> Энциклопедический словарь Гранат, страница 252 > Колебательное движение
Колебательное движение
Колебательное движение. Всякое движение точки, неопределенное число раз повторяющееся, причем каждый раз время (Т) движения одинаково, называется периодическим движением. Если мы в какой-либо момент времени определим положение точки, величину и направление ея движения, то окажется, что спустя время Т она находится на том же месте и обладает такою же по величине и но направлению скоростью. Периодические движения могут быть безконечно разнообразны; простейшее по характеру периодическое движение есть равномерное движение по окружности. Из всех периодических движений представляется, однако, наиболее важным гармоническое К. д., ибо всякое периодическое движение может быть получено, как результат сложения большого или меньшого числа (иногда безконечно многих) гармонических К. д. Положим, что некоторая точка N (рисунок 1) равномерно движется по окружности ACBD, радиус которой а. Движение, которое в этом случае совершаетпроекция Ы точки N на произвольный диаметр АВ, и есть гармоническое К.
д. Это движение совершается между крайними точками А и В, полуразстоя-ниф которых, равное радиусу окружности. называется амплитудою К-го д-ия. Время Т, в течение которого точка N проходит всю окружность, а точка М совершает одно полное колебание взад и вперед,—называется периодом колебания или просто временем колебания. Угол CON называется фазою колеблющейся точки М, причем предполагается, что точка N движется по направлению от С к В, а точка М от О к В. Если точка М, занимая то же самое положение, движется по направлению от В к О, то точка N находится в Nlf и фаза равна углу CON1. Точки М и М находятся в противоположных фазах, то есть, их фазы отличаются на 180° или на к. Соответствующия им точки N и № расположены на концах диаметра. Разстояние s=ОМ движущейся точки от среднего положения 0, или так называемый пройденный путь выражается формулою s=asm2Kj, если время t единой расстоянию точки от 0. Средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии при гармоническом К. д. равны между собою; оне пропорциональны квадрату амплитуды. К гармоническим К. д. принадлежат в простейших случаях колебания тел, вызванные упругими силами (струны, стержни, пластинки, частицы воздуха и так далее, см. звук). Сюда же относятся колебания маятника, магнитной стрелки и так далее при весьма малых размахах. Два гармонических К. д., одинаково направленных, обладающих одинаковым периодом, но различными амплитудами а и b и различными фазами и р2, складываются в одно гармоническое К. д., амплитуда А которого определяется формулою А2=а2 -)- b2-j-2abcos(p1 — р2). Если разность фаз двух складываемых колебаний равна нулю (или четному числу к), то А=а + b. Если склады-ваемыяколебания находятся в противоположных фазах, т. е. разность фаз равна тс (или нечетному числу к), то А=а — Ь; если при этом еще амплитуды а и b равны между собою, то получается А — О. Если разность фазтать от момента, когда точка М находилась в среднем положении 0. В общем случае пройденный путь s выражается формулою
s=а sin (2тс-~ + е0),
в которой р0 так называемая начальная фаза, соответствующая тому моменту, от которого мы считаем время t. Скорость в точки М, совершающей гармоническое К. д., пропорциональна длине перпендикуляра р=NM. Ускорение w в движении точки М выражается формулою w =
4гс2а
= — s, т. е. оно пропорциональноразстоянию s точки М от среднего положения О и всегда направлено к точке 0. Так как действующая сила пропорциональна ускорению, то отсюда следует, что материальная точка совершает гармоническое К. д. около некоторого среднего положения О, если она находится под влиянием силы, постоянно направленной к точке О и по величине прямо пропорциоиальп:
равна нечетному числу —,
то A2=a2-j-
+ Ь2. В этом случае энергия получающагося колебания равна сумме энергий слагаемых колебаний. При сложении произвольного числа одинаково направленных гармонических К. д. также получается гармоническое К. д., амплитуда которого выражается сложною формулою. Два взаимно перпендикулярных гармонических К. д., имеющих одинаковый период Т, складываются в одно движение по эллипсу. Эллипс превращается в прямую линию, и движение в гармоническое К., когда разность фаз складываемых колебаний равна 0 или 75. Когдаразность фаз равна- или
и
-
-5-, M, кроме того, амплитуды складываемых колебаний равны между собою, то в результате получается равномерное движение по окружности. Различные случаи показаны на рисунке 2. — Направление движения точек по эллипсу может быть двоякое: по или обратно
Колебательное движение.
с
часовой стрелке; направление движения зависит от разности фаз. При сложении двух гармонических К. д., имеющих различные периоды Т и Тх и направленных одинаково, получаются сложные К. д. При сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических К. д. с различными периодами Т и Т, получаются движения, которые искусственно были воспроизведены Лиесажу. Он направил луч света на зеркальце звучащого камертона; после отражения луч падает на аер-кальцф второго камертона и после вторичного отражения на белую стенку, образуя на неии светлое пятно. Когда плоскости колебаний обоих камертонов взаимно перпендикулярны, то пятно, двигаясь весьма быстро, вычерчивает одну из фигур Лнссажу. На рисунке 8 показаны некоторые из этих фигур для случая, когда времена колебаний Т и Тг относятся,как 3:4. Первый рисунок слева соответствует случаю, когда разность фаз двух колебаний равна нулю, остальные четыре—случаям, когда эта разноет равна —, -, - и Когда ма-
Иа О 1а О
сериальная точка М находится под влиянием двух сил, из которых одна постоянно направлена к некоторой точке О и пропорциональна расстоянию точки М от 0, а другая пропорциональна скорости V точки М и имеет направление, противоположное направлению движения точки М, то эта в последняя совершает так называемое затухающее колебат. движение, при котором последовательные полуразмахи или амплитуды составляют убывающую геометрическую прогрессию. Натуральный логарифм отношения двух последовательных разма-хов называется логарифмическим де-крементом затухающого К. д. Таковы движения тела, колеблющагося в сопротивляющейся среде, например, колебания маятника в воздухе или колебания магнита под влиянием успокоителя я так далее—Вещество, заполняющее часть пространства и обладающее по всем направлениям одинаковыми свойствами, называется изотропной средой. Допустим, что она состоит из отдельных частиц, и что одна изннх начинает совершать гармоническое К. д. с амплитудой а и с периодом Т. Допустим далее, что частицы среды действуют друг на друга так, что движение одной из них вызывает движение соседних. В этом случае состояние движения, как бы передаваясь от точки к точке, распространяется через среду. Частицы, лежащия вдоль некоторой прямой, последовательно начинающия совершать гармонические К. д., представляют то, что условно может быть названо лучем. Более точное определение термина луч вытекает из принципа Гюйгенса. Разстояние, на которое передается состояние движения в единицу времени, называется скоростью распространения колебания, или скоростью луча. Термины сохраняются и в том случае, когда распространяющееся движение не есть гармоничеекоф К. д. Частицы, расположенные вдоль луча, начинают свои движения в различные моменты времени, а потому вообще находятся при неодинаковых фазах. Длиною волны×называется расстояние двух ближайших точек луча, находящихся при одинаковых фазах; это то расстояние, на которое К. д, распространяется во время одного периода Т. Длина волны X, скорость в и период Т связаны равенством×=вТ. Если считать время t от момента начала К. д. некоторой точки А, то удаление другой частицы М от ея положения равновесия во время t определяется формулою у=а sin 2к — y)’ в которой х расстояние точек М и А друг от друга,×дл. волны. Это равенство называется уравнением луча. Колебания, распространяющияся вдоль луча, могут быть поперечные и продольные. В первом случае направл. колебаний перпендикулярно к лучу; во втор, случае они происходят вдоль луча. При продольных колебаниях мы имеем вдоль луча попеременные сгущения и разрежения в среде, причем в каждом данном месте непеременно происходит сгущение и разрежение.—Два луча, вышедшие из одной точки Р и по различным путям дошедшие до одной и той же точки Q, вызывают в нейдва колебания, которые складываются по правилам, выше рассмотренным. Явления, которые при этом происходят, называются явлениями интерференции лучей, а про лучи говорят, что они интерферируют. Если колебания интерферирующих лучей одинаково направлены, то они складываются в одно гармоническое К д., амплитуда А которого определяется формулою А2~
g
= a2+ba + 2ab cos 2 it —, в которой а
А
и b амплитуды колебаний двух интерферирующих лучей, длина волны и 5 так называемая разность хода лучей, т. е. разность расстояний точек Р и Q друг от друга, считаемых вдоль того и другого луча. Два луча, интерферируя, дают наибольшую амплитуду, когда разность хода 8 равна четному, наименьшую, когда она равна нечетному числу полуволн. Два луча, интерферируя, взаимно уничтожаются (А — О), когда s равно нечетному числу полуволн, и в то же время амплитуды интерферирующих лучей равны. При интерференции встречных колебаний, распространяющихся до одной и той же прямой в противоположных направлениях, образуются стоячия волны. Такое явление происходит при интерференции луча, направленного к какой-либо отражающей поверхности нормально к последней, с лучем отраженным. В стоячих волнах все частицы одновременно проходят через положение равновесия и одновременно достигают крайних удалений от этих положений, если амплитуды а и Ь двух колебаний равны между собою. Величина амплитуды вдоль луча в общем случае меняется периодически между пределами а + b и а — b. Места, где амплитуды наименьшия, называются узлами, места, где оне наибольшия,—пучностями. Если а —Ь, то в узлах частицы находятся в полном покое. При продольных колебаниях мы имеем в пучностях наиболее сильные движения, в узлах наиболее сильное изменение плотности, так как частицы, находящияся с двух сторон от одного узла, всегда находятся в противоположных фазах, а частицы, расположенные между двумя узлами,—в одинаковых фазах. Если в изотропной среде из данной точки А распространяются колебания во все стороны, то амплитуда колебаний меняется обратно-пропорционально первой, знергия—обратно-пропорционально второй степени расстояния от А. Геометрическое место точек, до которых распространились во все стороны колебания, исходящия из некоторой точки, называется волновою поверхностью. В изотропной среде волновая поверхность есть поверхность шара. В анизотропной среде, например, в кристаллах, не принадлежащих к правильной системе, волновая поверхность есть поверхность эллипсоида, если кристаллы одноосные; в двуосных кристаллах волновая поверхность имеет весьма сложную форму. Гюйгенс дал способ построить волновую поверхность, если известны те одинаковые иЛи различные моменты, когда колебания доходят-до точек некоторой данной поверхности S. Способ Гюйгенса заключается в следующем. Все точки поверхности S следует принять за новые центры колебаний и построить около них волновия поверхности, которые образовались от моментов, когда колебательное движение достигло этих точек, до рассматриваемого момента. Огибающая (общая касательная) поверхность ко всем этим поверхностям-и есть искомая волновая поверхность в рассматриваемый момент. На основании этого принципа Гюйгенса объясняются законы отражения и преломления волн (волновых поверхностей) и лучей. При отражении луч падающий, нормаль к отражающей: поверхности и луч отраженный лежат в одной плоскости, и угол падения равен углу отражения. При преломлении луч падающий, нормаль к преломляющей поверхности и луч преломленный лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных двух середин, на границе которых происходит преломление. Эта величина равна отношению скоростей распространения волн в двух средах и называется коэффициентом преломления. К распространяющимся волновым движениям при-Колеса
Колесо имеет форму кольца, соединенного с центральною частью ступицей при помощи отдельных спиц или прп помощи сплошного диска, К. разделяются па: 1) экипажные и служат в этом случае для замены части работы трения скольжения работой трения качения, что представляется выгодным и смысле расхода энергии, для лоредппженил экипажа; 2) приводнын— для передачи движения от одного вала к другому; приводные колеса, в свою очередь, разделяются на фрикционные и зубчатыя; 3) маховия — для уравнивания хода машин. Экипажные К. приготовляются в большинстве из дерена (бука, дуба, вяза, гикори). Внешняя часть, или обод, колеса сгибается из одного куска, после того как дерево хорошо распарепо; со втулкой соединяется прп помощи спиц, вдолбленных как и во втулку, так и в обод. Для прочности на обод надевается в горячем состоянии железная полоса (ниша), сваренная в виде цельного кольца. Шина скрепляет обод, а кроме того, уменьшает его взпашпваше при езде. В некоторых случаях обод приготовляется из железа и сиабжает -я резиновой шкяоии для более покойной езды. Ступина Вращиется па оси экипажа и для ыеиьшого изнашивания от трения снабжается металлической втулкой, ноторал и трется об ось. Колеса железнодорожных вагонов и паровозов насаживаются неподвижно на ось, самая ось вращается в особых опорах (буксах). Вагонные колеса приготовляются из железа, со спицами, или нз чугуна, со сплошными дисками вместо спиц. В некоторых случаях, в Америке, диск, соединяющий обод со ступицей, приготовляется из сильно спрессованного картона. Паровозные К, приготовляются из железа и стали. Чтобы уменьшить истирание К, о рельсы, па обод надевается еще дополнительный стальной обод (бандаж). О велосипедных К. см. IX, 355/6. Приводные фрикционные R. представляют два массивных, правильно обточеппых металлнч. цилиндра, насаженных на валы, между которыми должна быть устроена передача. При сближении валов и пажатин фрвкц. К. друг па друга между ними устанавливается сила трения, которая передает движение от одного колеса к другому. Обозначим через w и wj угловия скорости одного и другого вала, через г и гй соответствующие радиусы фрвкц, К. Так как окружные скорости обоих колес одппакопы, то будем иметь wr:
==WirtJ откуда следовательно, угловия скорости валов и числа их оборотов и и гц будут обратно пропорциональны радиусам Фрикц. К. Назовем через f коэф. трения, тогда при нажатии К. с сплою Т получим на окружности колес силу трения fT. Пере-2аг. п.ГТ _ 2кг, nf ГТ 60. 75 “ 60.75 ‘
Следовательно, для передачи N сил нужно прижать К.
m N. 60. 75 „
друг к другу с силой Т=. Отсюда вид-
2~ г. л, f
но, что чем больше коэффициент трения, тем меньше сила нажатия, что выгодно, так как при этом уменьшается работа трения в опорах. Для увеличения f поверхность цилиндров иногда обтягивается кожей, по такие К. менее нрочяы. На фигуре 1. представлено устройство фрикционной передачи между двумя валами А и В. На валы насажены конические барабаны, между которыми прохожено кожаное кольцо для увеличения коэфдаваемая работа будет N zz: -
Фигура 1.
фнииепта трения. Передвигая кольцо вдоль барабапов, можно изменить отношение числа оборотов. Фрикционную ии«р»дачу можно устроить и между пересекающимися палами; в таком случае К. из цилиндров обращаются в конусы. Иа фигура 2 изображена коническая фрикц. передача в штамповальном прессе.
ИИа вертикальном валу насажен конус, составленный из кожаных дисков, плотносирес“ соваишых (кожа имеет больший коэффициент трения); па горизонтальном палу сидят два конуса, которые могут передвигаться вдоль вала. Прижи- Фиг1. 2.
мая тот или другой конус к кожан. конусу, можно, при постоянном направлении движения горнзоптал. вала, сообщать вертнкалъи. налу движение в том или другом направлении. В фрикц. К. возможяо скольжение одного колеса по другому, а потому такая передача применяется там, где возможность такого скольжения желательна, например, при передачах с остановками; и таквх случаях прп включении происходит сначала скольжение, пока скорость включаемого в передачу пала по достигнет должной величины. Но ясно, что фрикц. передача совершенно не годятся для тех случаев, когда необходимо точно соблюдать постоянство передаточного числа и (отношение числа оборотов одного и другого вала и=-Л «
lit /
например, в часовом механизме. Зубчатия колеса (Фигура 3). Чтобы устранить необходимость в нажатии JC.
Фпг. 3.
и сообщить передаче постоянство отношения угловых скоростей, К. снабжают зубьями. В такон передаче окружности, соответствующия соприкасающимся цилиндрам фрикц. передачи, называют начальными окружностями. Начальные окружности делят па равные части. Половина каждого такого деления будет соответствовать зубу одного колеса, а другая половина будет представлять впадину, в которую входит зуб другого К. Каждое такое деление па начальной окружности называется шагом ИС. Назовем через t шаг К.г Zj и zs—числа зубьев на одном и другом К.,Г| и г“— радиусы начальных окружностей, и п—числа оборотов; тогда будем иметь;
2а г, _ 2а г«
z — Z >
7Л 7.
откуда 2~= =
Ч г.
м
т. е. числа яубьев прямо пропорциональны радиусам сцепляющихся колес начальных окружностей и обратно пропорциональны числам оборотов.
Зубч. К, приготовляются в большинстве из чугуна, J а кроме того из стали, бронзы и кожи. Каждый зу- | бец представляет (фигура 4) цилиндрическую иоверх- |
Фнг. 4,
л ость, направляющая которой есть крпвая, называемая профилем зуба, а образующая ость прямая сс параллельная оси колеса. Очертание зуба симметрично относительно радиуса колеса, так как колесо должно вращаться в ту и другую сторопу. Толщиной зуба называется его измерение по начальной окружпостн (eF=S, см. фнг. 4). Если бы колеса приготовлялись вполне точно, то шаг был бы равен двойной толщине (fc =: 2S). По обыкновенно, вследствие неточности выполнения, между зубьями получаются зазоры, так что t=2S —}— 6, где о—велпчппа зазора. Измерение зуба, параллельное оси колеса (Ь), называется длиной зуба. Высота зуба (1) берется обыкновенно равпоии 0,7 t. Часть, лежащая выше начальной окружности, лаз. головкой вуба (ея выс.=0,3 t); часть, лежащ. ниже начальной окружности, наз. ножной зуба (ел выс.=0,41).
Для определения прочпых размеров зуба его рассматривают как балку, ущемлеппую в основапии зуба и нагруженную силой Р (окружное усилие), приложенной к вершине зуба (основание зуба х принимается равным 0,51), Тогда, па основании уравнения крепости при нагибе, будем иметь:
Ьх2
ломающий ыомепт М=РИ == —А—, В (В — допустимоенапряжение материала). Вставляя сюда принятия соотношения, получим:
Р. 0,7t =
b (0,51)2 6
В, или Р=Д b. t,
где А—некоторый коэффициент, зависящий от допустимого напряжения материала. Для чугунных К. при ручных передачах можно Припять Д от 0,18 до 0,21 (при условии, что размеры дапы в миллиметров. и сила в килограммахр.). Для приводных передач нужно принять во внимание нзнашииапие зубцов и число оборотов вала; в таких случаях можтто брать К. по формуле Д =0,2 — 0,01 |/п где и число оборотов в мнп.
Из выражения Р=Д bt видно, что пужпуго прочность зуба можно получить, увеличивая или шаг t плн длину зуба b. ИИо елпвиком длиппых зубьев делать по следует, так как в этом случае, при перекосе, давление может сосредоточиться на конце зуба (смотрите фнг. 4), причем зуб сломается не в основания, а но контуру g|hjijk|. Точпо так же не следует делать зубья слишком короткими, так как при этом на единицу длнпы придется слишком большое давление от окружного усилия, и зубья будут елппиком скоро изнашиваться. При приводных передачах длина зуба может выбираться по формуле Ь=0,4 t: Д.
Иногда в чугупныии обод колеса вставляются деревянные зубья (фнг. 5) для более мягкой, безшумной передачи; в таком случае толщина деревянного зуба берется на 30% больше по сравнению с чугунным к па прибавочную толщппу деревяпиого зуба увеличивается и величина шага.
Чтобы при помощи зубч. колес движение передавалось от одного вала к другому при постоянном отпо-шепин угловых скоростей, для этого профили зубьев должны удовлетворять известным условиям. Вообра
зим, что яа фнг. 6 mj и ms представляют осл валов, кривия ajbdj и asbd2 представляют части профиля зубьев, жестко связанные при посредстве стержней R| R3 с вращающимися валами. При вращении валов точка Ь, принадлежащая стержню R(f будет двигаться со скоростью В|, нормальной к Rj, а точка Ь, принадлежащая стержню R“, будет двигаться со скоростью Во, нормальной к R3,“Проведем линию tjtj, касательную к кривым ajbdt и aabd2 в точке Ь, и разложим скорости В| и V. на скорости сеа, тангенциальные к кривым и нор в мальныл C1C- Для того, чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы скорости Си и Со, 6 нормальные к соприкасающимся профили м зубьев, были равны, иначе зубья должны или врезаться друг в друга или отходить одип от другого. Из подобия треугольников имеем:
Си
Ви
А
R,
с3 _
|
V | |||
|
В |
/ | ||
|
“Л | |||
|
iptl. |
л | ||
|
ДЛ | |||
|
Ци fflS | |||
