> Энциклопедический словарь Гранат, страница 240 > Квадратура обозначает несколько родственных понятий* I) К

Квадратура обозначает несколько родственных понятий* I) К

Квадратура обозначает несколько родственных понятий“ I) К, называется определение площади фигуры, т. е. определение отношения данной площади к площади квадрата, принятого за единицу меры площадей. К. называется также построение квадрата, равновеликого площади данной фигуры, причем построение должно быть выполнено геометрическими приемами. Очевидно, что эта последняя задача содержит в себе первую. К-ы элементарных прямолинейных плоских фигур, например, прямоугольника, треугольника, выполнены еще в древности, причем всегда можно построить квадрат, равновеликий такой площади, применяя только элементарные методы построения, т, е. пользуясь только циркулем и линейкою. Древности принадлежит также и выполнение К. некоторых криволинейных фигур, например К. луночек Гиппократа, К. параболы, выполненная Архимедом (ИИ в до Р. X.), и научная постановка и приближенное решение знаменитой задачи о квадратуре круга, насчитывающей з а собою свыше 3.000 лет и породившей вместе с глубокими из-исканиями черезвычайное множество заблуждений и фантазий. Открытие исчисления безконечно-малых дало новые общие методы К. К-ы аналитически данных областей, вообще, приводятся к вычислению определенных интегралов, причем области, для которых такое приведение возможно, называются квадрируемыми. Если область, подлежащая К., дана графически, то ея К. можно выполнить механически при помощи особых приборов, называемых планиметрами. Наиболее известны планиметры Амзлера, Коради, ИИритца; они имеют широкое применение в межевом деле. Можно также разбить данную область поперечными прямыми на элементарные области, например, прямоугольники, трапеции, площади которых можно определить по правилам элементарной геометрии; в случае криволинейности контура его обыкновенно заменяют ломаною линией с большим или меньшим числом сторон в зависимости от требуемой точности.

Вследствие особой важности задачио К. круга, остановимся на ней несколько подробнее. Эта задача может быть формулирована след. обр.: построить, пользуясь только циркулем и линейкою, квадрат, равновеликий данному кругу. Если мы обозначим радиус круга через г, то на основании теорем геометрии будем иметь для длины окружности L выражение L=2л: г, где к есть отношение окружности к диаметру, а для площади

Круга S получим S=-и- L г, т. е.

площадь круга равна площади треугольника, основанием которого служит длина окружности, а высотою— радиус. Т. обр, задача приводится: 1) к вычислению числа л; 2) к построению прямолинейного отрезка, длина которого равна длине окружности, или к спрямлению окружности. Архимед первый научно поставил эту задачу и, пользуясь методом, который и теперь излагается во всех элементарных учебниках геометрии, нашел приближенное зна-22 1

чепие л=—=3 у. Последующие математики определяли и все с большей точностью; так, Лудольф (XVI в.) нашел значение и с 35 десятичными знаками. Открытие исчисления безконечно-малых дало новые, более простые методы вычисления числа и (так, Шенкс в XIX в нашел и с 700 десятич. знаками) и позволило выяснить свойства этого числа. В 1766 г. Ламберт доказал иррациональность числа л, а в 1882 г. Линдеман дал доказательство его трансцендентности (смотрите число). Из предложения Линде-мана следует, что окружность не может быть спрямлена не только такими геометрическими построениями, в которых пользуются прямыми и окружностями, т. е. линейкою и циркулем, но даже и такими, в которых пользуются любыми алгебраическими линиями и поверхностями. Из предыдущого ясно, что это же предложение имеет место и для К. круга, т. е., в частности, К. круга циркулем и линейкою невыполнима, хотя численно площадь круга и может быть найдена с любою степенью точности.

II. Так как вычисление интеграларавносильно определению некоторой площади, то вычисление интеграла, как определенного, так и неопределенного, называется К. Существуют приборы, интеграфы, которые, по данной графически кривой, чертят интегральную кривую.

III. К. называется приближенное вычисление определенных интегралов. Существует несколько способов таких К. Укажем только главные. 1) Если подъинтегральная функция разлагается в достаточно быстро сходящийся ряд, то интегрируют этот ряд почленно, удерживая столько первых членов ряда, сколько требуется для желаемой точности результата. 2) Заменяют вычисление определенного интеграла вычислением определенной суммы по формуле Маклорена-Эйлера (смотрите исчисление конечных разностей). 3) Интерполируют подъинтегральную функцию по способу параболического интерполирования (ем. исчисл. конечн. разностей) и интегрируют полученную интерполяционную функцию. Так. обр. получаются формулы Котса, Симпсона, Гаусса. Эти формулы имеют большое значение в небесной механике и тф-оретич. астрономии, где оне часто применяются при числовом подсчете возмущений в движении планет или комет. Литература: Гурса, „Курс Анализа“, т. I, 1911 (рус. яерев.); Рудио, „О К. круга“; Abdank-Abacanowicz, „Les integraphes, la courbe integrate et ses applications“; Tisserand, „Traitd de Me-eanique Сёиёэие“. А. Некрасов.