> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Интегрирование уравнение с частными производными представляет

Интегрирование уравнение с частными производными представляет

Интегрирование уравнения с частными производными представляет, вообще, задачу значительно более сложную, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнении. Для уравнений с частными провзводными первого порядка с одною неизвестною функцией задачу интегрирования всегда возможно привести к интегрированию системы обыкновенных совокупных дифференциальных уравнений с одним независимым переменным. Тогда как общий интеграл обыкновенных дифференциальных уравнений содержит, как было сказано выше, произвольные постоянные, в общий интеграл уравнений с частными производными входят произвольные функции от определенных аргументов. Так, например, общий интеграл уравнения 1-гопорядка у “ —х ~=0 есть z=а (х2 -f- у2), где о —

произвольная функция от х2 у2. Точно так же общийдН дН

Интеграл уравнения 2-го порядка —= есть

/=ср (х -}- у) -f- ф (х — у), где се и ф — Дне произвольных функции соответствующих аргументов.

В слвчае двух независимых переменных соотношение z=fvx,y) представляет геометрически пекото-рую поверхность, и интегрирование уравнения с частными производными можно рассматривать, как нахождение поверхности по данным ея дифференциальным свойствам, свойствам касательной плоскости, линий кривизны и тому подобное. В некоторых случаях, папр. для всех уравнений первого порядка, интегрирование уравнения с частными производными приводится к интегрированию некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнении. С геометрической точки зрЬния эти уравнения определяют па искомой поверхности семейство линий, которые Мопж (1795) пазвал характеристиками данного уравнения с частными производными. Группируя характеристики но тому или другому закону, мы получим различные поверхности, представляющия геометрически решения предложенного уравнения. Так,

например, для уравнения х -J- у — == г, дифферен-

„ dx dy dz

циальные уравнения характеристики будут

Интегрируя их, получим два уравнения характеристикив виде —=с4,

где с4 и с2 произвольныяпостоянные. При данных значениях ct и с2 эти два уравнения представляют одну из характеристик; в нашем примере это будет прямая. Чтобы получить интеграл предложенного уравнения с частными производными остается взять какую-либо последовательность этих характеристик, то есть принять одно из постоянных, например с2, за произвольную функцию другого: с2== 9(0,)- Исключая постоянные из этого соотношения и двух уравнений характеристик, получим общее решение предложенного уравнения в виде г=х о

Из предыдущого впдпо, что задача интегрирования как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными раарем н.ма только в сравнительно немногих частных случаях. Однако, можно доказать, что каждое дифференциальное уравнение, обыкновенное или с частными производными, имеет общий интеграл, зависящий от соответствующого числа произвольных постоянных или произвольных функций. Для обыкновенных уравнений эту теорему доказал Коши (1831), для уравнения с частными производными Ковалевская (1875).

Дифференциальные уравнения встречаются во всех приложениях математики. Хотя во многих случаях и невозможно дать точное выражение иптегралов дифференциальных уравнений в закопченном виде, по для приложений важно, что эти интегралы можно представлять в виде безконечных рядов, члены которых убывают настолько быстро, что на практике, при приближенных вычислениях, можно ограничиваться несколькими начальными членами ряда.

По высшему анализу есть много хороших руководств. Для первоначального ознакомления с основами высшого анализа можно указать Лоренца, „Элементы высшей математики“, Дернет в Штфлисс, „Основания высшей математики“ Граве, „Энциклопедия математики“. Из болфе подробных руководств— Ииоисф, „Курс дифференциального и интегрального исчислений“, Гурса, „Курс,ма-тематичсского анализа“, Jordan, „Cours d’Anulyse“, Send, Lcrhbuch des Differential-uud Integralrechnung.

Б. Млодзгьевский.

И некоторых металлов. У нас углек. И. обильны на Кавказе. 2) Со ляные И., богатые NaCl. У нас они наиболее распространены на севере (в Вологодской губернии), на востоке (в Пермской губернии), на юге (в Харьковской) и на западе (в Польше). 3) Серные И. содержат свободный H2S. Из твердых веществ для них характерны сульфиды щелочей и щелочных земель, а также CaS04. 4) Кремнекислые И., в воде которых растворены силикаты или Si02,—это И. исключительно горячие. 5) Нефтяные И., вместе с водою которых выносится нефть. Они служат показателями присутствия подземных скоплений нефти. 6) Радиоактивные И., характеризующиеся радиоактивностью своих вод.

И. представляют образование весьма изменчивое. Их дебит меняется в зависимости от колебаний в количестве осадков, выпадающих в области их питания, а также и от изменений в условиях циркуляции подземных потоков. — Содержание растворенных веществ в воде И. также подвержено переменам, хотя и в меньшей степени.

Литература: Keilhack, „Lehrbuch der Grundwasser und Quellenkunde“, 1912; II. Hofer von Heimlialt, „Grundwasser und Quellen. Eine Hydrogeologie des Untergrundes1, 1912. А. Нечаев.