные производные по х и у от какой пнбудь
du,т du
функции нот х и у, т. е. когда М =-, N =-
дх ду
В этом случае дифференциальное уравнение обращается ди du _,
в - dx -]--dy=0; левая часть представляетдх дхтеперь полный дифференциал du (смотрите выше), и нотому интеграл уравнений будет | du=C, или н=С. Чтобы
du=C,
Ы и N представляли частные производные от некоторой функции, опп должны удовлетворять определенному условию, т. н. условию интегрируемости; дифференцируя первое
ДМ д2 иуравнение по у, а второе по х, получим-= ---,
д у д х d у
dN d 2а
dx
, откуда следует условие ннтегрнрус-
dx dy ДМ dN xr
мости-=- Можно показать, что если это усло-
dy dx
вие удовлетворено, то функция и находится по данным М и N посредством двух квадратур. Таким образом в этом случае интегрирование уравпепия первого порядка приводится к квадратурам. Напр., в уравнении ydx-{-xdy=0 имеем М=у, N=x, и условие инте-
ДМ dN,
грируемости удовлетворяется, так как-=-= 1.
dy dx
Не трудно видеть, что М=
д (х у)
дх дучто здесь н=ху; следовательно, общий интеграл будетху=С, или у=— —. Простейший случай, когда усло-
X
вие интегрируемости удовлетворяется, — тот, где переменные, как говорят, разделены, т. е. когда М зависит только от х, а N только от у. Действительно, в этом случае.
ДМ
dy
dN
0, и общий ийте-
J Ndy=C.
= С. Например, уравграл будет j М dx -{-
„ х2 у2
нение xdx-!-ydy=0 имеет общий интеграл--1--=С.
2 2
Так как произвольное постоянное мы можем обо-С „
значить, вместо С> через -, то этот общий ннтеграл можпо представить также в более простом виде х2 + у 2=С.
В тех случаях, когда М и N не удовлетворяют условию интегрируемости, для каждого уравнения первого порядка существуют мнолштели, обращающие М и N в частные производные от некоторой функции и приводящие таким образом интегрирование уравнения к предыдущему случаю. Такой множитель называется интегрирующим множителем, или просто множителем данного уравнения. Например, уравнение ху—у=2х3,
Или (у-{-2х3) dx — xdy=0 имеет мполситель—
х2
Действительно, до умножении на этого мнолсптеля урав-xdy — у dx
пение принимает вид
- — 2 х dx=0. Первое слагаемое представляет полный дифференциал от _Z_ } а второе от — х2 (смотрите выше). Следовательпо,
У
левая часть уравнения обращается в d | общий интеграл предлоясенного уравнения получаетсяв виде -
-х2=С, или у=Сх-{-х3.
Простейшия уравнения первого порядка, интегрирование которых приводится к квадратурам, суть уравнения однородные, уравнения линейные и уравнения Клеро (Clairaut). Уравнения однородные суть уравнения,
приводимия к виду=f ( ), где f ( —=— )—
dx х J х )
даппая функция от частнаго
; подстановкою у =
= и х, где и — новая неизвестная Функция, уравнение приводится к виду, в котором переменные разделяются. Например, уравнение (х-|-у) dx— (х— у) dy=0 (см.
1. - У
-и, след., есть
dy
выше) приводится к виду ——=-dx чуравнение однородное. Полагая у=их, преобразуем
du, 1 4-и dx
это уравнение в х- -j- и=-!-, или -=
dx 1 — и х
_ (1—u) du
Здесь переменные разделены, и мы имеем d х
1+U
Интеграл уравнения в виде (1 —u) du
+ С =
/
1 + U2
, или log х -f“ С=arctg и —
1 у
— log (1 -и и2). Заменяя здесь и его выражением ——,
2 х получим интеграл предложенного уравнению в виде
У
arc tg
— log
l/l+ —
Т X2
log х=С.
Линейным уравнением называется уравнение вида dy
--Py=Q, где Р и Q — даппия функции от х.
Его общий интеграл есть -JPdx/-
с +
Sр
Q dx
Напр., в уравнении ху’— у=2х3 (смотрите выше) имеем Р =—, Q=2х2, и отсюда общий интеграл
Яг( и /; )
у =- е С -|- J е 2 х2 dх /
Так как одно нзь значений определенного интеграла
Г-
Г dx. J х
I -есть log х, тое
J х
(C-f С 2х da
log X
гх, и потому
Имеем у =
!х dx) или у — Сх -|- хЗ. Уравнение Клврд имеет вид у—ху -j-f (у); его общий интеграл есть yrr:Cx-|-f (С). Таково, например, уравнение, у—ху— у2 (смотрите выше) с общим интегралом У —Сх — С2.