> Энциклопедический словарь Гранат, страница 288 > Логика
Логика
Логика (греч. иоуо; — слово, разум, мышление), наука о законах правильного мышления. Поскольку целью правильного мышления является некоторая система знания, наука,—Л. есть наука о знании, или учение о том, что делает науку наукой. Последнее определение предпочтительнее, так как употребление слова „мышление“ допускает смешение законов логики с законами психологии. Мышление может быть рассматриваемо с точки зрения условий его правильности и с точки зрения фактического течения наших представлений. Первый вопрос— как должны сменяться наши представления, чтобы достигнуть истины (при каких условиях достигается истина) — вопрос Л.; второй вопрос— как фактически сменяются представления—вопрос психологии. Психологизм в Л., т. е. попытка объяснить логические законы при помощи психологического анализа (смотрите Липпс, „Основы Л.“; Гёфлер, „Основные учения Л.“), является результатом забвения того, что Л., как наука о научном знании, не может быть обоснована помощью какой-либо отдельной науки, ибо она, напротив, является основой всякой науки (Наторп, „Л.“; Гуссерль, „Логич. исследования“). В противоположность наукам о естественных законах бытия, Л. определяют, как нормативную дисциплину или дажекак техническое учение о мышлении (Зигварт); но логические законы становятся нормами только через употребление; как таковые, они суть законы чисто объективные, как и законы математики (Риль). Поэтому метод Л. не каузальный (психологический или биологический! и не телеологический, но он чисто объективный, как и метод математики (Наторп). С точки зрения своего предмета Л. может быть названа формальной дисциплиной: она определяет лишь отношения между отдельными содержаниями мысли и законы этих отношений, не касаясь вопроса о самом содержании. В этом отношении Л. должна быть отграничена от гносеологии (теория познания), ведению которой подлежит вопрос о материальных условиях достижения истины (Введенский, „Л., как часть теории познания“). Так как Л. изучает науку со стороны ея формы, и так как наука определяет свой предмет при помощи общезначимых суждений, то главнейший отдел Л. есть учение о суждении и о условиях его истинности. Однако, в виду зависимости логического процесса суждения от понятий, учению об суждении предпосылается учение о понятии. Понятие есть выраженное в слове единство всех существенных признаков, мыслимых в каком-нибудь общем представлении, или понятие есть представление однозначно определенного содержания. Слова, значения которых суть понятия в указанном строго логическом смысле, называются научными терминами. Большинство представлений ненаучного мышления отвечает требованию однозначной определенности лишь в весьма малой степени приближения. Образуется понятие путем анализа сложного конкретного представления и выделения помощью абстракции определенной части признаков. Совокупность этих выделенных и удержанных признаков называется содержанием понятия. Каждому понятью в мире реальных вещей соответствует не один предмет, а многие. Совокупность всех предметов, соответствующих понятью определенного содержания, называется объёмом этого понятия. Говорятъиначе: предметы принадлежат к объёму по-
Во всякой формуле у=ах% выражающей результат возвышения в степень какого-нибудь числа, имеются три величины: число а, возводимое в степень; показатель степени х. и степень у. Всякое число у может быть представлено, как некоторая степень х другого числа а; в таком случае х называется логарифмом числа у при основании а. Если в то же время у может быть .выражено как степень х другого числа 6, т. е. если У=bХ‘ » то х будет логарифмом числа у при основании b. Отсюда следует, что логарифмом какого-нибудь числа при некотором основании называется показатель степени, в которую надо возвысить основание, чтобы получить данное число. Каждое число может, стало быть, иметь безконечное число логарифмов, в соответствии с безконечным числом возможных оснований. Логарифм принято означать символом lgt при чем основание часто пишется внизу о правой стороны этого символа; таким образом,;если у=ах=Ьх то Идау—х, и Идъу=х. Эти формулы могут вместе с тем писатьсяидх уследующим образом: у—α=6 —Пусть у—а, иу=ах Умножение и деление этих равенств даетформулы: уу= ахах=ах+х% и X
У ах
стало быть,“1д{уу)=х+х=1ду+1ду и Ид
У
У
=. х — я=
= ИдуИду’. Кроме того, угг=апх,
X
-след.,; lg[yn)-nx=nlgyi и Ид
£ 2ду_
п. п.
Этиотношения выражают четыре основных свойства логарифмов: 1) логарифм произведения равен сумме лога-, рифмов множителей; 2) логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя; 3) логарифм степени какого-нибудь числа равен произведению логарифма этого числа на показателя степени; 4) логарифм корня какого-нибудь числа равен частному от деления логарифма этого числа на показателяг корня. Во всех этих формулировках предполагается, что основание в операциях берется одно и то же. Из приведенных свойств логарифмов вытекает возможность замены умножения сложением, деления вычитанием, .возвышения в степень умножением, а извлечения корня делением: операции между числами заменяются операциями между их логарифмами, а потом по логарифму результата находят самый результат.. В этом и заключается существенное значение логарифмов.—Логарифмы чисел, а также тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) даются в таблицах логарифмов. За основание логарифмов берется либо число 10 (в десятичных, или бригговых, логарифмах), либо иррациональное число е=2,7182818284;..„ о котором речь будет ниже (в натуральных, или гиперболических, логарифмах). Каково бы ни было основание логарифмов, из равенств а°=1, а“>=а вытекает, что логарифм единицы при всяком основании есть пуль, а логарифм самого основания равен единице. Вместе с тем ясно, что логарифм числа, большого, Чем основание, превышает единицу, тогда как логарифм числа, меньшого, чем основание, есть правильная дробь,—
при предположении, что в обоих случаях само осно-%
вание больше единицы. Так, 42=Ви—2;4.2 — ТЧ
=8, и потому Гу48=|=1,5, а lg42=|=0,5. Остановимся теперь подробнее на логарифмах при основании 10. Что вытекает из формулы 10ж=уе Здесь может быть три случая: 1) у= 10п, где п—целое число, равное единице или большее единицы, и тогда х равно этому целому
I
числу п; 2) у—10 п-= -,где п—целое число, рав“
10пноф единице или большее единицы, и тогда я===п, т. е. £ выражается отрицательным целым числом; 3) у не может быть представлено в виде 10п, где п—целое число, положительное или отрицательное, и-тогда х не может быть выражено ни целым, ни вообще конечным числом, а лишь дробным числом, положительным или отрицательным, с безконечною дробью. Отсюда следует, что, при основании 10, логарифмы могут быть точно выражены лишь в виде положительного или отрицательного целого числа, а именно для чисел, изображае- мых единицей с нулями, или десятичных дробей, изображаемых единицей с нулями впереди. Логарифм числа, изображаемого единицей с нулями, равен числу нулей; а логарифм десятичной дроби, изображаемой единицей с нулями впереди, равен числу нулей до первой значной цифры (считая и нуль передъ“, занятою) с знаком минус. Так, Ид 10000=4, а Ид 0,00001=—5 или, как еще пишут, =“$ Логарифм бсякого другого числа выражается приближенно десятичною дробью; .ве которой берут, например, 5, или 7, или 10 десятая-, пых-знаков. При этом целое число логарифма, стоя-;
щее с левой стороны запятой, называется- характерц-стикою, а десятичные внаки, стоящие.с правой стороны запятой, называются мантиссою логарифма. Из предыдущого следует, что характеристика логарифма всякого числа, большого единицы, равна“ чиолу цифр целого числа минус единица. Так,. IgS — О,.; Ид 3429=3,; Ид 587,34=2,Что касается десятичных дробей, меньших, чем единица, то удобно писать их таким образом, чтобы мантисса оставалась положительною, а лишь характеристика была отрицательным числом. Возможность эта основана на том,- что логарифмы двух чисел, находящихся в отношении 10 (п целое), отличаются характеристиками, но но мантиссами; в самом деле, если е/=а.. 10w, то lgy=lga-b + Ид[10п)=Ида- -п, и Иду—Ида=п, тче. два логарифма различаются целым числом п. Отсюда, видно, что Логарифм всякой десятичной дроби имеет мантиссу, которая но отличается от мантиссы логарифма числа, получаемого от десятичной дроби, если отбрасывается запятая. Что же касается характеристики десятичной дроби, то она равна характеристике целой части дроби; если же целой части нет, то мантисса равна цоложит тельной мантиссе целого числа, получаемого при отбрасывании запятой, а характеристика равна отрицательному числу, заключающему в себе столько единиц, сколько нулей стоит перед первою значною цифрою“ дроби, считая и нуль перед занятою. Так, логарифмы: чисел 325,73 и 0,000489 имеют соответственна xapa-> кгеристики 2 и. 4, а мантисоами положительные числа, равные мантиссам логарифмов чисел 32573 и 489.
Часто вместо отрицательных характеристик пишут положительные дополнения их до 10, с подразумева-нием —10. Так, Ид2=0,30103; а tyO,02= 5,30103= =8,30103 (—10). После того, как выяснено, как определяются характеристики логарифмов целых чисел и десятичных дробей, и каким образом определение мантисс логарифмов десятичных дробей сводится на определение мантисс логарифмов целых чисел, остается показать, как вычисляются мантиссы логарифмов целых чисел. Это вычисление может быть прежде всего сделано методом непрерывных дробей. Пусть требуется найти Ид2=х. Это значит искать корня показательного уравнения 10=2. Так как искомый логде г >1. Мы имеем 10 3 =2, откуда 2= 10. Так как 2=8 и 2= 16, то г заключается между 3 и 4, и можноположить- и=3+2, где t > 1. Наше уравнение полуи 2 1
чает вид: 23 + =10, или 28. 2 t=10, откуда 2 t =
10 5
/5 4 t и _ / 5 125
(-J =2. Так как (j) =
последовательными ординатами будет (1 + а) 1
—(1+а)Р=(1+а)Р (1+а—И)=а (1 + э)Р. Если р очень велико, то узкую криволинейную трапецию между двумя последовательными ординатами, абсциссою и гиперболою можно принять за прямоугольник, которого основаниеесть ордината —,—а высота а (1 + а )Р; площадь r (1+а)Р
подобного весьма малого прямоугольника будет, стало быть, а( 1+а ) Р =а.Площадь всей криволинейной трапеции, заключающей в себе р подобных прямоугольников, равна произведению ра. Но для конечной ординаты я=( 1+а ) Р, откуда Igx=pig (1+а), и, сдед.»
Цхр — T7Z- Искомая площадь выражается, стало быть,
Ы 1+а)
,61 /5 у 625 и 113. „ 1 _ ,
— Ихт, a I —)=— =2—, то =3+ -, где и > 1.
64 44/ 256 2о6 и
Продолжая подобным образом далее, мы можем получить логарифм числа 2 в виде непрерывнойдроби: Ид2=
3+ Можно В8ять столько звеньевнепрерывной дроби, чтобы получилось желаемое приближение для величины логарифма. Дапный метод нахождения логарифмов требует кропотливых вы числений. В действительности же для вычисления логарифмов применяются формулы безконечных рядов, связанные с теорией натуральных логарифмов.— Натуральные логарифмы еще называются неперовыми, так как они впервыф были предложены Непером, изобретателем логарифмов. Они еще называются гиперболическими, на следующем основании: если в равно сторонней гиперболе,отнесенной к ассимптотам, как осям, принять абсциссу вершины за единицу, то пло щадь криволинейной трапеции, заключенной между гиперболою, осью абсцисс и двумя ординатами—ординатою вершины и конечною ординатою у, соответствующей абсциссе х,—выражается неперовым логарифмом logx (символ log часто служат обозначением неперова логарифма). В самом деле, уравнение равносторонней гиперболы может быть представлено в виде ху= 1. Если разделить абсциссу, сторону криволинейной трапеции на р отрезков, возрастающих от вершины в геометрической йрогрессии о знаменателем отношения 1+а, то абсциссы будут 1, 1+а, (1+а)2,(1+а)3,..
( 1+а) Р, а соответственные ординаты будут 1,,
тте - (и2~.иРазст°явие н<ждудвумявеличиною рα=
algx lg{ 1+а) и-
Igx
Igx
alg{ 1+а) !е[(!++]
Если р безконечно велико, то а безконечно мало, и
(1+а ) а имеет пределом некоторое число е=прфд _1
[(1 + а )я]; тогда формула— выражает точно
J а—О- идеискомую площадь гиперболической трапеции. Если же за основание логарифмов взять число е, то loge== 1, и величина площади гиперболической трапеции выражается формулою=logx, что и следовало доказать. Число е, или loge 1
предел величины (1+а)® црп безконечно малом- а,
вычисляется при помощи бинома Ньютона: (1+а ) α=
, КН КН (Н
1 .2
а2+
1.2.3
а3+
+=и+и+ +
(И-g) + (И-a) П—2) + _
в пределе,
1.2.3
при а=0, е выражается безконечным рядом е=1+1+
+ То +
1.2 1.2.3 ’ 1.2.3.4
+ =2,7182818284 Вместес тем не трудно показать, что е“= 1 + -j- + j-jj. + +выражает предел величинып 1.2.3 1.2.3.4 1_
(1+ая ) ®, когда а стремится к нулю. Пусть теперь y—log[ 1+я), где х есть положительное или отрицательное количество, по абсолютной, величине меньшее едиг У У1
ницы. Уравнение это дает l+tf=e=1+ +
у3 у, у“. Уг, У,
+ ииз+ 0ТКУда т + Ил + ТТз + Еш +
+ Чтобы найти, каким образом выражается у,
как функция от х, можно представить у в виде безконечного ряда а1х+аих2+агх3+аихе+ в которомвеличины Яи, а3, а„ а4 могут быть вычислены изпредыдущого уравнения, по методу неопределенных коэффициентов, приравнивая нулю коэффициенты ка-
_. (<а1х+агхи+)
ждой степени х в уравнении х-------
_ (аих+агх>+)>_ fas+a, хЧг~У Отсюда
1.2 1.2.3
1 1,1
получаются значения аг= at= — —, <h “+-£- а« =
__1
“ 4’
| и так далее | Мы | имеем, |
| X X2
Т_ “2 | + — 3 | ичч.
+ |
%(1+ж)=
сходящийся ряд, если абсолютная величина х не больше единицы. Указанные формулы доказываются весьма просто и строго в дифференциальном и интегральном исчислении. Пусть х будет положительная дробь, меньшая единицы. Предыдущая формула дает log[ 1—х) =
х1 ха
~2 Т
х“
“7
- Вычитая эту формулу из
т 1+ж „ (х,
предыдущей, мы получаем: log —=2 I — + — + 1—х N 1 3
ж“ 1
4- -г— + 1. Сделаем х— -, где k—целое число;
О s Д + И
«, 2(+1) < тогда 1+®= —тГи-, 1—ж=
2Л+1 2 k
2Л+1
иод=гог(Ь+1)-!ОДЬ=2 [
1+х _ к+1 2&+1 ’ 1—х ~ Ь 1
+ - 4_
2fe+l т 3(2&+1)·
+ ь&к+И)· Последняя формула позволяет вычислить log(k+1), когда известен Иодк, при помощи быстро сходящагося ряда. Можно начать с Иод2 =
-Ио»(1+1)=1 —1+-И —И + -И —и + J от
2-х восходят к 3-м, 4-м, и так далее, и таким образом могут быть вычислены неперовы логарифмы всех целых чисел.—Как перейти теперь от неперовых логарифмов к бригговымъеСуществует весьма простая формула для перехода от логарифмов, вычисленных при одном основании, к логарифмам при другом основании. Пусть х=Щк; тогда к=Их. Возьмем логарифмы обеих частей этого равенства при новом основании а; мы будем иметь lgak=xlgal, откуда х=
или Идик=1дак. ——г~, т. е. логарифм числа при осно-19а“
вании I равен произведению логарифма этого числа при основании а на обратную величину логарифма основания I, вычисленного при основании а. Этот множитель
, служащий для перехода от одной системы логарифмов к другой, называется модулем. При переходе от неперовых логарифмов к бригговым, модуль
1 1
есть - =——— =0,43429448; на это число надо по-
log 10 lge 10
множить неперов логарифм, чтобы получить логарифм при основании 10. Подобным образом вычисляются всякие таблицы логарифмов.—Покажем теперь на примере, как вычисляется помощью логарифмов какое-нибудь сложное выражение, заключающее в себе действия умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня. Пусть требуется вычислить количество
35,7349s. У <Щ)549“. s»n38°1517“
Перед тем, как логарифмировать это выражение, т. е. взять его логарифм, мы представим его в виде произведения только степеней—целых и дробных, положительных и отрицательных:
и. _8
г=35,7349“. 0,00549 7. sin 38» 1517“. 32,87 5
Логарифм этого количества выражается следующим образом:
Igx=3!е35,7349 + у lg 0,00549 + 2Jys»B381517“ —
—Z<732,87. При логарифмировании обыкновенно, ради простоты и единообразия, избегают вычитания логарифмов, а отрицательный логарифм заменяют его дополнением до 10 (подразумевая—10), что отмечается символом gonlg. Тогда искомый логарифм принимает следующий вид:
U/x=Ыд 35,7349 +
ИдО,00549 + ЯИдзипЗЬЧЬ17“ +
4- доп— 132,87. Вычислим теперь отдельные слагаемия 5
этого выражения. В первом слагаемом 35,7349 имеет характеристикою 1, а мантиссою—мантиссу числа 357349. Допустим, что у нас есть таблицы только 4-значных чисел. Вместо логарифма 6-значного числа 357349 будем искать логарифм числа 3573,49. Искомый логарифм заключается между логарифмами чисел 3573 и 3574. Таблицы дают мантиссу Ид 3573=55303, а мантиссу Ид 3574=55315; разность между обеими мантиссами составляет 55315—55303=12, причем эта разность соответствует разности чисел в 1 единицу. Допуская приближенно, что при небольших разностях чисел зцковия пропорциональны разностям соответственных логарифмов, мы находим для мантиссы Ид 3573,49 сумму 55303 + 12.0,49=55303 + 5,88=55309. Итак, Ид 35,7349=1,55309. Помножая этот логарифм на 3, мы получаем 335,7349=4,65927. Переходя ко второму слагаемому, мы видим, что характеристика Ид 0,00549 равна 3, или 7—10; мантисса этого логарифма, равная мантиссе числа 549, дается таблицами, а именно 73957; след., Ид 0,00549=7,73957—10. Чтобы найти произведение этого логарифма на —, мы его умножаем сначалана 4, причем получаем 80,95828—40, а потом делим на 7, причем предварительно прибавляем 30 к вычитаемому и уменьшаемому для того, чтобы вычитаемое
_ 60,95828—70
разделилось без остатка на 7; получаем---=
=8,70883—10. Мы имеет, стало быть, для второгослагаемого — Ид 0,00549=8,70833—10. Для вычислениятретьяго слагаемого мы прежде всего находим в таблицах Ид sin 38°15,=9,79176(—10). Так как следующий логарифм Ид 38°16=9,79192, и разница между мантиссами для 1 минуты составляет 16, то для 17 секунд
16.17 „
можно принять разницу пропорционально в —— =5,
и Igsin 38°1517 “=9,79181 (—10). Помножая этот логарифм на 2, мы получаем для третьяго слагаемого 2 Ид sin 38°1517“=19,58362—20=9,58362 (—10). Переходя к четвертому слагаемому, мы видим, что характеристика Ид 32,87 равна 1; мантисса этого логарифма, равная мантиссе Ид 3287, дается таблицами; она равна 51680; след., Ид 32,87=1,51680. Помножая этот логарифм на мы получаем-- 32,87=1,82016. Дополнение этого логарифма получается, если последнюю цифру справа вычесть из 10, а все остальные из 9:
доп Ид 32,87=8,17984 (—10). Таким образом мы получаем следующую таблицу слагаемых:
+
3 Ид 35,7349 =
4 Ид 0,00549 =
2 Ид sin 38°1517“ =
доп Ид 32,87 =
4,65927
8,70833 (—10) 9,58362 (—10) 8,17984 (—10)
Идх. =31,13106 (—30)
130
Идх =1,13106
098—1352,25
Сумма этих слагаемых дает Идх= 1,13106. Остается теперь по логарифму результата найти число, или самый результат. Ищем в логарифмических таблицах и находим, что два последовательных логарифма с мантиссами 13098 и 13130, между которыми заключается мантисса нашего логарифма 13106, соответствуют числам 1352 и 1353. Разности чисел на единицу соответствует разность мантисс 13130—13098=32. Искомое число заключается между 1352 и 1353; оно превышает 1352 на дробь, составляющую такую же долю единицы, какую разница мантисс 13106—13098=8 составляет по отношению к разнице мантисс логарифмов 1353
и 1352, т. е. —=0,25. Мантисса нашего логарифма соответствует, стало быть, числу 1352,25; а так как характеристика нашего логарифма есть 1, ибо Идх= 1,13106, тох= 13,5225.
результат, который иначе мог бы быть получен лишь путем крайне трудных вычислений, которые потребовали бы огромной траты времени.—Идея логарифмов и основное свойство их были известны еще до Непера (ЛГ. Stieffel), и даже были составлены таблицы логарифмов, которые не были опубликованы (J. Вугде). Замечательно, что проекция географических карт Меркатора («морские карты»), в которой меридианы и параллели изображены системами параллельных линий, причем расстояния параллелей от экватора возрастают пропорционально натуральному логарифму тангенса полудополнения широты, была открыта Меркатором (Герардом Кауфманном) в 1569 году, задолго до изобретения логарифмов. Теорию этих карт, основанную на суммировании секансов, дал, еще раньше появления книги Непера, английский математик Райт (Wright) в 1589 году; теорема о расстоянии параллелей была предложена Бондом (Bond) уж после изобретения логарифмов, в 1645 году, а впервые доказана она была Джэмсом Грегори в 1663 году. Книга шотландского барона Джона Непера «Mirifici logarithmorum canonis descriptio» (John Napier) появилась на латинском языке в Эдинбурге в 1614 году. Название «логарифмъ» он составил из двух греческих слов Хбое (слово, разум, отношение) и aptfytoc (число). Книга отражает энтузиазм изобретателя. Непер воображал движущееся тело, проходящее расстояния, изменяющияся в геометрической прогрессии, когда время возрастает в арифметической прогрессии: расстояния были для него логарифмы времени. Тридцать три года спустя Грегуар де Сен-Венсан доказал, что если в гиперболе, отнесенной к ассимптотам, площадь, заключенная между ординатою вершины, кривою и ассимптотою, растет в арифметической прогрессии, как сумма равномерных кривых трапеций, то ординаты растут в геометрической прогрессии; это ведет к теореме о гиперболических площадях, как о неперовых логарифмах абсциссы. Немедленно после появления книги Непера, она обратила на себя внимание двух выдающихся математиков—упомянутого Райта и Генри Бригга. Первый перевел книгу Непера на английский язык, второй условился с Непером относительно перехода к системе логарифмов при основании 10. Непер умер в 1617 году. В этом же году появилась книга Бригга, «Logarithmorum chilias ргита», первое издание логарифмов при основании 10, всего в 60 страниц, in—8°. В 1624 году Бригг выпустил фолиант «Arithmetica Logarithmica», в 300 страниц, в том числе 88 страниц введения и пояснений; книга эта заключала в себе логарифмы от 1 до 20.000 и от 90.000 до 100.000. Пробел был пополнен гентским математиком Адрианом Бланком. Бригговы логарифмы тригонометрических функций были впервые даны английским астрономом Эдм. Гунтером в книге «Canon triangulorum» (1620), а потом (1628) Бланком в «Arithmetica logarithmica». Бланк дал логарифмы с 10 знаками. Впоследствии появились труды Вега, Тэйлора и Бреми-кера (7-значныф логарифмы). Таблицы Ноланда дают 5-значныф логарифмы. — Гауссом составлены таблицы для определения суммы и разности двух чисел по логарифмам этих чисел; это—гауссовы логарифмы,
Таким образом, помощью логарифмов легко найден
Ю. Делевский.
нятия, падают под этот объём или содержатся в нем. Также говорят: они образуют класс. Порой различают логический и эмпирический объём понятия. Первый определяется числом тех предметов, которые могут существовать с представленными в этом содержании свойствами. Второй заключает те предметы, которые существуют, как известно из опыта, теперь. Чем большим является объём понятия, тем более „общимъ“ является оно. Если одно понятие отличается от другого понятия только одним признаком х, а во всех остальных признаках сходно, то можно вывести второе понятие из первого путем логической абстракции от признака х, и первое из второго путем логической детерминации (ограничения) при помощи признака х. Понятие, имеющее на один признак х больше, чем другое, по содержанию богаче этого другого (второе беднее). Если из одного понятия А, благодаря каждому из его нескольких детерминирующих признаков, получается столько же понятий, объёмы которых в совокупности дают объём А, то относящиеся к каждому из понятий предметы образуют вид (species), а все виды вместе образуют род (genus). Соответствующия понятия называются видовыми и родовыми. Признаки, отличающие их, называются видообразующими различиями (differentiae specificae). Род есть нечто высшее по отношению к виду, вид подчинен роду. Если виду подчинены, в свою очередь, другия понятия, то они образуют подвиды по отношению к роду. Ближайшее к данному понятью высшее понятие называется genus ргохи-тит. Общим обозначением для каждой из этих совокупностей служит „классъ“ (в широком смысле слова). Если несколько понятий могут быть выведены из одного и того же родового понятия при помощи видообразующих различий, принадлежащих одному и тому же ряду признаков, эти понятия называются соподчиненными (координированными); по отношению друг к другу они образуют co-виды (например, равносторонний, равнобедренный, треугольники). Отсодержания понятия зависит его объём: если содержание состоит из различных признаков, то под понятие падают различные предметы. Из каждых двух понятий более бедное по содержанию понятие имеет больший объём. Между объёмами понятий возможны пять видов отношений: 1) подчинения, 2) равенства объёмов, 3) отношения высшого к низшему, 4) перекрещивания объёмов и
5) исключения. Второе отношение, четвертое и пятое чисто обратимы. Первое отношение при обращении дает третье, третье—первое.
Об одном и том же предмете возможны понятия с различным содержанием (например: круг=плоская, замкнутая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от одной точки;=сечение шаровой поверхности плоскостью;=сечение шара шаром и так далее). Признаки, составляющие данное понятие, называются конститутивными, вытекающие из них— консекутивнъши. Если путем логической абстракции можно переходить к высшим родовым понятиям, то возникает вопрос, не существует ли наивысших родовых понятий, под которые может быть подведено все могущее быть представленным. Такие понятия, дальше которых абстракция идти не может, носят со времен Аристотеля („Organon“) название категорий (смотрите), (бытие, сущность, свойство и так далее). Важное место в Л. занимают понятия отношения. Напр., понятие совместимости и несовместимости. Тот вид несовместимости, который существует между утверждением и отрицанием, называется противоречивой t противоположностью, или контрадикторной (смотрите) противоположностью. Эта противоположность переносится и на; понятия (например, зеленый и незеленый, А и non А). Аристотель различал еще противную противоположность (зеленое—белое).—Ценность понятия (познавательная) заключается в его точности. Точность достигается помощью определения (дефиниции). Определение есть полное и приведенное в порядок указание проанализированного на свои признаки содержания понятия. Определения, которые анализируют данное содержание понятия на его признаки, называются аналитическими определениями; определения, которые путем синтеза признаков впервые создают содержание понятия, называются синтетическими. Определение выполняется двояким способом: 1) путем перечисления всех признаков понятия, 2) путем указания generis proximi и differentiae spe-cificae. Указанный genus может потребовать сам цепи субдефиниций. Ясно, что понятия, содержание которых является простым, определению не поддаются. В определении могут встречаться ошибки. Оно может быть слишком узким и слишком широким, а должно быть соразмерным (адекватным). Напр.: диагональ есть линия, соединяющая вершины двух углов четыреугольника. Это определение и слишком узко (вместо четы-реугольник, следует — многоугольник) и слишком широко (вместо линия, следует—прямая линия). Второй ошибкой является круг в определении. Напр.: вращение есть движение вокруг оси (а что есть осье).—Деление понятий, или классификация (смотрите), есть полное и приведенное в систему указание видов какого-либо рода. Для правильного деления необходимо установить основание деления (funda-mentum divisionis), т. е. признак подлежащого делению рода, который, будучи разложен на ряд своих видовых различий, разлагает также и род на его виды. По числу членов деления различают дихотомии, трихотомии, политомии. Если в качестве основания деления взять два или несколько родовых признаков одного и того же делимого понятия, то получается соразделение. Если члены уже произведенного деления снова подвергаются делению, получается подразделение. Часто встречающейся ошибкой деления является отсутствие одного основания деления. Напр.: делениетреугольников на равносторонние и прямоугольные.— Учение о суждении. Суждение есть акт мысли, связующий отдельные ея содержания и выполняемый с сознанием его общеобязательности. Словесное выражение суждения есть предложение; в нем мы чтонибудь высказываем ф чем-нибудь. То, о чем высказывается, есть логическое подлежащее {субъект)-, то, что высказывается, есть логическое сказуемое {предикат). С точки зрения различия субъектов, предикатов и отношений между ними в Л. дается классификация суждений. Традиционной является таблица суждений Канта, который рассматривает их с точки зрения количества (общия, частные и единичные), качества (утвердительные, отрицательные и безконечные), отношения (категорические, условные и разделительные) и модальности (проблематические, ассерторические и аподиктические). В настоящее время учение о суждениях, отчасти примыкая к кантовскому, представляется в следующем виде. Суждения общия (или универсальные) относятся ко всему объёму понятия, являющагося в нем субъектом (все А суть В). Частные относятся к некоторой, ближе не определенной части объёма субъекта (некоторые люди не имеют белого цвета кожи). Что касается единичных (или индивидуальных) суждений, то их в некоторых специальных логических отношениях рассматривают,какъобщия(Иван есть человек), в других случаях—как частные (поскольку при индивидуальных суждениях, как и при частных, отпадает вопрос об их „общезначимости“). Деление суждений на утвердительные (А есть В) и отрицательные (А не есть В) было осложнено учением Зигварта об отрицательном суждении. Он показал, что отрицательное суждение есть, в сущности, суждение о суждении: суждение: „А не есть В“=суждению: „суждение А есть В—ложно“. Безконечными Кант называет суждения вида: „А есть не-В“. Изкомбинации двух вышеизложенных делений получаются имевшие особое значение в старой Л. классы: общеутвердительных (обозначавшихся буквой А) суждений, общеотрицательных (Е), частноутвердительных (I) и частноотрицательных (0). Прим.: А— „все радиусы круга равны между собою“; Е—„ни одна часть окружности не есть прямая линия“; I—„некоторые люди обладают черным цветомкожи“; и О — „некоторые треугольники не равноугольные“. Особое положение занимают суждения об существовании (экзистенциальные), которые не имеют другого смысла, кроме утверждения или отрицания „существования“ утверждаемого. В противоположность им другия суждения не задаются вопросом о существовании, и мысль, ими выражаемая, касается исключительно утверждения или отрица-(ю10) (ю10)
ния. Прим.: 10 < 10 +1. Всевышеупомянутия суждения, как высказывающия относительно субъекта предикат, называются категорически-лш.В противоположность этому,суждение вида: „Если есть (нет) А, то есть (нет) В“—называется условным (гипотетическим). В нем отношение зависимости устанавливается между предшествующим предложением (гипотезис) и последующим (тезис). Суждение вида: „Есть или А, или В, или С“ называется разделительным (дизъюнктивным). Отдельные суждения: „Есть А, есть В, и так далее“ называются альтернативами. Если предшествующий и последующий члены условного суждения и члены деления разделительного суждения представляют сами категорические суждения, то мы имеем кате-горически-условное и — разделительное суждение. Высказывая суждение, мы можем подчеркнуть необходимый характер отношения зависимости, и тогда, вместо суждения: S есть Р (ассерторического), получаем суждение: S должно быть Р (аподиктическое). Прим.: „Равносторонний треугольник должен быть равноугольнымъ“. Противоположным по смыслу является суждение, утверждающее несовместимость: „Равносторонний треугольник не может быть прямоугольнымъ“. Устраняя несовместимость, мы получаем возможную зависимость (проблематическое суждение): „равнобедренный треугольник может быть прямоугольнымъ“.
Соединение многих суждений дает формы сложного суждения (не смешивать с формами грамматически сложных предложений; например: чисто-условное суждение). Соединение суждений с одинаковым субъектом дает конъюк-тивное суждение: „S есть А, С, D“ и так далее |
Соединение суждений с одинаковыми предикатами—индуктивное: „S, S2, S3 суть Р“. К сложным относится и частичное разделительное: „S есть отчасти Р, отчасти Q и так далее“. С точки зрения достоверности высказывания суждения разделяются на достоверные (вполне) и вероятные. Эти последния (но не первыя) могут располагаться по степеням. Со времен Канта различаются еще суждения: 1) априорные и апостериорные, 2) аналитические и синтетические. Суждения а posteriori проистекают из опыта, познаны эмпирически; суждения а priori отличаются необходимостью и строгой всеобщностью. Таковы почти все математические положения. Если мы определим понятие „тело“, как понятие о чем-то протяженном, то суждение: „все тела протяженны“ непосредственно очевидно на основании исключительно этого определения, чего нельзя сказать о суждении „все тела тяжелы“. Суждения первого вида Кант назвал аналитическими, суждения второго вида—синтетическими.
Суждения всех вышепредставлен-ных видов претендуют на признание, т. е. на истинность, но истинность присуща лишь суждениям, обладающим свойством очевидности. Очевидность суждения должна быть отличаема от достоверности его. Могут быт очевидно - достоверные и очевидновероятные суждения.
Учение о выводе и доказательстве. Очевидность суждений может быть дана непосредственно, как, например, в суждении: „белое не есть черное“, где очевидность дана, лишь только суждение понято. По отношению же к суждению, смысл которого хотя нам и понятен, но истинность которого нам неясна непосредственно, мы сознаем за собой логическое право и даже обязанность поставить вопрос:„почему“, вопрос об основании суждения. Мы познаём в качестве такового всякую совокупность мыслей, которая делает это суждение посредственно очевидным для нас, и постольку мы называем наше суждение следствием указанного основания. Та совокупность, для объясняющей полноты которой ничего уже не требуется, называется достаточним основанием. Вполне посредственно очевидным является суждение, достаточное основание которого представляет собою непосредственно очевидные суждения. — Выведение суждения (дедукция) из одного или нескольких суждений, принятых за истинные, есть вывод, умозаключение. Принятия за истинные суждения называются предпосылками, или посылками вывода; выведенное суждение называется заключением. Логическая теория вывода может отвлечься от „материальной“ (по существу) истинности или ложности посылок и исследовать форму вывода самоё по себе. Задача логического учения о выводе заключается в установлении и обосновании законов, от какого именно признака посылок зависит, может ли быть определенное суждение выведено из них или нет. По числу посылок, которые достаточны для обоснования заключения, различают выводы из одной посылки (непосредственные умозаключения), выводы из двух посылок (простые силлогизмы) и выводы из более чем двух посылок (сложные силлогизмы). В грамматическом выражении выводов одна или несколько посылок остаются часто -скрытыми. Такие выводы называются энтимемами. Непосредственное умозаключение может быть произведено семью способами. 1) Обращение (конверсия) состоит в том, что члены суждения меняются местами; в чистом виде оно допустимо лишь при равенстве объёмов субъекта и предиката. В противном случае возможно лишь обращение через ограничение. 2) Контрапозиция: члены суждения меняются местами; противоречивая (контрадикторная) противоположность сказуемого становится подлежащим, и качество суждения меняется. 3) Преобразование относительности: из категорического суждения выводится гипотетическое,из дизъюнктивного несколько гипотетических.
4) Суб альтернация: из общого суждения выводится частное, из отрицания частного вытекает отрицание общого.
5) Эквиполлещия: меняется качество суждения и качество сказуемого. 6) Оппозиция: из истинности одного суждения выводится ложность его противоречивой противоположности и наоборот. 7) Модальный вывод: из аподиктического суждения следует ассерторическое и проблематическое; из ассерторического — проблематическое. Из недействительности проблематического вытекает недействительность ассерт. и аподикт.; из недействительности ассертор. вытекает ложность аподикт.—Наиболее подробно в старой Л. разработано учение о силлогизме. Силлогизм (простой) состоит из трех суждений (например, М есть Р, S есть М, след„ S есть Р), которые содержат три главных термина: средний термин, который имеется в каждой из посылок, но которого нет уже в заключении (М); меньший термин, который в заключении занимает место субъекта и встречается в одной посылке, называемой поэтому меньшей посылкой, больший термин—в заключении занимает место предиката и встречается в другой посылке, называемой поэтому большей посылкой. При одном и том же качестве и количестве посылок положение трех терминов S, М, Р имеет решающее значение для значимости или незначимости вывода. Путем сочетания этих положений получаются четыре фигуры силлогизма. Первия три установлены Аристотелем (смотрите), прибавление четвертой приписывается Галену (приблизительно через 500 лет после Аристотеля). В одной и той же фигуре качество и количество посылок имеют решающее значение для значимости и незначимости вывода. Путем вариации различных по качеству и количеству суждений мы в пределах каждой фигуры получаем 16 модусов. Изследование их показывает, что из 64 возможных модусов лишь 19 являются значимыми, т. е. допускают вывод.—Если к каждому полученному из двух посылок заключению прибавляется новая посылка и из них выводится новое заключение, то получается цепь выводов. Путем многократных энтимематических сокращений цепи выводов получается „цепной выводъ“, или сорит. Различают два вида сорита. У аристотелевского сорита недостает тех заключений,
которые в следующих силлогизмах становятся меньшими посылками. У сорита Гокления (марбургский профессор в 1598) отпадают посылки, становящияся в следующих силлогизмах большими посылками. Переход в нем совершается от высших понятий к низшим.—На ряду с вышеописанными чисто категорическими выводами можно отметить выводы чисто условные (если есть А, то есть В; если есть В, то есть С; если есть А, то есть С); смешанно-условные (следует различать modus ponendo ро-nens: если есть А, то есть В; А есть; след., есть В; и modus tollendo tol-lens: если есть А, то есть В; В нет; следов., нет А). В словесной форме „вместе с основанием утверждается также и следствие“ и „вместе с следствием отрицается также и основание“. Разделительные выводы (дилеммы, трилеммы и так далее). Пример дилеммы: Если есть А, то есть или В, или С. Нет ни В, ни С; следов., нет и А. Или, выражаясь категорически: А есть или В, или С; S не есть ни В, ни С; следов., S не есть и А. — Выводы вероятности. Если 1) одна или несколько из допущенных посылок оказываются только вероятными, или 2) примененная форма вывода не была формой вывода достоверности,—выведенное суждение имеет характер лишь вероятности. Выводами в этом втором смысле являются индуктивные выводы. В то время, как в силлогизмах из общих положений дедуцируются частные и индивидуальные, здесь от единичного или частного мы умозаключаем путем индукции к общему. Прим.: от единичных наблюдений мысль ученого переходит к общему закону. Никакое конечное число единичных случаев, как бы велико оно ни было, не является достаточным, чтобы придать полученному из них путем индукции (наведения) общему положению очевидность достоверности. Достаточно одного противоположного случая, чтобы доказать, как достоверно незначимую, всеобщность полученного путем индукции положения. Истинно научная индукция не ограничивается, однако, только чтоуказанной inductio per enumerationem simplicem, она добавляет к непосредственно данным индуцирующим случаям еще некоторые мысли, которые употребляются в качестве посылок индукции и дают возможность индуктивным выводам приобрести характер если не очевидной достоверности, то все же очевидной вероятности. Одна из этих мыслей есть уверенность в существовании необходимых связей. Если к индукции возможно присоединить доказательство, что единичные случаи, из которых путем индукции сделано обобщение, суть все возможные случаи данного порядка,—тогда индукция становится полной и обращается в вывод достоверности. В качестве полной индукции в математике обозначается „вывод от и к п+И“. Этот способ доказательства со времен Якова Бернулли (1684) применяется в том случае, когда из депендентного закона (т. е. справедливого для частных случаев образования ряда) выводится индепендентный закон для общого члена ряда, т. е. закон, независящий от частных случаев. Напр.: доказательство для общого члена геометрического ряда un=aq11-1. Неполная индукция, дающая лишь очевидность вероятности, является самой плодотворной формой вывода в естественных и во всех остальных эмпирических науках. Логически правомерной эта форма индукции оказывается лишь в том случае, если совпадете признаков в частных случаях оказывается необходимым; тогда соединение этих признаков в заключительном обобщении обладает правомерностью всеобщности. Чтобы установить это правильное, т. е. безызъятное в пределах сделанных до этих пор опытов, сосуществование или последовательность признаков U и W, теория индукции дает определенные правила. Бэкон („Novum Organon“, есть русск. пер.) рекомендовал составлять для этого прежде всего две таблицы: присутствия и отсутствия. В первую заносятся все случаи, где присутствует элемент W в связи с любым другим обстоятельством, во вторую—те случаи, которые во всем подобны случаям первой таблицы, за исключением присутствия элемента W. Затем из первой таблицы вычеркиваются все элементы, встречающиеся во второй, как не связанные с W, и все элементы, не встречающиеся в каком-либо случае первой таблицы. Оставшиеся элементы и суть правильные сопутствующия обстоятельства. Третья таблица Бэкона—таблица степеней, где изменениям элемента W соответствуют изменения сопутствующих элементов. Приемам исследования современного естествознания более соответствуют четыре метода экспериментального исследования, установленные Дж. Ст. Миллем („Система логики“). „Имеется два самых простых и наиболее очевидных метода для того, чтобы среди обстоятельств, предшествующих явлению или следующих за ним, выделить те, с которыми оно действительно связано неизменным законом. Во-первых, сравнивают друг с другом различные случаи, в которых явление наступает. Во-вторых, сравнивают случаи, в которых оно не наступает. Оба эти метода можно назвать методом согласия я методом различия“. Их правила (каноны) гласят: „Если два или несколько случаев подлежащого исследованию явления имеют общим лишь одно обстоятельство, то это обстоятельство, в котором только и согласуются все эти случаи, есть причина или действие данного явления“. „Если случай, в котором подлежащее исследованию явление наступает, и тот, в котором оно не наступает, согласуются во всех обстоятельствах, за исключением одного, встречающагося только в первом случае, то это обстоятельство, в котором оба случая различаются друг от друга, есть действие или причина или необходимая часть причины явления“. Оба указанных метода применяются совместно в виде соединенного методα=согласия и различия. Следующие два метода: метод остатков и метод сопутствующих изменений, сводятся к первым двум.—Неполные индукции могут поддерживать друг друга, итогда вероятность вывода растет. Но, однако, достоверность вывода из подобного рода поддержек получиться не может. „Опыт никогда не дает своим суждениям истинной или строгой всеобщности, а лишь допущенную и сравнительную всеобщность “(Кант).— Таким образом, индукция есть один из видов вывода, или один из видов дедукции. Противопоставлять индукцию дедукции нельзя. Но если мы хотим подчеркнуть различие наук, приходящих к своим положениям путем дедукции, не пользуясь индукцией (математика), и наук, для которых индукция безусловно необходима (естествознание),—то противопоставление дедуктивных (априорных) и индуктивных (эмпирических)наук оказывается правомерным. — Наконец, к числу выводов вероятности принадлежат и выводы по аналогии, где мы умозаключаем от единичного к единичному, от частичного сходства к более глубокому сходству (например, об обитаемости Марса на основании сходства его свойств со свойствами земли). Эти выводы обладают меньшей очевидностью вероятности, чем неполные индукции, так как не могут установить необходимость сосуществования признаков.— В теснейшей зависимости от учения о выводе находится учение о доказательстве. Всякий вывод может быть представлен, как доказательство заключения, всякое доказательство может быть дано только путем вывода. Различие заключается в том, что при выводе мы позволяем нашему мышлению вести нас от посылок к заключению, а при доказательстве заключение заранее нам известно, как цель предстоящого пути. Доказать утверждение значит сделать его посредственно очевидным путем указания достаточных оснований, аргументов; найти для него посылки, из которых можно было бы его вывести, как заключение. Очевидно, истинность доказательных оснований должна быть уже установлена до доказательства. Если доказательство ведется от признанных положений к тезису, оно называется прогрессивным (синтетическим); еслиже оно показывает, что из тезиса необходимо следуют положения, иным пуигем признанные правильными, — доказательство называется регрессивным (аналитическим); наконец, если мы показываем, что противоречивая противоположность тезиса несовместима с каким - либо уже познанным, как истинное, суждением, — мы даем апагогическое (косвенное) доказательство. Поскольку доказательство не делает такого окольного пути, оно называется прямым. Если доказательство исходит из непризнанных посылок, или пользуется незначимыми формами вывода, или, будучи материально и формально правильным, не совпадает с заранее данным тезисом, — оно признается ошибочным. Все так или иначе неправильные выводы называются паралогизмами или софизмами, смотря по тому, совершена ли ошибка ненамеренно или намеренно. Примерами ошибок в выводе могут служить: 1) круг в доказательстве, явно или скрытно включающий в число посылок суждение, подлежащее доказательству; 2) quaternio terminorum, которая заключается в том, что средний термин силлогизма лишь повидимому является одним и тем же в обеих посылках, а не в полной логической строгости; 3) скачек в доказательстве, возникающий благодаря злоупотреблению энтимематическими выводами, поскольку недостающия звенья цепи выводов не только не высказываются, но и не признаются. — Высшие яаконы мышления. Подобно тому, как всякая наука опирается на аксиомы, Л. тоже признает непосредственно очевидно достоверные положения, называемия основными законами мышления. Их всего четыре: 1) положение тождества (А есть А; каждое понятие, каждое суждение равно себе); 2) и 3) из двух суждений, из которых одно утверждает то, что другое отрицает, — одно должно быть ложным (положение противоречия) и одно должно быть истинным, так как оба ложными быть не могут, а третьяго нет {положение исключенного третьяго); и 4) положение достаточного основания, утверждающее, что каждое суждение должно иметь достаточное основание („с основанием дано следствие, а со следствием отрицается основание“; об этих законах см. Лапшин, „Законы мышления и формы познания“).—Исторический очерк развития Л. Та Л., которую мы излагали, есть продукт европейского ума. Л. индусов (например Дармакишри, Дармот-тары) не оказала влияния на развитие логических учений в Европе. Творцом Л. справедливо считается Аристотель. Хотя у элеатов, софистов, Сократа и Платона Аристотель нашел богатый материал для установления логических законов, однако теоретическая разработка начинается только у него. Логические сочинения Ар. (Органон) слагаются из пяти трудов: категорий (отчасти соответствует теперешнему учению о понятии); учения об истолковании (вопрос о суждении); двух аналитик (о силлогизме и доказательстве); топики (диалектических доказательствах и вероятных заключениях), и софистических доказательств (о логических ошибках). После Аристотеля греческая мысль немного сделала для развития Л.: стоики разработали вопрос об условном и разделительном силлогизме. Подробной разработке подвергаются проблемы Л. в средние века. Направление работы носит строго формальный характер. Силлогизм рассматривается, как единственная правомерная форма мысли, исследуются фигуры и модусы его. Особенно жестокие споры в схоластической Л. вызвал вопрос о понятиях, универсалиях. Номиналисты (Росцеллин, Абеляр) утверждали, что universalia имеют только субъективное значение и в вещах их, как сущностей, нет. Реалисты (особенно Ансельм Кентерберийский) считали universalia истинными сущностями и приписывали им субстанциальное бытие. Образцом схоластического компендиума по Л. может считаться Синопсис византийца Михаила Пселла и Summulae Петра Испанца (папы Иоанна XXI, умер в 1277). У Раймунда Луллия мы находим попытку метафизического понимания Л. С развитием научного знания возникает потребность приблизить логические методы к потребностям науки. Еще в средние века у Рожера Бэкона мы находим попытки в этом направлении. Основателем новой Л. считается Бэкон Веруламский, но, в сущности, новая Л. и теоретически и практически дана уже в сочинениях Петра Рамуса (отчасти), Леонардо - да - Винчи, Галилея (особенно). Вышеприведенные таблицы Бэкона должны были дать возможность делать открытия. Эта новая „индуктивная“ Л. развивается благодаря трудам Гершеля, Юэля и особенно Дж. Ст. Милля (смотрите выше). На ряду с „индуктивнымъ“ направлением разрабатывается в новое время и „формальная“ Л. (нанр., Гербарт). Завершение свое это направление получает в „математической“ Л., разрабатываемой, гл. обр., англичанами. Основателями ея считаются Л. Бентам и Гамильтон; примыкают к ним де-Морган, Буль, Порецкий (проф. в Казани), Джевонс („Основы науки“), Рёссель, Пэано. Основным для этой Л. („Л.тождества“) является учение о квантификации (количественном определении) предиката. В суждении обыкновенно количественно определен только субъект; если устранить неопределенность предиката путем квантификации (смотрите), то суждение превращается в уравнение. Благодаря точной формулировке каждого суждения, можно свести все выводы к закону тождества и противоречия (Кутюра, „Алгебра Л.“). Крайности этого „логистического“ направления не позволяют, однако, понять и описать многообразие всех возможных выводов (смотрите Картский, „Классификация выводовъ“). В немецкой философии проблемы Л. были расширены Кантом, поднявшим вопрос не только о формальных критериях истины, но и о „материальныхъ“ (трансцендентальная Л. в „Критике чистого разума“; см. также Schuppe, „Erkennt-nisstheoretische L.“). — В новейшее время немецкие логики подробно выяснили психологическую основу логических процессов (Зигварт, Вундт, Эрдманн). Особое внимание обратил на себя анализ суждения. Представляет оно собой анализ сложного представления (Вундт) или синтезпризнаков (Зигварт); можно ли свести его к тождеству, как этого хотела „математическая“ Л., или суждение есть отношение содержаний (Эрдманн); ограничивается ли состав суждения „интеллектуальными“ элементами или нужно допустить особое психическое переживание, называемое суждением и долженствующее стоять на ряду с другими элементами психики (австрийская школа: Брентано, Гёфлер),—все эти вопросы и сейчас подвергаются обсуждению (Jerusalem, „Die Urteilsfunction“). Марбургская школа в лице Cohen’a, Natorp’a и др. формулирует новую Л. понятия: старая Л. имела дело только с понятиями субстанций, новая указывает на класс несравненно важнейших понятий функций (Кассирер, „Познание и действительность“). Кроме указанной в тексте литературы, см. по истории Л. Prantl, „Geschichte d. L.“. Из элементарных изложений см. учебники Гёфлера, А. Введенского, Н. Л. Ланге и Минто; Лосский, „Сборы, ло-гич. упражн.“. И. Малинин.