> Энциклопедический словарь Гранат, страница 216 > Инварианты и инвариантные свойства

Инварианты и инвариантные свойства

Инварианты и инвариантные свойства. Разсмотрим алгебраическую форму (т. е. целый однородный многочлен) f (хг, х2,. .. хп) m-ой степени с и переменными. Выполним в ней какую-нибудь линейную подстановку; тогда форма f (xlf. .., xnJ примет вид f (Уи,. .., Уп), где у!, у2, уп — новия переменные, причем коэффициенты а, Ь, с,. .. полученной формы будут функциями коэффициентов а, Ь, с,. .. первоначальной формы и коэффициентов преобразования. Обозначим через д модуль подстановки, равный определителю Якоби

D (хи х2,.., хп) как0вы бы

D (Уи, У2Уп)

ни были значения коэффициентов подстановки, всегда имеет место соотношение ш (а’, Ь, с,. .. )=АК. ш (а, Ь, с,. .. ), то выражение ср (а, Ь, с,.. .) называется инвариантом формы f (х1; х2,. .., хп). Если k=о, то и (а, Ь,.. .) называется абсолютным И. Квадратичная и бинарная кубическая форма не имеют абсолютных И., в остальных же случаях, если р есть число коэффициентов формы, а и — число переменных, то форма имеет р—п2 абсолютных И. Форма не может иметь более одного простого И., если она не имеет абсолютного И. Так, всякая квадратичная форма имеет только один И., именно свой дискриминант. В случае ортогональности линейного преобразования мы имеем Д=+ 1, и соответствующие И. называются ортогональными; их число больше числа обыкновенных И. Ортогональные И. имеют большое приложение в геометрии, так как преобразования координат относятся к числу ортог. преобразований. Условия, налагаемия на такие И., выражают свойства фигур, не зависящия от расположения осей координат. Теория

II. основана, главным образом, трудами английских математиков Кэли и Сильвестра. Как показали Бриоски, Дарбу, Альфен, И. оказывают также существенную пользу в теории линейных дифференциальных уравнений. Обобщая понятие И., можно говорить про инвариантные свойства, например, множителя системы линейных дифференциальных уравнений. Пуанкарэ ввел важное понятие интегральных И., имеющих большое значение в изучении устойчивости движения. Молено искать также И. свойства выражений относительно групп безконечно малых преобразования. Так, Э. и Ф. Коссра, введя понятие действия преобразования, показали, что из инвариантности действия при группе безконечно малых эвклидовских перемещений молено придать механике дедуктивную форму и представить современную теоретическую физику, как непосредственное продолжение механики. Л и т е р а т у-р а: Чезаро, „Элементарный учебник алгебраического анализа“, т. I; Andoyer, „Theorie des formes“; Сальмон, „Аналитическая геометрия“; Роипсагё, „Les methodes nouvelles de la mecanique celeste“, t. III. А. Некрасов.