> Энциклопедический словарь Гранат, страница 303 > Математика

Математика

Математика. Слово М. происходит от греч. (хаФ-»)(л,а— преподаваемая наука. Въпифагорейской школе различали четыре матемы (четыре степени мудрости): арифметику, музыку, геометрию, сферику. Позже греческие ученые стали различать пять математических наук: арифметику, геометрию, механику, астрономию, акустику. Из этих пяти наук арифметика и геометрия относятся в настоящее время к чистой М. (в более общем значении этого слова), прочия—к прикладной (конкретной) М. Счет предметов, представляющих ценность, и измерение длин, площадей и так далее, составляющие предмет арифметики и геометрии, связаны настолько тесно с элементарными потребностями жизни, что начальные сведения в этой области имеются у всех народов, достигших какой-либо степени цивилизации; но как отвлеченные науки, как системы знаний, арифметика и геометрия—создание научного гения греков. Особенного развития в этом отношении достигла греческая геометрия; „Начала“ Евклида составляют до этих пор лучшую систему геометрических положений и незаменимую школу логического мышления (смотрите геометрия). Основываясь на теоремах, изложенных в „Началахъ“, греческие геометры (Евдокс Книдский, Аполлоний ТИергийский, Пап-иус и мн. другие) перешли к изучению кривых, отличных от круга (конических сечений, спиралей и так далее) и к решению вопросов об измерении площадей, ограниченных кривыми линиями, и объёмов, ограниченных поверхностями; методы, изобретенные ими для решения этих последних задач, уже заключают в себе зародыш идей, положенных в основу современного интегрального исчисления. Греками было положено также начало и научной арифметике и алгебре. В „Началахъ“ Евклида мы находим доказательство безконечности ряда абсолютно простых чисел и алго-рифм нахождения общого наибольшого делителя, лежащий в основании теории целых чисел. Зачатки современного алгебраического символизма мы находим в арифметике Диофанта, которая содержит в себе также решение неопределенных уравнений (в рациональных числах), почему теория чисел, большинство вопросов которой сводится к решению этих уравнений, еще недавно носила название анализа Диофанта. Но, полагая начало геометрии, с одной стороны, арифметике и алгебре, с другой, греческие математики резко обособляли эти две научные области. Иррациональные отрезки, к которым приводят простейшия геометрические теоремы (теорема Пи-фагора), и рациональные (дробные и целыя) числа для них—две математические концепции, не имеющия ничего общого. Дальнейшее развитие алгебры (индусские и арабские математики, Вие-та; см. алгебра) привело к устранению этого обособления. Простейшия операции над числами и отрезками (тип непрерывной величины) совершаются по одним и тем же основным законам (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность). В окончательном установлении общого понятия о числе и возможности сведения на число всякой непрерывной величины заключается величайшая заслуга Докарта. Установив таким образом тесную связь между геометрией и алгеброю, Декарт достиг двух целей: с одной стороны, дал новый метод решения геометрических вопросов (аналитическая геометрия), с другой стороны, показал возможность наглядного (графического) представления алгебраических образов и в частности графического решения уравнения. Но Декарт пошел и дальше: сведя вопросы формы и положения на вопросы учения о числе, он понял, что такое же сведение возможно и для других вопросов, и, по его образномувыражению, „все науки, если сорвать с них маску, явятся во всей своей красоте, и тогда цепь наук представится рядом чиселъ“. Таким образом, для Декарта М. представилась, как наука о величине и измерении, для которой безразличны самые предметы измерения: числа, фигуры, звезды, звуки и так далее Но он и Лейбниц пошли дальше в вопросе о сущности М., ставя наравне с идеей величины идей порядка, и самая идея порядка являлась для них в их философском идеале „всеобщей М.“ (Mathesis universalis) только частным случаем более общих понятий:отношения между элементами и сочетания их. Под влиянием своей юношеской работы по комбинаторике (учение о перемещениях и сочетаниях) Лейбниц пытался создать логическую алгебру, которую он назвал всеобщей характеристикою и которая должна была выражать формулами комбинации понятий и соотношения между ними. Сущность М. Лейбниц видел, таким образом, ие в ея содержании, но в ея дедуктивном методе и в ея символизме.

Широкие взгляды Декарта и Лейбница на сущность М. не соответствовали в течение долгого времени предмету занятий математиков; они не резюмировали современную им, но были программою, осуществление которой и теперь еще представляется делом будущого. Эти ученые сами более чем кто-нибудь способствовали тому, что работа математиков направилась гл. обр. на вопросы измерения величин и учения о числе. Декарт положил начало аналитической геометрии, которая дала возможность выражать формулами алгебры отношения формы и положения. Лейбниц одновременно с Ньютоном создали в анализе безконечно-малых могучее орудие для изучения функциональных зависимостей между переменными величинами, выраженными посредством чисел. Вопросы об измерении выступили поэтому на первый план в XVII и XVIII стол., и соответственно этому в знаменитой Энциклопедии XVIII в мы находим в статье Даламбера (смотрите) определение М., как науки, имеющей своеюцелью свойства величин, поскольку оне перечисляемы и измеряемы. Развитие этого определения составляет цель той части „Курса положительной философии“ Ог. Конта, которая посвящена М.; там же Конт выставляет, исходя из определения Даламбера, с большей ясностью различие между чистою и прикладною М., или, употребляя терминологию 0. Конта, между абстрактною и конкретною М. Всякое математическое исследование преследует цель определить неизвестные величины по отношениям, существующим между этими неизвестными величинами и другими непосредственно измеряемыми и поэтому известными. Такое исследование необходимо состоит из двух частей, между собою существенно различных: 1) точного определения отношений, существующих между всеми рассматриваемыми величинами как известными, так и неизвестными, и сведения вопроса на соотношение между числами (конкретная часть), и 2) определения неизвестных чисел, когда известны функциональные соотношения между ними и известными (абстрактная часть вопроса). Несомненно, что важнейшие отделы М., и в настоящее время разрабатываемые, подходят под определение Даламбера и могут быть классифицированы сообразно двум основным подразделениям 0. Конта.

Чистая, или абстрактная, М. может быть определена с этих точек зрения, как учение о числах, операциях, производимых над числами, и функциональных зависимостях между ними. Соответственно этому можно различить три главные отдела чистой М.: 1. Учение о числах, или общая арифметика (смотрите). 2. Учение об операциях, производимых над числами, в частности учение об алгебраических операциях, изучение целых полиномов, решение алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений (смотрите алгебра, инварианты). 3. Учение о функциях вообще, или теория функции от вещественного и комплексного переменного. Теория функций составляем главный отдел высшей М. (смотрите водная М.);

важнейшим вопросом теории функций является вопрос о росте функций (в частности вопрос о наибольших и наименьших величинах). Решение этого вопроса как исторически, так и теоретически связано с методом безконечно-малых (или пределов), почему теория функций носит часто название анализа безконечно-малых. Его важнейшие отделы—дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление (смотрите исчисление безконечно-малых и исчисление вариаций). В отличие от анализа безконечно-малых, рассматривающого непрерывные изменения независимой переменной и функции, исчисление конечных разностей изучает приращения функций, соответствующия конечным приращениям независимой переменной (смотрите исчисление конечных разностей). Что касается до конкретной, или прикладной, М., то область ея все более и более расширяется; теперь уже можно указать большия заслуги, оказанные математическим методом биологии, психологии и экономической науке, в особенности учению об обмене (хрематистика, или каталлактика). Наиболее важные результаты достигнуты в науках о времени (хронометрия) и пространстве (геометрия аналитическая и дифференциальная), о движении и о силах (форономия; механика молярная, в частности небесная механика и молекулярная механика), о физических и химических явлениях (математическая физика и химия). Особый отдел прикладной М. (теория вероятностей) посвящен теоретическому обоснованию закона больших чисел, проявляющагося в случайных явлениях, и на ней основывается математическая статистика с ея разнообразными приложениями к вопросам метеорологии, кинетической теории вещества и социологии.

Перечисленные нами отделы чистой и прикладной М. могут быть в общем подведены под выше данное определение Даламбера. Но развитие науки как до конца XVIII в., так в особенности после него выдвигало такие вопросы и заставляло разрабатывать такие методы, которые выходят за границы этого определения. Так, явилась необходимость рассматривать вопросы, тесно связанные с идеей порядка, громадное значение которой, как было указано выше, признавалось еще Декартом. Из таких вопросов упомянем связь теорем учения о целых числах с порядком (Пуансо), значение вопроса о группах перемещений для теории алгебраических уравнений (Лагранж, Галуа). Теория множеств Георга Кантора показывает зависимость понятия о непрерывности от понятия о порядке.

С другой стороны, продолжалось начатое еще греческими геометрами синтетическое (конструктивное) изучение геометрических образов (конфигурации точек, кривыя, поверхности), независимое от меры и от числа (проективная и дескриптивная геометрия), причем метрические свойства получаются, как частный случай свойств проективных. Принцип двойственности дает первый пример так называемого принципа перенесения или лексикона (Пуанкаре), т. е. возможности новой интерпретации предложений геометрии, если меняются элементы (точки заменяются прямыми и обратно), но остаются неизменными основные отношения, выраженные в определениях и постулатумах. При изменении элементов геометрия плоскости и пространства может быть рассматриваема, как геометрия многих измерений (пример—линейная геометрия Плюкера). Основатели неевклидовой геометрии показывают возможность геометрии, основанной на постулатумах, отличных от посту-латумов, лежащих в основании геометрии Евклида. Приобретают большое значение вопросы топологии, или анализа положения (Analysis situs). Общим объединяющим принципом разнообразных геометрических дисциплин является или понятие о группе преобразований (Sophus Lie и Клейн), или понятие о многообразии элементов, сочетающихся по известным определенным законам (Грасман). Понятие о многообразии объединяет не только геометрические дисциплины, но и общую арифметику, включая в нее и учение о гиперкомплексных числах и теорию трансфинитных чисел Кантора. Под влиянием новых

Математика.

324

323

успехов М. и новых томен зрения явилась необходимость дать чистой М. определение более общее, чем определение Даламбера. В настоящее время предложено несколько таких определений, выдвигающих на первое место или идей порядка (Рёссель, Итфльсон), или идей многообразия (Вундт, Христаль), или ту и другую: М. есть учение о порядкг в многообразии. Все эти определения являются, как видно, определениями по содержанию. Но выше было уже указано, что Лейбниц видел сущность М. не столько в ея содержании, сколько в ея методе и в ея символизме. Все, что доступно точному определению, может служить предметом таких же строго вытекающих из основных определений и постулатумовъвыводов, какие в обыкновенной М. прилагаются к числу и величине. Должна существовать общая наука об абстрактных отношениях (Mathematica universalis). Лейбниц мечтал о возможности свести всякое рассуждение к вычислению (ratiocinationes in omni argumento ad calculi formain exhibere) и о том времени, когда спорящие вместо бесполезного шума будут заменять спор вычислением (ut alter alteri dicere possit: calculemus). Развитие науки во многом оправдало эти идеи Лейбница. Особенное значение в этом отношении имели логическое исчисление (математическая логика) Буля и распространение символизма на логику отношений (в частности логику родственных и свойственных связей), а также исчисление операций (символическое исчисление), показавшее, что благодаря существованию одинаковых формальных законов (коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности) количества в формулах алгебры могут быть заменяемы символами дифференцирования и интегрирования (бином Ньютона и формула Лейбница для производной w-ого порядка от произведения). Вышеупомянутый принцип перенесения или лексикона, имеющий громадное значение в геометрии (пример—данная Пуанкаре интерпретация неевклидовой геометрии, в которой точкамън прямым соответствуют точки и круги ортогональные к одной и той же прямой), имел то же самое влияние. Не только геометрические элементы могут .заменяться другими геометрическими элементами, но, как показала классическая работа Гильберта, тождество формальных отношений между геометрическими элементами, с одной стороны, и числами— с другой, дает возможность решать на основании учения о числах важнейший для геометрии вопрос о независимости и совместимости ея постулату мов. Таким образом, мало-помалу выяснялось, что идея, объединяющая разнообразные математические дисциплины, и таким образом истинная сущность М. есть именно идея вывода следствий, вытекающих из формальных отношений, существующих между элементами многообразия и устанавливаемых постула-тумами или гипотезами. Природа элементов не имеет при этом значения, и возможность создания одной дедуктивной математической системы, приложимой ко многим многообразиям, резко различающимся по существу, но тождественным по структуре отношений или форме (Кемпе), представляет новую иллюстрацию громадного значения принципа экономии в М. Понятна тесная связь новых взглядов на М. с логикою. Но некоторые уче-ныеиошлив этомъотношении ещедаль-ше, доходя до полного отождествл. М. с логикою и давая такие определения М„ которые с первого взгляда поражают своей парадоксальностью. Таково, например, определение американского ученого Пирса (Peirce): „М. есть наука, выводящая необходимия следствия1“, и аналогичное определение английского логика Рёсселя, которым он начинает свое сочинение: „Principles of Mathema-tics“ (1903): „Чистая M. есть совокупность предложений вида: „из р следует q“, где р и q суть предложения, содержащия одне и те же переменные и не содержащия никаких постоянных, кроме логических. Иными словами, чистая М. есть совокупность формальных выводов (implication), независимых от какого бы то ни было содержания, чем оправдывается юмористическое утверждение то го же автора, высказанное в другом месте: „М.—

это такая наука, где никогда не знают, о чем говорят, а также не знают, истинно ли то, о чем говорятъ11. Подробному развитью этих мыслей посвящена статья Уайтхеда—„Математика“ в новейшем издании „Encyclopedia Britan-писа“. С точки зрения Уайтхеда и Рёсселя, „идеал М.—построить исчисление, которое облегчало бы рассуждение во всех тех областях мысли или внешнего опыта, в которых последовательность мысли или событий может быть определенно удостоверена или точно установлена“. Будущее истории человеческой мысли покажет, насколько возможно приближение к этому идеалу. А. Васильев.