> Энциклопедический словарь Гранат, страница 221 > Исчисление вариации

Исчисление вариации

Исчисление вариации, или вариациоппоф исчисление, есть учение об изменении величин, значение которых зависит от вида входящих в эти величины функции. Если мы имеем какое-нибудь выражение, например, z=x-{-y, где х—независимое перемепное, а у—некоторая его функция, то изменение значения z может происходить от двух различных причин. Если вид функции у дан, например, у=х2, то значение z зависит только от значения переменного х, например, при х=2, z=6, при х=3, z=12. Но если вид функции у может меняться, то зпачепия z могут изменяться даже в том случае, когда значение переменного х остается без изменения. Так, если у=ха то, при х=2, z=6; если лсе у гг х3, то, при том же значении х=2, будем иметь z=10. Изследование тех изменений в значениях выражения, содержащого неопределенные функции, которые зависят от изменений в значении независимого перемЬнпого, составляет предмет дифференциального исчисления (смотрите исчисление безконечно-малых). Изследование тех изменений, которые происходят от изменения вида функций, входящих в данное выражение, составляет предмет вариационного исчисления.

Главная задача вариационного исчисления состоит в пзыскапии maxima и minima—те и другия вместе называются также extrema—выражении, зависящих от неопределенных функций; обыкновеппо такими выражениями являются определенные интегралы. Таким образом, в дифференциальном исчислении мы ищед те значения независимых переменных, при которых данное выражение обращается в maximum или minimum, а в вариационном исчислении мы ищем тог вид функций, входящих в дапное выражение, при котором это выражение обращается в maximum или minimum.

Различие между задачами дифференциального исчисления и вариационного исчисления можно видеть из следующих двух примеров. Пусть на плоскости дана точка М (2, 3) с координатами х=2, у == 3 (смотрите Геометрия), и требуется найти па оси х точку, расстояние которой от дапной точки М было бы наименьшим. Пусть будет х абсцисса искомой точки; так как точка лежит па оси х, то ея координата у равпа нулю. Разстояние между двумя точками с коордипатами (х, у) и (х, у) выражается формулою |/ (х — х)9 -{- (у — у)3. В пашем случае у=0, х=2, у=3, и потому искомое расстояние будет у (х — 2)2 4- З1. Это выражение представляет фупкцию от х, и в задаче требуется найти то значение х, при котором это выражение будет minimum. Поступая но правилам дифференциального исчисления, составляем производную, которая х — 2

будет

—— —эта

У (I - 2)» + 3»

производная обращаетсяв нуль при х=2. Следовательно, minimum будет при х=2, и будет равен 3. Что это будет именно minimum, а не maximum, видно из того, что при всех значениях х, кроме х=2, выражение под корнем имеет зпачепие большее, нежели 3“. С другой стороны, рассмотрим такую задачу. На плоскости дапи две точки М0 (1,2), и Mt (3, 8), где числа в скобках представляют координаты обеих точек; требуется провести между обеими точками линию, длина которой была бы наименьшая, т. е. была бы мепьше длин всех друглх линий, проходящих через те же точки. Пусть будет у=f (х) уравнение искомой линии; здесь f (х) — неизвестная функция, вид которой требуется определить. Так как искомая кривая должна проходить через точки (1, 2) и (3, 8), то функция должна принимать при х=1 значение 2, а при х=3 зпачепие 8. Кроме того, так как длина линии у=f (х) между точками М (1, 2) и N (3, 8) выражается, как это доказывается в дифференциальной геометрии, интегралом

V 1 + у2 dx, то функция f (х) должна быть такова,

чтобы при постановке f (х) вместо у в предыдущий интеграл, последний приобретал значение меньшее, чем при всякой другой функции. Следовательно, в рассматриваемой задаче ищется вид функции, обращающей данпый интеграл в minimum; и потому это задача из области вариационного исчисления. Ниже будет показапо, что в данном случае функция f (х) должна иметь вид ах -}- Ь, где а и b постоянные, и след., уравнение искомой линии будет у=ах b, т. е. уравнение прямой. Таким образом, вариационное исчисление подтверлсдает известное положение, что прямая линия ес.ь кратчайшее расстояние меясду двумя точками.

Обращаясь к изложению осповапий метода вариаци-оппого исчисления, мы ограничимся рассмотрением задачи о maxima и minima простых (однократных) определенных интегралов, зависящих от одной неизвестной функции и ея первой производной. Общийт Гх“

вид такого нптеграла J=F (х, у, у) dx, где F —

J х о

dy 0

данная функция от х, у, у и у=—. Требуется найтивид функции у=f (х) под условием, чтобы при этом виде интеграл J имел наибольшее или наименьшее значение сравнительно с значением того лсе интеграла для всякого другого вида функции у. Преясде, чем дать общее решение этой вадачи мы рассмотрим, в виде примера, приведенную выше задачу. Пусть на плоскости даны две точки М0 (х0, у0) и Ы, (х4, yf), и требуется провести между ними линию наименьшей длины. По нрф-дыдущсму, для решения этой задачи, надо найти функцию f (х), которая, будучи поставлена на место у в

Г и .____

Интеграле J= у 1 4- уа dx, давала бы этому нн-

J отегралу меньшее зпачепие, нежели всякая другая функция, близкая к f (х). Возьмем вспомогательную функцию ср (х, X), содержащую, кроме х, еще переменный параметр X. Подчиним функцию ср (х, X) следующим требованиям: функция ср (х, X) должна обращаться прпХ=0 в искомую функцию f(x), т. е. должно бить ср (х, 0)== f(x); далее, ср (х, X) должна обращаться при х=х0 и х=xt соответственно в у0 и у1 нрп всяком значении параметра X. Геометрически это значит, что мы рассматриваем непрерывное семейство линии у =ср (х, X), соответствующих различным зпачепиям параметра X; все эти линии проходят через точки М0 (х0, у0) и Ми (х„ у,), и среди них, при×= 0, находится искомая линия у=f (х) (чертёж 1). В последующем нам будет пужпо брать производные по×от различных функций, содержащих параметр X, и давать в этих производных параметру×значение×= 0. Такие про-

взводные называются вариациями функции и обозначаются символом о. Таким образом, если f (х) получается изо (х, X) при×= О, то о f (х) — I — —

= (-

х дх )х=опоследующем мы будем попимать под у искомую функцию f (х), так что будем обозначать 5 f (х) через оу. Так как вариация получается дифференцированием по параметру X, то, па основании независимости произведших от порядка дифференцирования (смотрите исчисление безконечно-малых), мы имеем, при некоторых ограничениях, которых мы здесь не будем касаться, что д д ср (х, X) _( д до (х,Х)

JT а! д_о

s у J-L =

Л=о

lax

а (о у)

СИ X

Внесем в интеграл J вместо у функцию <р (х, X). Это значит, что ыы рассматриваем этот интеграл не для искомой линии y=f (х), а для всех линий семейства у=ср (х, X). Очевидно, что после такой подстановки интеграл J будет зависеть от параметра X, и ыы получим minimum или maximum иптеграла J при том значепин X, при котором обращается в нуль про-д J

взводная (смотрите исчисление безконечно-малых). Попредположению, этот minimum соответствует×= 0; / д J

поэтому мы должны иметь ( — )=0, или, обозначая

=оццтеграл J при×= 0 черев J0, 6J0=0. Так как при Х=0 о (х, X) обращается в f(x), то, обозначаяхи

f(x) через у, будем иметь J(

__ и Гхи_

— 5 1 ]/1 -ф- у 2dx. В интегральном исчислении докахозывается, что если пределы интеграла постоянны, а под-интегральная функция содержит переменный параметр, то, чтобы дифференцировать определенный интеграл по параметру, нужно дифференцировать подъинтегральнуюфункцию. Поэтому имеем oJ0=| oYj/l -j- у 2 dx =

Jx о

Гхч t Гхи у“5у

— I 7 О + У 2) 2 2у Sy’dx=j,- dx.

JО J о Tl+y’2

Интегрируем полученное выражение по частям (смотрите исчисление безконечно - малых), полагая — —

Ви + У »

= и, бу. dx=dv; так как, по предыдущему, оу =

/и -j- у2 dx, и oJ0 =

, d (оу) то dv=- dx : dx

Интегрируя по частям, находим ставляя пределы интеграла, имеем 6J0=

doy, и в=бу. Поэтому,

У5У Л—

Ви+у“

dx. Отсюда, под-у8у

- Гщс=х0 J хо

Wt+f

dx.

=х,

/и + у,/х=х0 Л» йх[Уи+:

этом выражении вариация бу представляет производпую но параметру×от ср (х; X), взятую при×= 0. По условию, функция ср (х,Х) обращается при х=х0, х=xt соответственно в у0 и в ylt каково бы пи было значение X; следовательно, при х=х0 и х=Х£ ср(х,Х) по зависит от X, а потому при этих двух значениях х про

Изводная

Де (.)

НИИ для J, в нуль, и мы имеем 6J,

dx.

f до (х,Х)

-, а следовательно, и оу=( —)

д 1 дк /).=ообращается в пуль. Поэтому в предыдущем выраженье ны, свободные от интеграла, обращаются

У_

Vi + у

Это выражение должно обращаться в нуль, так как в нем у представляет искомую функцию f (х), обращающую интеграл J в minimum. Легко видеть, что здесь варииция бу представляет совершенно произвольную функцию от х, подчиненную лишь условию, что она, как было показано выше, обращается в пуль при х=х0 и х=xt. В самом деле, если мы хотим, чтобы бу обращалось в какую -пибудь функцию g (х), то стоит только взять ср (х,Х)=f (х) -{- Xg (х). Докажем, что для того, чтобы 6J0 обращалось в пуль, необходн-

чтобы было — dx

dx ! -

lx (ви + у)

: 0. Положим, что

Ви + у

, _( не обращается тождественно в нуль;

1/1 -f- утогда мы можем выбрать бу так, чтобы 6J0 не был нулем. Для этого нужно только принять за бу такую функцию от х, которая для всех значений х имела бы d_ [_у’

знак одинаковый с знаком

Ви+ущалась бы в пуль прпх=Хо, х=хи. При таком выборе

Ш)

И обраоу подъинтегралыиая

бу-

/и +удет всюду положительна; а так как определенный интеграл есть предел суммы, у которой слагаемия суть зпачепия подъинтегральной функции, умноженные на соответствующия приращения независимого переменного (смотрите исчисление безконечно-малых), то, при таком выборе бу, интеграл, представляющий б«70, будет ра-веп не нулю, как это должно быть, а положительному числу. Отсюда следует, что 6J0 будет тождественно с пулем только в том случае, если у, или, что то же, f (х). d / у

будет удовлетворять условию — — — 0. Это

dx Ви + у/

условие представляет дифференциальное уравнение второго порядка относительно у (смотрите исчисление безконечпо-

малых). Из него находим

Ви+у’

:=С, где с

произвольное постоянное, или у =

тем у —

в и

Ь, или у=-

с“

: + b.

Обозпачая здесь -

/ 1 — с“

— через а, получим уравпе-

V 1 — с“

ние искомой линии в виде у ах -{- b. Это уравнение представляет, как было сказано выше, прямую. Произвольные постоянные а и b определяются из того условия, что искомая линия должна проходить через точки М0 и М4; подставляя в уравнение прямой координаты обеих точек, получим два уравнения у0 ах0 -{-Ь, Уи — axt -{- b, из которых и найдем а и b.

После этого примера, обратился к решению общей

Гх“

задачи. Дан интеграл J=I F (х, у, у ) dx, где Jo

F (х» У. yf) данная функция от х, у, у; требуется найти функцию у=f (х), для которой интеграл имел бы наибольшее или наименьшее значение по сравнению с значением того же интеграла при других видах функций у, близких к f (х). При этом предполагаем, что пределы интеграла х0 и х4 суть данные числа, и что искомая функция f(х) должпа иметь при х=х0 и х=х4 данные значения у z= y0j у — yf. Геометрически это значит, как и в предыдущем примере, что мы ищем из числа кривых, проходящих через точки АИ0 и МИ5 такую, для которой данный интеграл был бы maximum или minimum.

Поступая, как в предыдущейь случае, рассмотрим семейство кривых у=ср (х, ).), удовлетворяющих вышеуказанным условиям, и пайдем производную интеграла J по параметру×при×= 0, т. е. SJ0, обозпачая через J0 то, во что обращается интеграл J, если у обращается в искомую функцию f (х). Поступаяно предыдущему, находим oj0

Jxt

=р

№ ТД. dx=(Sy. дВ(х,Т,у)

: I ‘й (F(x,y(y0)dx =

J о

/ х» / dF (x, y, y) _, dF (x, y, y) ,

=Xo v-е7oy + —W~ioy)dx> ИЛЯиразбивая интеграл па два слагаемых, SJn=’Х‘оу- -aFtx- У’ У’> dx+ fX,Sf дР(х.У’ У) dx.

дУ J о д“

Интегрируем второй интеграл пи частям, полагая dF (х. у, у)

И =--, dв=о уг. <3х — d (оу), и находим

£ ’

По условию, ср (х, X) обращается при х =х0 и х=х4 соответственно в у0 и yt при всяком X; следовательно, ири этих значениях переменного х ср (х, X) ие завн-

dtp (х, X)

сит от X, и потому производная ——, обращается

при этих значениях переменного х в пуль; то же от-

/ dtp (х, X) „,

носится и к оу=(—~— 1. Поэтому в послед-

V dA /x=0

нем выражении члены, свободные от интеграла, обращаются в пуль, и, соединяя вместе два остающихся интеграла, будем иметь

X=х4 dx.

ЗХ

У, У)

_d_

dF(x, у, у1) dy

)]

dx.

Разсуждая, как в предыдущем примере, убеждаемся, что для того, чтобы J0 было maximum или minimum, функция у =f(x) должно обращать в нуль подъииптеграль-dF (х, у, у’) _ _d_ ( dF (х, у, у’)

dx

пыи множитель -

При-

dy dx dy

равитвия этот множитель нулю, получим для определения у дифференциальное уравпеиие второго порядка у) d ( dF (х. j, у)

-т--х— -г—;- =0. Его общий япте-

dy dx dy1 J

грал даст искомую фупкциго у=f (х, а, b) с двумя произвольными постоянными (смотрите исчисление безконечномалых), которыми можно воспользоваться для того, чтобы полученная кривая проходила через обе данные точки М0 и М,.

Приравнивая пулю вариацию определеппого интеграла o.J0u интегрируя получающееся отсюда дифференциальное. dF а /dF луравнение ) — О мы находим функцию у=f (х), обращающую этот интеграл в maximum или minimum. Какой из этих двух случаев имеет место—этот вопрос решается рассмотрением второй вариации нптеграла J0, подобно тому, как в дифференциальном исчислении maximum и minimum функции различаются знаком второй производной. Вторая вариация о2 J0 есть зпачепие при×— 0. Изсле-d /.2

довапие второй вариации позволяет дать необходимия условия для того, чтобы функция f (х) обращала интеграл J в maximum или minimum.

К числу задач, рассматриваемых в вариационном исчислении, принадлежат также задачи об у лобных extrema определенных интегралов, или изопериметрические задачи. В них ищется extremum определенного интеграла под условием, чтобы некоторый другой определенный интеграл имел заданное значение. Найдем, например, кривую М0М4 (чертёж 2),

длина которой дапа, под условием, чтобы площадь А0М0М4А4, ограниченная этою кривою, была больше площади, ограниченной каждою другою кривою, проходящей через те же две точки АИ0 (х0, у0) и М4 (хи,уО и имеющей такую же длину. Площадь АоА4М4М0 выражается иптегралом

Г и Г им J f (х) dx или J

dx.

если у=f (х) есть уравнение искомой кривой (смотрите исчи слепие безконечно-малых); длина кривой М0М, выра-

Гху ___

жается, по предыдущему, интегралом I [/ 1 - - у,-и dx.

Jx0

Таким образом, задача приводится к нахождению 4у dx под условием, чтобы

maxiranm интеграла

Г

Jxo

Интеграл

/°Xt _

I |/ и _|- у2 dx имел данное значение.

J о

Следуя методу, предложеппому Эйлером, будем искать ужо пе условный, а абсолютный maximum суммы

JX> ydx + р- J У 1 + УГ dx, илих0 с/ 0

/Л,+,г 1 у2 Дх, где а —некоторый ЧИСЛО

ВОЙ множитель, который мы определим впоследствии. Применяя къэтому новому интегралу выведенное выше правило для нахождения maximum или minimum определенного интеграла, мы имеем в данном случае F (х, у, у) =

,-- dF, д F р- у

= у 4- р. 1/1 + уа, откуда —=1, т—=-

J Г 1 В Г 3 dy д у у и _|_ у/о

OF ddF n

Поэтому уравнение —д Jv “ обращается в

1-

Н-У

их >/ 1 + у5

у

0, или

Р-У

V 1 + у2

Отсюда ——Г_г_гг=: =х—а, или у—

у 1 + У3 |/|;.»-(х-а)3

где а—произвольное постоянное. Вторичное пнтегри-

/(х—а) Д х _

, —~ Ь, или у— Ь —

ВВ—(—»)

= _|/|Аа_(х—а)а, или, освобождаясь от радикала. (х_а) а_|_ (у—b)·=р.4, где Ь—другое произвольное постоянное. Это уравнение представляет окружность сх центром в точке (а, Ь) и радиусом р. (смотрите геометрии). Три постоянных, а, Ь, р., входящия в уравнение окружности, определяются из условия, чтобы эта окруж яость проходила через обе дапные точки М0, М1е и чтобы ея дуга М0 М4 имела требуемую длипу.

Общий метод для решения задач вариационного исчисления был дан ваервые Эйлером. Дальнейшими значительными успехами в области вариациоппого исчисления мы обязаны Лагранжу, Лежандру, Якоби и др. В копце 70-х годов прошедшого столетия Веиор-шграсс предложил особый метод для вывода условий maxima u minima определенных нптегралов, в связи с более широким определением вариации; этот метод характеризует повое направление в вариационном исчислении.

Приложения вариационного нечнелепия весьма многочисленны. В геометрии одно из наиболее значительных приложений вариационного исчисления представляеть теория геодезических линии на поверхностях, т. е. линий, имеющих между двумя данными точками наименьшую длину; таковы, например, на поверхности шара окружпостн больших кругов; другое приложение вариационного исчисления—теория минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, имеющих внутри данного контура площадь меньшую, чем все другия поверхности, проходящия через тот же контур. В механике вариационное исчисление применяется к отысканию лилий и поверхностей, обладающих известными максимальными или минимальными свойствами. Так, при помощи вариационного исчисления адржно найти форму тяжелой нити, укрепленной в двух точках. По паиболее важным применением вариациоппого исчислепия к механике представляется вывод основных уравнений механики и : некоторых общих предположений, т. п. общих принципов, или начал, механики. Средп этих начал наиболее замечательны: начало Гамильтона и начало наименьшого действия.

Основывариационного исчисления излагаются во многих руководствах высшого анализа, например, в книге Поссе, „Курс дифференциального и интегрального исчп-слепийи, в Курсах Jordan, Serret и др. Специально по вариационному исчислению можно указать на кпиги Вси-za, „Vorlesungen iiber Variationsrecimung“; Kneser, „Lehr-bucli der Variationsreclinung“; Pascal, „Die Variationsrech-nung“, Hadamard, „Calcul des variations“, также Саба-пип, „Курс вариационного исчисления“.

Б, Млодзгьевский.

ft

выми горами и плодородна только на сев. Главный город Итаки, или Вати у зал. Поло. Жители, занимаются рыоолов-ством, разведением коз, виноделием и производством оливкового масла. И. была известна в глубокой древности; по Гомеру, она считалась родиной и царством Одиссея, но описания, данные в Одиссее, не совпадают с нынешним топографическ. положением о-ва.