> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Изобретение И

Изобретение И

Изобретение И. б.-м., как особого метода, принадлежит Ньютону и Лейбницу, пришедших одновременно к основной идее этого исчисления. Лейбниц изложил основания дифференциального исчисления в ыемуаре, напечатанном в 1681 г. в лейпцигских „Acta Eru-ditorum“, под заглавием: „Nova methodus pro maximis et minimis itemquo tangentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singularo pro illis calculi genus“. В другом мемуаре, напечатанном там же в 1686 г. —„Do geometria recondita et anali-si indivisibilium atque mfinitorum- Лейбниц наложил основания интегрального исчисления.—Ньютон дал основные идеи своего „метода флюксий“ в 1GS6 г. взнаменитой книге „Philosophiae naturalis principia mathematical но самия обозначения метода флюксий появились в печати только в 1693 г. в письме Ныотопа, напечатанном в собрании сочнпспий Wullis’a. Однако несомненно, что Лейбниц и Ньютон пришли к новым методам значительно ранее—Лейбниц около 1675 г., Ньютон около 1671 г. Впоследствии между Ньютоном и Лейбницем возник спор о первепстве в изобретении нового исчисления. Этот спор принял очень острый характер, так как сторонники Ньютона обвиняли Лейбница в том, что он заимствовал основную идей метода из пеобиародоваиных писем Ньютона. В настоящее время этот спор потерял большую часть своего значения; изобретение И. б.-м. уже было в то время в значительной стенепи подготовлено трудами предшествовавших ученых, и хотя Лейбниц и мог из переписки с Ньютоком узнать об некоторых его открытиях, по метод Лейбница настолько отличен от метода Ньютона, что и Ныотоп и Лейбниц должны в равной степени считаться основателями И. б.-м.

Метод Лейбница, осповаппый на применении безконечно-малых величин—дифференциалов, быстро распространился среди ученых коптнпентальпых странь Европы, хотя в то же время прппцши метода, вызывал ц возражения, как недостаточно строгий. К ближайшим но времени учепым, содействовавшим дальнейшему развитью высшого анализа, принадлежат братья Бернулли (сли.), Лоннталь, составивший первый систематический трактат по анализу безконечно-малых (1696), Даламбер (1717 — 1783). Эйлер (1707—1783) объединил исследования по высшему анализу в трех трактатах: „Introductio in Analysin Infinitorum“ (17-18), „Institutiones Calculi Differentialis“ (1755) u „Institutiones Calculi Integralisu (1768—1770).

В Апглии метод ИИыотопа разрабатывали далее Котес (1682— 1716) Тэлор (1685 — 1731), Маклорен (1698—1746). Последний в своем „Treatise on Elusions успешно отразил возражения философа Беркли против основных принципов нового метода. Обозначения Ныотопа исключительно употреблялись английскими математиками до 1820 г., когда изучение дифференциального исчисления было введено в английские университеты; с этого времени и в английской школе стали также пользоваться, как и па континенте, символами Лейбница.

Дальнейшему развитью и более строгому обоснованию высшого апалнза содействовали, далее, Лагранж (1736— 1813), стремившийся дать этому отделу математики чисто алгебраическое основание, и Коши (1789—1857), положивший в основание И. б.-м. метод пределов. Изследования Рнмапа (1826—1866) открывают собою критический период математики, одною из задач которого является точпое установление тех условий, при которых справедливы предложения высшого анализа.

К понятью безконечно-малой величины можно прийти следующим путем. Если мы имеем две однородных величины, рассматриваемия абсолютно, т. е. независимо от их зпака, например, два промежутка времени или два прямолинейных отрезка, то такие величины обладают тем свойством, что повторив меньшую величину достаточное число раз, мы всегда можем получить величину большую всякой другой с ней однородной. Так, имея сколь угодно малый отрезок и отложив его достаточное число раз, мы можем получить отрезок, больший всякого другого заданного отрезка. Эго свойство, принадлежащее всем величинам, обыкновенно рассматриваемым в математике, носит название аксиомы Архимеда. Для величин, допускающих неограниченное деление на равные части, эта аксиома может быть, очевидно, выражена иначе: каждая величина может быть разделена на такие равные части, что каждая из пнх будетменьше любой другой величины, с ней однородной; так, каждый данный отрезок ыожпо разделить на равпия части, меньшия другого данного отрезка. Аксиоме Архимеда подчиняются и все действительные (вещественные) числа, целыя, дробные и иррациональные, кроме нуля. По рядом с величинами, подчиняющимися аксиоме Архимеда, в математике рассматриваются величины, еии не подчиняющияся. Если мы имеем две таких величины а и а, что сколько бы раз мы пи брали or, мы никогда не получим величины, большей, чем а, и обратно, на сколько бы равных частей мы ни делили «, мы никогда не получим величины, меньшей, чем а,—то величина о называется по отношению ке а безконечно-малою, а величина а по отношению к а—безконечно-большою. Основные величины, рассматриваемия обыкновенно в математике, относительно которых определяется характер безконечномалых и безконечно-больших величин, как промежутки времепи, отрезки, обыкновенные числа, называются величинами конечными. Величины а, обладающия высказаниым выше свойством, называются также собственно (или актуально) безконечно-малыми, в отличие от несобственно безконечно-малых, о которых будет сказано далее.