> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Или

Или

Или, в обозначении Лейбница,

‘fW=fH4-f(i)=igfW+~i(xH- h3 d3

+ TJJ Ш fW+- №

Так как= -|-

(смотрите исчисление безк.-малых), где е — неперово число, то из формулы (3) видно, что операция А связана с d d2

операциями—, символическою формулою

А=е — 1.

Выведем теперь весьма важпую формулу, связывающую значение фупкции f(x -ф- nh) с значением f (х) и разностями A f(x), A2 f(х), до n-го порядка включит. Из определения разности имеем f(x-j-h)== f (х) -f- A f (х); заменяя здесь х через х -f h, получим f (х -ф- 2b)=f (X -ф- h) -ф- А f (х -ф- Ь). Вставляя сюда вместо f (х -ф- h) и A f (х -[- h) их зпачения, выведенные из предыдущей формулы, мы будем иметь f(x + 2h)=f(x) -ф- 2 Af(x) -ф- A2 f(x). Если в этой формуле мы заменим х через х-ф-h, то подобно предыдущему получим

f (х + 3 li)=f (х) -ф- 3 А f (х) -1- 3 A2 f (х) -f A3 f (х), и, вообще,

f (х -ф- nli)=f (x) -f С A f (x) -f C A2 f (x) + n n

+ С3 да f (x)+4-C“ Anf w, (6)

n n

где бипомиальпые коэффициенты С, С, имеют знап п

2 и (п — 1) „з и (п — 1) (п —2)

чешя =n, С —, С =-

(7)

1.2 ’ ~п~ 1.2.3

СР_П (п — 1).,. (n — p-f 1)

п 1.2 р. ’ ’

II. Перейдем теперь к изучепию суммирования. Задача суммирования заключается в следующем: Определить функцию F (х), разность которой A F (х)== F (х -ф- 1ь) — F (х) равна данной функции f(x)

A F (х)=F (х + h) — F (х) =f (х). (8)

Если известна одпа такая функция, то мы получим все остальные, прибавляя к пей произвольное постоянное или произвольную периодическую функцию от х с периодом h; в самом деле, функции F (х) и Ft (х)=F (х) -ф- С имеют одну и ту же разность F (x-{-h)— 2— F (х). Зная функцию F (х), мы можем удобно вычислить сумму ряда

f (а) + f (а + h) + f (a + 2h) + + f [а + (n - 1) h)=a-f-nh

- У f(4

В самом деле, полагая в равенстве (8) последова,-тсльно х — а, a-j- li, а -|- 2h, а -}-(п— 1)1и, получим F(a-f-h) — F(a)=f(a),

F (а + 21и) — F (а + h)=f (а + h),

F (а -f 3h) — F (а -j- 2h)=f (a-|-21i),

(5)

F (a 4- nh) — F [a + (n — 1) h]=f [a + (n — 1) Ь]. Складывая эти равенства, будем иметь осповпую формулу суммирования

F (а + Dh) - F (а)=f (а) + f (а + Ь) + +

a-[-nh

+ f[»+ (n — 1) h]=У f(x). (9)

JmJ

Отсюда и самая операция отыскания F(х) по данной функции f(x) называется суммированием и обозначается символом 2, так что F (х)=2f (х). Из самого определения символов 1 и Д следует, что

2Д f(x) =г Д2 f (х)=f (х),

2[f (х) + т () ]=2f ()+2 ¥ (х),

2 А f (х)=А 2 f (х), где А — постоянное.

а-фпЬ.

2 f (х) называется неопределенною суммою, а (х) —

— определенною суммою от фупкции Г (х).

(Ю)

Определение функции F (х) возможпо только в очепь ограниченных случаях. Приведем здесь несколько простейших примеров. Мы имели

Д x(m/h)=ш h.×(m-1/h), Да х=ах (аь -1),

Д sin У=2 sin у Sin (у ;

заменяя в первом из этих равенств ш через in +- 1 и взяв в третьем равенстве вместо переменного у переменное х=у-{- —мы получим

(Ш/b)

sin×— + Asin(x-

2 sin —

Отсюда будем иметь

V (го/h) Г (m+./n)_x(m+1A)

w — (m + l)h2Ax — (т-И-1) ь + 0’ (П)

Vх 1 V А х а, „ в

— а ——г——г--г С, (12)

— 1

ah — 1

2 sin х=——— 2 А sin (X — -1 ‘Л =

2sinA В 2

1. / h + к. „

= —ТВШ(Х--2 ) + ° <13>

2sinT

где С — произвольное постоянное.

Так как всякая целая положительная степень х разлагается по факториалам (формула 2), то формула (11) решает вопрос о суммировании всякого многочлена. Применим формулу (9) к суммированию рядов

N-f 1

s,=1 + 2 + 3 + + N= х>

N-j- 1

S.=l«-f2» + 3» + + H»= x2,

N-f 1

S3i=14-23 + 32 + + N;i =

В силу равенств (3) мы имеем N+l N+l N+l N+l N+l

s‘=2x=2(,)’ =2=2n+2A

Ии иии

N + l N + l N + l N + l

= 2 - 2 2 “+ 2

ii ii

Но формула (11), где li=1, дает N4-1 N + l

поэтому мы будем иметь

(N+l) N

„ (N+l) N (N—1), (N+l) N

b= —5--1--5—

(2N+1) (N+1)N

O _ (N+l) N (N-l) (N-2), „ (N+l) N (N—1) Ьз —:--Г 3 5--

(N+D

N _ |N (N+l) j 2

то есть S3=S2. Выведем теперь формулу суммирования по мастям. Мы имели (формула 1) Д(пхвх)=вх Д ах + их _и_ ЬД тх. отсюда получаем в хДих== А (ихвх) - пх + 1,Д тх, и

2вхДих= Ед (ахтх) - Еих+ьДвх; (14) это несть искомая формула. Так как А А (ихвх) — — ихвх + С, то формула (14) сводит операцию ЕвхДихк операции Sux+hАвх> которая можегь быть значительно проще. Просуммируем, например, функцию хах. Положим для простоты li=1; тогда Vх 1 в и х

Zj хα=----- Zx. /ла, и задача приводится к вычиа — 1

слепию Дах.

Мы видим, что в рассматриваемом случае в х= х,

Их=ах, их_»_и= ахт1, А вх=3, и формула (14)дает

В х хвх-5-1 х х я.х~г!

лихидα=х а —Zj ах V х х ахтА

х а — aij α=ха--;

а—1

в х хах ах + 1

поэтому А ха ‘=— — — + С. Применима—1 (а—1)2

лученный результат к вычислению суммы 2хаХ; мыбудем иметь но формуле (9)

N_1 ГГС и N

l.a + 2.a+3.aa + + (N-l)a 1 а

aN-H

НЙ-+ВИ

TNaN __ La—1

(а -ИЯ.

Если а < 1, то при неограниченном возрастании числа N количества Na- и стремятся к пулю,

И в прбделе мы получим сумму безконечного ряда

1.а + 2.а“ +3.

З.а3+ =— Г—1 ~

La-1 (а—1)2J

(а 1)а

(а < 1).

“Nе х(4) _ (N+l) N х(2) _

(N+l) N (N—1) еР

В частности, положим α= е ~ (р+|/—1 <р) гд.|.

р>0. Тогда, так как е га ( V~~1

= О - ™Р [°°3 - Y=r sin п“е]. то из предыдущейформулы мы пойдем сумму ряда

— (cos ср — У—1 sin <р) + (cos 2 о — j/=Tsin 2 9) +

-(9 + В—1 е)

N+1

У Z(8)-(N+1)N(N-1) (У-2).

Iе

-4—f— (cos3 9 — У—1 sin3 9 +=—

’ [в-СР-Н|/=Г<р)-и]

Сравпииая между собою действительные и мнимия части в обеих частях предыдущого равенства, мы будем иметь после различных упрощений

cos hyp р cos 9—1 2 Г cos hyp р—cos ср I

cos 9 2 cos 2 eg 3 cos 3 i

eP e2P c3P

sin tp, 2 sin 2cе, ЗаипЗо, sin hyp p sineе

e2е ““ ‘Г“_

где cos hyp p =

зр

eP-f- e P

2 jcos hypp—coscpj

P —e~P

sin hyp p —

Определенная сумма и определенный интеграл связаны важною формулою, известною под именем формулу“ Эйлера или Макларена. Мы имели из формулы Тэлора (формула 4)

Д ф <х)=h ф» (х) + Ф“(Х) + ф“Ч) + +

-J- JL фО (х) -ф.; заменяя здесь ф(х) через ф (х), ф“(х),

нулю, а коэффициенты с четными указателями А2, А“, А6, понеременно положительны и отрицательны.ИИоэто-к + 1 вк (2к)1

представить уравнения (16) в видему, полагая А,=(— 1) 2 к 4 7

, мы можем

1_ J__B,

,2 ’31 21 ’

з 2 _ 2- Mi

25! с! 2! ‘

5 1 1 В,

Во

41 ’

1 Во

В3

2 71 5! 2! 3 ! 41 ’

2 9! 712! 51 4! + 3! 6!

В<

81 ’

(18)

(п — ч

, ф (х), и получим

Д ф(х)=ь ф<(х) + Ф“(х)+5з Ф“()++ -Jj-Ф W+-

2, П 1 /

Д ф(х)= НФ“ (X) ~ Ф“(Х) +; + (.TZTjyi W + -

, П- а (п)

Числа В|, Во, В3, называются числами Бернулли.

Первия десять из этих чисел имеют следующия значения: Bj =

¥ ’ Вα= 30 ’ Вз=42 ’ В‘ ~

Д ф“(х) =

hi“(x) +

(п— а)!

h ф(п)(х)+,

_ 1 в _А в _ 601

- 30 ’ “66 ’ - 27Й) ’ Ви-

7 _.3617 „ 43867

— ¥ ’ В“ ~ ~5И0 ’ Bs — ~~Т38 ’

„ 174611 _. т,

в10= ззо “ Все числа Вер-

Умножая эти формулы последовательно на 1, A, h, А2 h2,

п — 1,

А h, и. складывая между собою по“ П - 1

лученные результаты, мы будем иметь

Д ф (х) + А, h Дф(х) + А2 h Дф“(х) + +

+ А h“ Д ф(п — г) (х) + =Ь ф(х), (15)

п - 1

если числа А., Ао, А, выбраны таким об-“ п— 1

разом, чтобы опи удовлетворяли уравнениям 1

1.2”

1 L А| J- А

+ Г“о + А2

1.2.3

Аи=0,

А|

1.2

L + 1

1.2.3.4 1 1.2.3 1 1.2 1, А. и -А-:

= 0,

л + л3=о,

I А2 и -3 _ип ! (n— 1)! (п— 2) I (п— з) ! ‘

(16)

Заметим, что для краткости мы опустили остаточные члены в формулах для Аф(х), Дф(х), а потому и формула (15) получилась без остаточного члена; его выражение моясно пайти в специальных сочинениях, указанных в конце статьи. Положим тп ш — 1

нулли положительны и неограниченно возрастают с возрастанием их указателя. Эти числа можно такисе определить, как коэффициентыразложения функции х но степеням х при помощи формулых - 1, В, В2

= 1- j х + пХ ШИ+ - (19)

е —1

В самом деле, отсюда имеем

«0-т“+Й-~) (—0 =

разлагая ех но степеням, выполняя умножения и сравнивая между собою коэффициенты при одинаковых степенях х, мы придем к уже на идейным уравнениям, определяющим числа Бернулли. Эти числа можно еще определить символическою формулою Вп=1C.

р =|Cspj, где

С+ 1) — сесли условимся заменять С через, т. е. заменятьпоказатель указателем. Функции и числа Берпуллп часто встречаются в математике, и нм посвящено много работ; из русских математиков их теорией занимались Имшенецкий, Сонин, Воропой. Мы приведем здесь без доказательства еще следующия формулы

1__В | ло В, 0 В3

х 2!

ср (z, ш) =

Ш !

(ш- 1)!

И +

4- А.

(ш— 2)! + -“ + Аш— 1 2 ;

(17)

функция e(z, тв) называется функцией Бернулли, причем Аь А», определяются уравнениями (16). Очевидно, что ср(0, ш)=0, ср(1, ш) =. 0, и уравнения (16) можно представить в сокращенном обозначении 9(1, 2)=0, 9(1, 3)=0, 9(1, н)=0. Не трудноубедиться, что А4 =—, что все остальные коэффициенты с нечетными указателями А3, А5, А7, равны

СО

2! XT 1

Ви “ 2 Щ~ Z ’

к=1

СО

о 4! 1

e2wi2ik->-

к-и

ОС

Bi=2w2f‘

к~1

Вернемся тснерь к формуле (1-5); заменяя в ней Aj через— и вводя вместо А«, А3> числа Бернулли, мы можем представить эту формулу в виде

1. ф (х)=Дф (х)--и- b Д ф (х) Д Ф“(х) -

- >Дф“ (х) + + (-1)Р+1и Ь2рДф(2(х) +

Положим ф (х)=/ f(x)dx; тогда Аф (х) =

Jxo

Гх+h Гх Гх+ 1и

= f (х) dx — f(x)dx=

«V Х|) J Х0 JX

f (х) dx,

И предыдущая формула принимает вид

f(x)

11 Jx

ЬзД Р“() + +

= w - уд f W + I1 ь Ди (X) -

-(-О

(2р)!

Ч-Ч +

полагая в этой формуле последовательно х=а, a-f-li, а-{-2h, » b — 2h, b — h и суммируя полученные результаты, мы и придем к формуле Эйлера или Маклорепа b

2f w=т J/« d‘- т [f (b)-f (а) ] +

(-1Г

!-!_P 2Р-1Г (2p-

(2р)! I

(21)

Этою формулою можно пользоваться и для вычисления суммы и для вычисления интеграла. Применим еесначала к вычислению, например, интеграла

Г1 а“..

J, н-х~

= log2. Эдесь мы имеем α= 0, b=l, f (х) =

положим h= Тогда

f(l)-f (0)=Г (1) — Г (0) =

““2

—1. I 1=1 —1,

(Иф-х)з А

-6 I 1 _ 6 _ 6

(1-J-x)4 |0 И6’

V JL _ 1 _1_ 12. 12. .12

Zj 14-х ~ +11 1 12 + “ 1 19’

-j- log х; здесь f(x)=logx,h=l; далее.

logx dx =

= z log z — z -f-1, f(x)=— и формула (20) дает

log z -f-

; 2losx=

= Iogz+ z log z — z + 1— -I log :

;[

Обозначая постоянное, входящее в эту формулу, через log С, т. е. положив

log С=1—2 — —3 -f-,

Ь 1.2 1 3.4 5.6 ‘

мы будем иметь

log (1, 2. 3 z)=log С + ( z + y) loS 2 — 2 +

B, 1

D. 1

BjJl 5.6 z‘

Или,переходя от логарифма к числу,

1.2 Z 3.4 Z3 + 5 к -5 ’

1.2.3 Z :

Cz Z + Te-

где в(Ил=JiA-Jsi + Jii-

4 z ) 1.2 Z 3.4 z3 ‘ 5.6 2е

(22)

п мы получаем
Г‘ dx		1,1,1,
J. =1ое2=		10 1 11+ И2
1 (, ИА,		fi (и
1200 4 )~г		7200000 4

1 1 и

19 20

но чтобы судить о точности полученного результата, всегда приходится обращаться к остаточному члену. Применим теперь формулу Эйлера к- нахождению суммы, именно, выведем ииз нея формулу Стирлита, служащую для приближенного вычисления произведения 1. 2.3.4 (z — 1). z. Взяв логарифм от втого произведения, будем иметь выражепие l.g (1. 2.3 z) — log z-j-

Это— формула Стирлинга. Ряд — расходящийся; сначала его члепы убывают, а, после наименьшого члена, дальнейшие члены начинают неограниченно возрастать. Если в формуле (21) мы вычислим сумму членов этого ряда до его наименьшого члена и отбросим все остальные, то мы будем иметь тем более точное значение произведения 1.2.3 z, чем больше число z. Постоянное С в формуле Стирлинга равно

V 2- Это можно доказать, воспользовавшись формулою Валлиса

71 _ и Г 2.2.4.4.6.6. 2 и. 2 и ‘I 2 — ИШ |_ 1.3.3.5.5.7(2и—1).(2п+1) J ц=со которую можно преобразовать следующим образом

4=Иш Г 24П (1.2,3 n) —fl

2 |_ (1.2.3 2o)«2n п=00

Вставляя сюда из формулы Стирлинга значения произведений 1.2п, 1.2.,.2п и переходя к пределу, мы иполучим С=V 2к.

Во многих вопросах И. к. р. удобно пользоваться производящими функциями, введенными Лапласом (Тииё-orie des Probabilitds). Пусть будет ux=f (х) функция от х; дадим х все целия значения от — ОС до -| ОО и составим ряд

Ф (t)= + и_, t— 1 -f-Uo + Ui t + -f пх_, t~ 1 I-+ nxt+ux+,t е++ (23)

Функция ф (t) называется производящей функцией для функции ux (их есть коэффициент при tx) и обозначается символом ф (t)=Gux. Зная Gux, ие трудно найти GAux. В самом деле, разделив обе части равенства (23) на t, мы найдем, что коэффициентом при tx в t— 1 ф (t) будет служить уже их и.следо-вательпо,

t 1 ф(1)грфи x_j_t, и отсюда Gux_i_1 —Gux =

= GAux=t 1 ф (t) — ф (t)= — 1ф(и). Повторяяту же операцию любое число раз, получим

GA“ %=(-И- — l) и ф (t) и Gux_j_n=t - и ф (t).

Укажем на частном примере применение производящих функции. Мы получили Gux_j_n=t~n ф (t); но

t--ф(t) =[и : (|- и)]“ф(Ч=[и + (4 -и)] V

Разлагая Ит-оТ по формуле бинома, получимвПх+п=ф(4) -| -п(1 - 1) ф (t) + G-OW

ИЛИ

Gux+n=Gux + n G4nx + GA2„x + ;

отсюда иаходим уже известную формулу (6)

„ и и и п(п —1) оп.ч-+ч=их + пА“хН--- А““х+--

dnax Г

Можно также искать G--, G u..dx, и так далее

dxn J

Ш. Перейдем теперь к уравнениям в копечных разностях. Уравнением в конечных разностях two порядим называется всякое уравнение вида

Ф(х, нх, Дих, Д2 их, Дпих) =0. (24)

Так как Дих=ux_j_t — их (для простоты мы положили h=1) и Дих=Д ~~ 1 их j_ t — Дс — 1 их,. то уравнение (24) можно представить также в виде

ф(х-, пх, их „	» + и)=0.	(25)
Это уравпепие равносильно	безчисленному множеству
уравпепии
Ф (-2, u_„,n_1, 1и(и,	И_а _и „)=0,
ф (—1, и_и, «0. “1 Ф( 0, U0. «1, “!> .	С _\| в= + II II о о	12G)
Ф ( 1, u„ Uj, 113,	о II + а 3
Ф( 2, п2, u3, и4,	ап +, )=0, J
Отсюда видно, что давая,	например, количествам

п0, и1э и£, un_4 произвольные постоянные значения!

мы, вообще, можем определить из системы (26) все

un»un+i un-|-2’ и все и _ 4, u_ 2,u_Такимобразом, уравнение (26) имеет безчисленное множество решений, каждое из которых определяется и проневольными постоянными п0, п4,un_и. Ртигшь илапроинтегрировать разностное уравнение (25) это значит определить из него их, как фупкцию только от х и от и произвольных постоянных. Мы здесь рассмотрим только самые простые случаи. Начнем с уравнения первого порядка

П.ч + 1=Axnx+Bx, С27)

где Ах и Вх — данные функции от х. Положим их — вх лвх» тогда уравнение (27) примет вид в х_|_ t wx_j_ t=Ах в х лвх -f- Вх, или так как vxj_ t== VJ + Лух, ТО мы получим

(ВХ+ 1 — Axwx) т + I Атх=Вх

Мы определим w и в, полагая

X×

w, — А w =0, w Д в=В

ХТ 1 XX х-{- 1×X

Из первого -условия последовательно выводим

w х 1 ЛВ. |

“~—=Ах»,0£ —“—=log А. Д log лв =

— log А, log wx=log A + log C|, или лв

log A

= Ct e 1 Ho

7 loSA, _ .loS Ai + log A.+ +Iog Ax _ e 1 x — e

= el0S ol0S A’ el0g A— =AlA|Ax_t ;

поэтому w =C,A1A2Ax—Jiiw.-J, =C.A,AA A

X .4,1- x— i X

Определив вх_|_4 > МЬИ из второго условия подучимх Ct At А

суммируя, будем иметь в =

_1_ в х

С1 А„

+ С2.

Таким образом окончательно, полагая С=C1 С2, найдем интеграл уравнения (27)

н=А. А, А / О 4- 2. Вх. (28)

/ 0+2__У

X — и I г AjAo А )

Разсмотрим, например, уравпепие и. =— и + х,

х+1 а хгде а — постоянное. Здесь Aj А« А

А А

2 хаХ; последнюю сумму мы ужеумеем вычислять (по формуле 14), и, включая постоянные члены, получившиеся после суммирования, в произвольное постоянное С, мы будем иметь

n 1 Г„, -Х+1 1

=-ГГИ [° + 1ГГТ - 1И)Г J- “лп

С а х а3

11 х ~ х— и + а—1 (а—I)3

Особенно примечательны липейные уравпепия с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида

ux+n+ai ux + n_, + а“ пх + п_2 +-

+ ап=0, (29)

где а1, а2, а — постоянные. Мы решим это урав-п

неше, полагая=г; тогда уравнение (29) обра-

X + n.×-J- П — 1. ;×„

щается в г 4-af г + + а г =0, и,

ппосле сокращении на гХ, мы получим алгебраическое уравнение п-ои степениг° + а4 гП + + а __ г + а=0. (30)

Пусть будут rlf rJf, г корпи этого уравнения; птогда общий интеграл уравнения (29) будет

(31)

где С4, С2,С — произвольные постоянные,

Разсмотрим, например, уравпепие

И, _ — 9 и + 20 и =0; х + 2 х—и 1 хп=С4 г4 + С.го + + С г,× и пздесь уравнение по г будет г5—9г -f- 20=0, и rj== 5, гα= 4; следовательно,=C1 5х -f С2 4Х. Еслп быв правой части уравнепия (29) стояла какая-ппбудь функция f(x), то общий интеграл был бы равен какому-нпбудь частпому интегралу уравнения, сложенному с выражением (31). Наирнмер, проинтегрируем уравнение

X-f 2

9 и -f 20 и=х.

x-f и х

Будем искать частный интеграл видай=Ax-fB; тогда ux_j_ 4=А(х + 1)+В, и о_=А (х + 2)+ В.

Вставим эти зпачепия в рассматриваемое уравнение; ыы полвчнм (12 А — 1) х -f-12 В — 7 А=0, и мы удовлетворим рассматриваемому уравнению, взяв 12 А—1=0 1 7

И 12 В — 7 А=0, откуда А=- В= Следо-

12 144

вательно, общий интеграл данного уравнепия будет ux=-J2—1---f С4 5х -f Со 4х. Можно также рассматривать системы совместных уравнений. Поясним это па следующем примере

И -fa в =0, в -f аи =0 (а — постояп.).

x-f 1 1× X-f 1 1 х 4 7

Положим п=Мг, т-Кг; тогда наши уравие и!

дадут Mr -f Na=0, Ма -f Nr=0. Исключая отсюда М и N, будем иметьг а а г

= г2 — а2=0;

гледовательпо, rj=a, г2.=— а. Вставляя зпачепия г в уравнение Mr-fNa=0, мы получим или Nt=—М4, или Njs-fM», и общия решепия предложенной системы будут

И=М1 аХ -f Мо(—а)Х, в— — -f M« (—а)Х.

Можно рассматривать также уравнепия дифферепциально разностные, как, например, уравнение

x-f 1

-=0.

Попытаемся удовлетворить этому уравнению, положив пх=е m х; мы получим emx(era-lf щ)=0; следовательпо, мы можем представить интеграл рассматриваемого уравнения в виде u4=C1 em«x-f -f С2 е m2x _j_ где С1э Со — произвольные постоянные, и mlt ни2, — корпи уравнения em — 1-f ип=:0.

Такие смешаппия уравнения встречаются, например, в анализе при разложении в ряды, в мехапике в теории движения сочлененных систем и так далее Разностными уравнениями пользуются во многих вопросах математики и особенпо в ея приложениях, по теория их разработана значительно менее теории дифференциальных уравнений.

IV. Задача интерполирования, пе в самом ея общем виде, состоит в следующем: Даны значении f(xo)i f (х&)>» f(xn) анплитически пеизвпетпой функции f(x), соответствующия значениям х0, xlt, хп аргумента; опредиьлг“ть значение f (а), соответствующее значению х=а аргумента, заключающемуся между крайними значениями х0 и х и (ar0 < а <«п). Как мы увидим из всего дальнейшого, решепие этой задачи содержит много произвола.

1) Мы можем применить метод графич. интерполирования. Для этого на плоскости прямоугольных осей координат отметим точки [у0=f (х0), х0], fy1.=f(x1),xiJ,;

соединив между собою от руки или при помощи лекал эти точки (х0, у0), (Х|, Уи), непрерывною кривою, мы непосредственно на чертеже можем измерить ординату ya=f (а), соответствующую абсциссе х=а. Этот способ—самый удобный, когда не требуется большой точности (смотрите чертёж 1).

2) Метод параболич. интерполирования. Подыскиваем мпогочлеп вида f (x)=a0-fat x-fa2 x2-f-fa nxn, коэффициенты и степень которого определятся из данных условий задачи. Если разностихи-х0, х.—xlt различны, то можно воспользоваться формулою Лагранжа, которая дает для неизвестной функции f (х) приближенное выражение F (х)

(х — и) (х — х2) (х — л)

F W=fW г,—Л +

(Хо-Х,) (Х„ — х2) (Х„ — Хп)

, _ ч (Х-Х0)(Х-Х2) (х-хп.,) _

+ 1 7——т 7—=4-I----- -Г —

(»)

(Хи—х„) (X, — X.) (х, —хп) (X —Х0) (х —Xj) (X—хп)

_____________________. (32)

(ХП Хо)(Х11 Хи)-(ХП ХП - 1 )

В самом деле, например, при x=Xj все дроби в формуле (32) обратятся в пуль, кроме второй, которая обратится в единицу, и мы получим F(xt)r- Г (xj); точно так же, при х=хп, мы будем иметь F (Xq)== f (х0), при х=х2 получим F (хо) == f (х2) и так далее Давая переменному х значение а, мы получим F (а), которое и будем ечнтаиь приближенным значением количества f (а). Найдем, например, значение функции, соответствующее зпачепию х=3, еслп извесино, что значениям х=2, 4, 5 соответствуют значения функции 6, 8, 3. В этом случае х0=2, х,=4, х«=5, f(x<,)=6, f (xt)=8, f (x2)=3, a=3, и мы имеем по формуле (32) 2) (х —5), 0(х —2)(х—4)

р г-л —(х — 4) (х 5) (х__

( 5 (2-4)(2-5)+8(4-2)(4

-5)+3(5-2)(5-4)’

ИЛИ, после упрощений,

Р (х)=(х — 4) (х — 5) —4 (х —2) (х — 5) + (х — 2) (х —4). Вставляя сюда значение х=α= 3, получим приближенное значение для f( и) _z F(3)=9. Выполняя умножения в F(x), будем иметь F(x)=—2х2 -f 13х — 12. Если же все разпости х1-х0=ха-х1==х —х =

п и — J

между собою равны, то можпо воспользоваться также формулою Ньютона. Для этого обратимся к формуле (6). Положим в пей х=а, a-f nh=х; тогда мыбудем иметь п=-

Р =

х—а—ph

И биномиальный коэффициент С Р примет вид С Р=п п

- n(n~1) — (n—p-fl)_(x—.а)(х-а—h)[x—а—(р— l)h]

1,2”,Р 1. 2 р.hP

Вставляя эти зпачепия в формулу (6), мы и получим формулу Пыотона

f()=f(a)+ Дг«+(—+ +-а| (,~‘Гз.)ь,(,~а~-) Дад++

(3+)

(»-а)(х-а-Ь)[х-а-(п-1)1и]дп (33)

1.2n.h

При вычислениях тио этой формуле обыкповеппо составляют такую таблицу (ограничиваемся п=4)

f(a)

Af(a)

f(a + h), A”-f+)

Af(a+h). ДВД

f(a + 2h) A’f(a+b) ДВ(а)

Af(a+2h), Asf(a+h)

f(a -I- 310, Дт(а+2Ии)

Af(a+3h)

f(a + 4h)

Пример. Даны: log 3,14=0,49693; log 3,15=0,4983; log 3,16=0,49969; log 3,17=0.50106. Найти приближенное значение log к=log 3,14159. В пашем случае х=3,14159; α= 3,14; х — а=0,00159; 1и г0,01. Составляем таблицу (34)

г Af Af А:,и

0,49693

-j-0,00138

0,49831 +0,00000

-{-0,00138 —0,00001

0,49969 ‘ —0,00001

+0,00137

0,50106

Поэтому

log 0,49693+0’°°Д-0,00138+

+ -

4.0,00000-

0,01

0,00159(0,00159—0,01)

1.2.(0,01)·

0,00159 (0,00159 -0,01) (0,00159-0,02) 0 Q00001 1.2.3.(0,01)3

Или, удерживая только первый и второй член,

log =0,49693 -f 0,159. 0,00138=0,49715.

Для благонадежности результата 1и должно быть взято возможно меньше. Разсмотрим еще пример. Из русских таблиц смертности Борткевича имеем, что из родившихся 100000 мужчин в возрасте 20 лет умирает 344, в возрасте 25 умирает 383, в возрасте 30 — также 383, в возрасте 35 умирает 429 и в возрасте 40 лет уже 515. Составляем таблицу (34)

Af Af A-<f A4f

344

383

429

515

+39

-146 +86

—39

+87

+46 4-93

+40

—6

Определим число умерших в возрасте 32 лет. Здесь h=5, α= 20, х=32, х — α= 12. Из формулы Ньютона имеем:

,12 пл, 12(12—5)

f(32)=344

“b19

1.5 39-1 1.2.5

12(12-5)(12-10)

—39+

1.2.3.53

12(12-5) (12-10)(12-15) oq_ 1.2.3.4.54

87+

93-392,

непосредственно же пз таблиц Борткевича находим 397. Если бы h было меньше, то и разница была бы меньше. Если мы хотим, чтобы степень многочлена а0 + а4 х + + ап х11 была па несколько единиц меньше числа даппых значепий функции, то ыы можем определить коэффициенты по способу наименьших квадратов, излагаемому в теории вероятностей. Обозначим данпое значение функция, соответствующее значепию х, через уи (и=0, 1, 2, н) и предположим,

что требуется удержать только три первых члепа a0+aj х+а» х!. Мы получим достаточное число уравнений для определения а0, alf а2, если выразим, что сумма квадратов уклоненийа 0 + а, х + а 2 х. — у,

J =

должна быть наименьшею, т. ф. должпо быть d J (1 J d J

da0 dat da2

стоты средния значения

-=0. Обозначая для иро-

V х. V х

“ и ип +1 и +1 через [xj, |x2J, мы получим уравнения для ао, аf, а2

% + аи[х ] + а2[х2]=[ У ].

а„ [ х ] + а, [х2] + [и3]=[ х У ]

а» [х“] + а, [х3] + а. [х‘]=[х3у]

Чебышев дал другой способ параболического интерполировапия. Существуют методы интерполирования и при помощи периодических функций. Из чертёж 2

видно, как должно осторолспо относиться к результату интерполировапия, если характер искомой функции совершенно неизвестен, особенно если число данпых значении невелико. Так, интерполируя по трем данным f (х0), f (х,), f (х2) мы получим интерполяционную кривую Л| А2 A3, тогда как действительная кривая может иметь вид М0 А2 М2 А; М0 A3; мы видим, что уклонения очень велпкп. -И. применяется во многих задачах статистики, при вычислениях определенных интегралов (смотрите квадратура) и др.

Литератур а: Марков, „Исчисление коночных разностей“ (1911); Тихомандрицкий, «Курс теории конечных разностей“ (1890); В и щенко- Захарченко, „Лекции разностного исчисления“; Чеааро, „Элемептарпый учебник алгебраического анализа“ (т. I, 1913); Чебышев, „Сочинения“.

А. Некрасов.

портами Адрией и Равенной. Ныне тут наиболее важные порты: Триест, Венеция, Анкона и Бриндизи, причем на всем протяжении от Бари до Анконы (500 кил.) нет ни одного порта.