> Военный энциклопедический словарь, страница 59 > Математические науки
Математические науки
Математические науки. Для военных знаний, составляющих специальный предмет В. Э. Л., науки математические, естественные, нравственные и политический представляют необходимое основание. Нельзя требовать от всякого образованного офицера, чтобы он был в одно и то же время специальным геометром, химиком, психологом и статистиком, но необходимо для инженера уметь определить устойчивость и сопротивление сооружение, для артиллериста уметь определить составные части металла орудий, для военачальника знать, какие струны в душе солдата он олжен затронуть, чтобы одушевить войско перед боем, поддержать в случае поражения, какие материальные средства представляет та или другая местность для расположения и содержания в вей войск. По этому, вспомогательные науки должны войти в курс образования офицера и в план В. Э. Л., но Лзшь на столько, на сколько оне нужны военному. Тем не менее, как вауки, для сохранения своего значения, вспомогательные звания не могут войти в состав военного образования отрывочными кусками, потому-что отрывочное знание чего-либо бесполезно, но невозможности составления себе, на основании подобного знания, ясной идеи о предмете науки, и вредно, потому-что время, назначенное на подобное изучение, могло бы быть употреблено с большей пользою на что-либо дру-, гое. Вспомогательные знания должны войти в курс военного образования в своей целости, то есть с сохранением всех существенных своих выводов, но ббльшее развитие может быть предоставлено только тем частям, которые имеют прямое приложение к военному делу; самия же методы, с помощью которых выводы науки получены, методы, которые для специалиста составляют едва ли не самое оажное дело в науке, могут быть без особенной погрешности развиты весьма умеренно, а иногда и совсем обойдены в курсе, назначаемом для приложения к военному делу.— Тем более в статье Лексикона, обнимающого всю область военных знаний, вспомогательным наукам может быть дано весьма скромное место, доз- воляющее только указать на сущность главных отделов этих наук, но не допускающее никакого подробного развития. Самое приложение математики к военному делу показано в различных статьях Лексикона (смотрите Баллистика, Барометрическое нивеллирование, Геодезия, Строительное искусство, и другия).
Начнем с практического примера. Положим, что стреляем из орудия разрывным снарядом и желаем, чтобы снаряд разорвался при падений на Землю : между весом заряда, дальностью полета и временем полета, (которое определяет длину гранатной или вой трубки), должна существовать некоторая зависимость, причем мы устраняем ррочия обстоятельства, имеющия влияние на полет снаряда. Здесь вес, дальность, время могут делаться более или менее, имеют каждый свою единицу, которая может служить для их измерения, и по этому они называются величинами или именованными чи, подобно тому, как величиною может назваться все, чтб делается более или менее, а именованным числом всякая величина, имеющая свою особенную единицу. Таких величин весьма много, но мы можем прямо измернть тОлько длины, времена, весы, ценности и вероятности; прочия же величины (поверхности, объёмы, силы,
Очевидно, всякий математический вопрос приводится к рассмотрению одной или нескольких функций, от одного или нескольких простых чисел, и чистая математика приводится к изучению различных Функций. — Если простия числа Функции даны арифметически, и мы умеем получить арифметическое число, соответствующее функции, то эта Функция считается известною; таким образом весьма много функций задаются таблицей их значений, соответствующих ряду значений простых чисел, в них входящих, которые при этом называются аргументами Функции. Функции от одного простого числа задаются также графически (смотрите ниже Геометрия), Но существуют и такие Функции, в которых можно проследить их составление из простых чисел; такие Функции называются аналитическими и ими в особенности занимается чистая математика. Для знания аналитических Функций надо знать: 1) их сущность, то есть составление из простых чисел, в них входящих.; 2) их обозначение; 3) их преобразование, то есть уметьих представить в разных видах, не изменяя величины их; 4) их вычисление, то есть уметь получить значение Функции, если простия числа, в нее входящия, даны арифметически. Первые три пункта составляют математический анализ, последний пункт составляет арифметику, Для обозначения функций неизвестных служит буква f, поставленная перед простыми чи. Так :
=f (X, у)
показывает, что z есть число, зависящее .от простых чисел яе и у. Это обозначение употребляется иногда для краткости и при известных Функциях.
Если сравним между собою два чиг сла, А а В, которые иолагаем Функциями. от некоторых простых чисел, то может быть, что А равно В, более В, или менее В, Это обозначается так:
А=В, АВ, ЛВ,
скорости, температуры, работы, ит.п.), хотя имеют свои единицы, но измеряются с помощью измерения величин, названных выше. — Отличительное свойство величин измеряться своей единицею, позволяет составить особый род величин, в котором единица остается произвольною—числа или собрания единиц. Истина, выведенная для чисел, будет очевидно справедлива и для других родов величин, и потому наука о числах составляет основание науки о величинах вообще.
Таким образом наука о величинах — математика, разделяется на чистую математику — науку о числах, и на прикладную математику, заключающую приложение науки о числах к разным родам величин.
А. Чистая математика. В рассмо-тренном выше примере, дальность полета снаряда изменяется с изменением угла возвышения и весазаряда, причем орудие считается данным и действие тяжести неизменно 32,2 Фута. Здесь входят различные числа с разным значением. Действие тяжести дано — это есть число арифметическое. Размеры орудия считаются данными каждый, раз при решении вопроса; при каждом подобном вопросе они могут быть различны в различных случаях, хотя остаются без изменения при решении отдельного вопроса: это числа аналитические постоянные. Угол возвышения и вес снаряда считаются зависящими от нашего произвола, то есть мы можем им дать произвольную величину в пределах, определяемых устройством орудия : это числа переменные независимыя, или простия числа. Наконец, дальность изменяется в зависимости от изменения угла возвышения и веса заряда, оно будет число переменное зависимое от двух первых, или сложное число обыкновенно же называется функцией. двух рассматриваемых иростых чисел. первое отношение называется равенством, и, когда А’= В при всех значениях простых чисел, в них входящих — тожеством; если, А=В только при некоторых значениях простых чисел, то уравнением. Послед- вия два отношения называются’ неравенствами и
Алгебрическими функциями называются семь простейших Функций : сумма, разность, произведение, степень, частное, радикал, корень алгебрического уравнения и, кроне того, всякая Функция, состоящая из собрания конечного числа этих простейших Функций. — Алгебра есть часть чистой математики, изучающая алгебрич,еские Функции. Все прочия Функции суть трансцендентные, и изучаются в трансцендентном анализе. а) Алгебра. Сумма, произведение и степень происходят следующим образом : сумма составляется из простых чисел — слагаемых, как целое из частей; если все слагаемия равны, то сумма зависит от одного слагаемого и от числа раз, которое это слагаемое повторяется— эти два простия числа называются множителями, а сумма произведением их; приняв произведение из двух множителей за новое слагаемое, и повторяя .его несколько раз, составим произведение из трех множителей, и так далее Если все множители равны, то произведение зависит от одного из них и от числа раз, которое этот множитель вошел; тогда множитель называется возвышаемым, число раз, которое он входит — показателем, произведение — степенью. Показатель алгебрической степеви считается всегда постоянным. Действия приводящия к этим Функциям, называются сложением, умножением и возвывиением. Для обозначения сложения служит знак-ь плюс; для умножения× или не употребляется никакого звака; возвышение обозначается местом показателя. Так:
х == a-+-b-+-c-+-d есть сумма, где а, b, с d слагаемыя;
х=abed есть произведение, где а, b, д, d множители;
х =.аь есть степень, где а возвышаемое, b показатель.
Цо предыдущему все эти три выражения могут быть преобразованы в сумму, степень, в произведение: кроме того, сумма не изменится от изменения порядка слагаемых, произведение от изменения порядка множителей.
Вычисление этих трех выражений считаем известным всякому,читателю. Заметим только, что результат рассмотренных действий всегда возможен, и представляет целое собрание единиц, если простия числа суть такие же собрание единиц.
Из рассмотренвых трех действий получаем три обратные : вычитание— отделение слагаемого от суммы; деление — отделение множителя от произведения; извлечение радикалов — отделение возвышаемого от степени.
Функция, получаемая от вычитания, есть разно.стЬу то есть остальное слагаемое, причем сумма получает название уменьшаемого, отделяемое слагаемое — вычитаемого. Для обозначения вычитания служит знак — минус. Так:
х=а — Ь есть разность, где а уменьшаемое, b вычитаемое. Производство арифметического вычитания считаем известным, но заметим, что вычитание даёт возможный результат только в случае уменьшаемого ббльшого вычитаемого. При равенстве этих чисел разность есть нуль, при уменьшаемом меньшем вычитаемого разность есть невозможное — отрицательное количество. Остановимся немного над этими выражениями, потому-что невозможные выражения в математике представляют самое неясное понятие для тех, которые не вникнут в предмет ио-глубже. Нуль есть разность, которая, входя слагаемым или вычитаемым, может быть отброшена без изменения результата; входя множителем или возвышаемым, обращает произведение или степень в нуль; входя показателем, обращает степень в 1. Отрицательное количество само по себе невозможно и вопрос, к лему приводящий, невозможен, так как он задан, но весьма часто случается, что его невозможность происходит только от того, что он задан не так, как следует, и что именно из двух случаев, им допускаемых и взаимно друг друга исключающих, мы рассматриваем не тот, который встречается. Например, если ищется на данной линии точка, то она может лежать справа и слева некоторой данной точки; положим, что вследствие условий вопроса, она лежит слева, а мы ее предположили справа, и при этом предположении производим вычисление; результат должен выйти невозможный, потому-что справа искомой точки нет, но он не возможен не потому, что искомая точка не существует, а потому, что мы ее ищем не там, где следует; тот же вопрос должен привести к возможному рейению, если будем искать точку слева данной. Таким образом часто невозможная разность, получаемая при решении вопроса, указывает только, что истинный ответ заключается в обратной разности, всегда возможной, и соответствующей другому предположению ири том же вопросе. По этому, отрицательные количества, или невозможные разности, подчиняются вычислениям, как возможные числа, которыя, в противуу=ах11 -+- а,яеп‘ -+ а2хп
где выражения, разделенныя4 знаками -нили —, суть члены, х главная буква, количества а, а„ а4, и т. дм предстоЛ-щгя или коэффициенты числа х; эти коэффициенты постоянны-, если у есть Функция от одного х; если же у зависит от нескольких простых чисел, то коэффициенты суть многочлены, заключающие все прочия простия числа, положность первым, называются по-ложительными количествами и принимают перед собой знак -н. Так:
5 — 2 ш-н 3 7 — 9 иг — 2.
Если отрицательные количества придается, или отнимаются, то над обратными им положительными количествами производятся действия обратные. Если они входят множителями, то численная величина произведения получается такая же, как при тех же множителях положительных, но произведение будет возможно (положительно), или невозможно (отрицательно), смотря по тому, входит ли в него четное или нечетное число отрицательных множителей. При отрицательном возвышаемом степень возможна или-невозможна, смотря по тому, будет ли показатель четное или нечетное число. Отрицательный показатель указывает на то, что в рассматриваемом выражении происходит действие деления. Отрицательные количества иногда называют меньшими нуля; это значит, что при введении невозможных значений отрицательных количеств в выражении, мы можем рассуждать об них, как бы они были менее нуля, и от этого ошибки в результате не получим. Также можно сказать, что величина отрицательных количеств уменьшается с увеличением их численной величины.
Если выражение составлено из показанных четырех действий, то ал-гебрическая Функция есть щълая. Общий вид ея есть алгебрический многочлен.
-+.-+- ап— их -+ ап кроме х, — Производя означенные четыре действия над одною или несколькими целыми Функциями, мы всегда получим целую же Функцию: Если переменные и постоянные в целой Функции заменим целыми арифметическими чи, то и результат вычисления будет целое число, и при эргом можем получить количествб положительное, отрицательное или нуль. Количество, обращающее Функцию в нуль, называется корнем Функции.
Функция, получаемая от деления, есть частное, то есть множитель, остающийся по отделении данного множителя -г делителя, от произведения — делимого. Так как не всегда можно Найти целое число, равное совершенно частному, то деление дает начало дробным ч или дробям, которые це могут выразиться собранием данных целых единиц, но имеют с ними общую меру. Для обозначения действия деления, употребляется знак : или черта. Так: есть частное или дробь, где а есть де-влгиюе или числитель, Ь делитель или знаменатель; а и Ь члены дроби х. — Число, делящееся на другое, нацело,
_ ахт -н а}хт 1 -+- агхт~ -+-У ~ Ьх -+- Ь,хп— -+- Ь&а— -н где числитель и знаменатель у суть целия Функции. При вычислении у получим количество положительное, когда члены дроби получатся с одинакими знаками, отрицательное, когда с разными; если числитель обратится в вуль, то дробь тоже равна нулю. Если знаменатель обратится при вычислении в нуль, то значение дроби невозможно, именно, это значение будет более всякого числа, как бы мы велико его не взяли. Это невозможное значение называют безконечностью со и рассматривают как предел для увеличения чисел. Хотя дробь, у которой знаменатель есть нуль, невозможна, и при решении вопроса указывает бблыпей частью на его невозможность, но встречаются исключения: например, если для расстояния, на котором пересекаются две прямия линии, получаем безконечность, значит линии параллельны (см.ниже геометрия). Если оба члена дроби обратятся в нули, то Дробь может принимать на себя безназывается его кратным, делящееся на несколько других нацело — их общим кратным; число, делящее другое нацело, называется его делителем, делящее несколько чисел нацело— их общим делителем; числа, не имеющия никакого общого делителя, называются первыми между собою; числа, делящияся нацело только сами на себя и на единицу, называются первоначальными.
Если в Функцию вводят только пять рассмотренных действий, то она называется дробною алгебрическою Функцией. Дробные и целия Функции вместе называются рациональными. Рациональная Функция может быть всегда приведена к такому виду, чтобы в нее входило не более одного раза действие деления, или к виду линогочлец-ной дроби, так что общий вид рациональной Функции есть :
.т—Д т—а„
+ Ьп—tx + Ьп численное множество различных значений при тех же значениях простых; чисел; дробь тогда неопределенна; впрочем иногда, например, если в дробь входит только одно простое число, можно найти ея истинное определенное значение при значении переменной, обращающей ее в Дробные выражения могут получить вид целых, заменяя знаки деления отрицательными показателями.
Функции, получаемия от извлечения радикалов, суть радикалы разных степеней, причем степень получает название подкоренной, показатель ея называется показателем радикала. В случае показателя 2, радикал называется квадратным корнем, в случае 3 — кубичным, Так как большей частью невозможно найти ни целого числа, ни дроби которыя, возвышен ные в данного показателе, дали бы данную степень, то извлечение приводит к ч несоизмеримьш —
в/т-
12 _ з _
=вСвВ
неимеюицим общей меры с данною единицею. Для обозначения извлечения употребляется знак [/. Так: ь_
х=а есть радикал степени b из подкоренной а. Преимущественно рассматриваются корни квадратные и кубичные. £сди подкоренная положи-, тельное количество, то корень квадратный имеет два значения, разнящияся только знаками; если подкоренная отрицательная, то ни одного; в последнем случае выражение невозможное, получаемое при извлечении корня квадратного из отрицательного количества, называется мнимым, в противуполож-вость коему количества, положительные и отрицательные, называются вещественными. и/~г= г называется мнимым; всякое выражение, заключающее е, может быть приведено к виду а -+- Ьи, где а и b вещественные количества; всякое действие, произведенное над а Ы приведет к выражению такого же вида; равенство а -н Ы zz с di даст α= с и b=d. Это последнее свойство дозволяет с выгодою вводить в вычисление мнимия выражения, потому-что мнимый их знак исчезает, когда вопрос приведен к уравнению. — Корень кубичный дает всегда три значения, одно вещественное одинакового знака с подкоренною, и _
два мнимыя. — Вообще а дает и значений, из которых получается вещественных : при и, четном 2, или ни одного, смотря по тому, будет ли а положительное или отрицательное;
при и нечетном — одно вещественное значение, одинакового знака с подко-
/—
ренною; все остальные значения у а мнимыя.
Функции, заключающия 6 рассмотрен-ных действий, называются радикальными; оне делятся на порядки, смотря по тому, сколько раз в них-производится извлечение радикала первоначальной степени над переменным числом. Так:
второго порядка. третьяго порядка.
Если в радикальную Функцию входят отдельно радикалы порядка m, n, р, q, то число значений .Функции, при данном значении простых чисел, будет mnpq. Эти значения могут быть положительные, отрицательные, равные нулю, безконечные, неопределенные и мнимыя.
Алгебрическим уравнением называем такое уравнение, в обе части которого входят только 6 рассмотрен-ных нами алгебрических действий. Целым алгебрическим уравнением называем такое, в котором первая часть есть целай алгебрическая Функция, а вторая часть равна нулю. Всякая алгебрическая Функция, у=f x) от одной переменной, может быть представлена корнем целого алгебрического уравнения
Уп - Ху- ч- Х2уп- -н Хп—ty -н Хп=О,
где КОЭФФИЦИЕНТЫ у суть целия -функции относительно х. Несколько алгебрических Функций, от одной или нескольких переменных, могут быть даны вместе несколькими совокупными целыми алгебрическими уравнениями. Таким образом, вычисление всякой алгебрической Функции приводится к отысканию корней целого уравнения с численными предстоящими. По величине показателя и, уравнения бывают разных стеиевей. Корни или решения уравнений первой степени суть рациональные Функции от коэффициентов. Корни квадратных уравнений приводятся к извлечению квадратных корней. Корни кубичных уравнений и уравнений 4-й степени приводятся также большей частью к извлечению радикалов. Из уравнений высших степеней двучленные вида хт=А и тричленные вида хгт ахт Ь=О имеют корни, тоже выражаемые радикалами. Долго искали радикальных выражений для корней всякого алгебри-ческого уравнения, пока в вынЬшнем веке норвежский математик Абель доказал, что корни уравнений пятой и высших степеней вообще радикалами не выражаются, и, следовательно, составляют особое, высшее алгебриче-ское действие. Эти корни будут вещественные или мнимые вида а -+ Ы и число их всегда равно показателю степени уравнения. Корни соизмеримые могут быть весьма удобно получены. Уравнение, заключающее равные корни, может быть простым .делением сведено на одно или несколько других ииростейших уравнений, не заключающих равных корней. Несоизмеримые корни могут быть отделены по способам Ньютона, Лагранжа, Штурма,
X — -+- Я2--&5 -+- ч мы заменяем безконечную сумму членов, суммою определенного числа их, ори чем ч в величине х делаем определенную погрешность,. Сюда относится выражение обыкновенных дробей и несоизмеримых чисел с помощью безконечных десятичных дробей, в которых ограничиваемся несколькими знаками, делая погрешность менее половины последней оставленной части единицы. Частный случай строк составляют прогрессии, в которых члены возрастают или убывают на опреде-
b
Ограничиваясь одним из неполных частных а, а, аа и так далее, получаем приближенную величину для х, или под-
Том вш.
Фурье, Коши, и проч., то есть можно найти для этих корней такие, два предела, между которыми заключается только,один корень уравнения. Определение мнимых корней вида а bи приводится к определению вещественных значении а и b.
Мы видели выше, что только первия четыре действии, нами рассмотренные приводят всегда к целым ч; деление дает дробные, извлечение и решение уравнений несоизмеримыя- Для дробных чисел иногда, а для несоизмеримых всегда необходимо иметь приближенные величины, которые бы заменяли истинные значения чисел с определенною погрешностью. Для удобнейшого получения этих приближенных величин, приводят Функции — как алгебрические так и трансцендентные — к некоторым тфхничё-ским Формам, заимствованным из алгебры. Употребительнейшия технические Формы суть безконечные строки и непрерывные дроби. Употребление безконечных строк заключается в том, что для
а-ЯИ ап Н ®Ь|×
ленное количество, или в определенно число раз. Для строк, члены которых следуютъопределенному закону, весьма важно знать, стремится ли их сумма с увеличением числа членов к определенному пределу, или возрастает вцише всякого предела; в первом случае строка есть сходящаяся, во втором расходящаяся; теория сходимости строк весьма много обработана в последнее время, в особенности у Коши. Непрерывные дроби суть выражения вида: и чаще х=а ч— ходящую дробь, которая ближе подходит к х, чем всякая другая дробь с меньшими членами.
Если имеем ряд значений Функции, даннойтаблицею, соответствующий ряду значений переменной — аргумента, то можно найти промежуточные значения Функции помощью Формул интерполяции, которые различаются, смотря по тому, будут ди промежутки между значениями аргумента равны иди неравны.
Ддя перехода к трансцендентному анализу вводятся в алгебру йонятия о безконечно малых величинах, о производных функциях и о дифференциалах: первия изучаются в теории безконечно малых величин, втория и третил в дифференциальном исчислении.
Всякую величину —длину, время, число — можно себе представить разбитым на столь малия части, что оне уже не подлежат нашему измерению, но~ йх сумма составляет рассматриваемую конечную величину. Таких частиц в конечной величине войдет безконечно-большое число, или отношение этих величин к конечной величине будет безконечно малое число; но между собою они имеют различные конечные отношения, постоянные,и переменные. По этому безконечно малия величины, хотя сами по себе не подлежат измерению, однако могут служить вспомогательным средством для измерения конечного отношения между ними, или конечной их суммы; с этою целью они входят в математические исследования. Допустив существование безконечно-малых величин, мы должны допустить и различные их порядки, потому-что всегда можно вообразить такую величину, котораи относится к безконечно малой, как эта последняя к копечной; для основания теории безконечно малых величин принимаем легко доказываемую истину : если имеем равенство между двумя выражениями, заключающими безконечно-малия величины разных порядков, то у у=(() =тУг у величины одного и того же порядка, входящия в эти выражения, должны быть необходимо равны между собою. Понятия о безконечно-малых величи- нах ведет к понятью о сплошности и разрыве функций: ъели, при безконечно малом изменении простых чисел между данными пределами, изме-нение Функции тоже безконечно-мало, то функция сплошна или неразрывна в этих пределах; если, для какого ни-будь значения простого числа, имеем, что безконечно малрму изменению простого числа соответствует конечное или безконечно большое изменение Функ-, ции, то в этом месте Функция имеет разрыв сплошности.
Если в неразрывной Функции, от одного простого числа, изменим переменное число, то отношение изменения Функции к изменению переменной, будет выражение, зависящее от прежнего и от нового значения простого числа, но в этом выражении можно всегда отделить член, зависящий только от прежнего значения переменной, следовательно, новую Функцию той же переменной, как и данная Функция, и тНсно связанную с данною Функцией. Эта новая Функция называется производною от данной и получается, изменив переменную, разделив изменение Фуикциина изменениеПеременной, и сравнив в частном оба значения переменной.Произведение производной Функции от данной, на совершенно произвольный множитель, называемый дифференциалом простого числа, называется дифференциалом данной функции от одного простого числа. Взяв производные от производных Функций и дифференциалы от дифференциалов, получим производные и дифференциалы разных порядков данной функции. Если у =,f(x) есть, данная функция и х простое.число, то получим обозначение для производных :
d4 dny
- f[x)=— И вообще y{n)=ff)x=
для дифференциалов :. ~ 4
dy=fr(x) dx, dеy=fr,{x) dx, dеy=fn{x) dx5. вообще dny=f(n)(x) dx
диФФеренцируя это выражение, получим диФФеренциалы высших порядков Функции с несколькими переменными.
Прилагая дифференцирование к алге-брическим Функциям, найдем, что целия Функции имеют конечное число производных, равное.степени,Функции; все эти производные суть целия Функции. Производные дробных функций всегда дробные, производные радикаль-
f(x)=f (6) н- xfio) -н- f{0) -+dеu
1.2.3
/Г)(о) -н
Если x сложное число, то выражения делаиЬтся сложнее. Если имеем Функцию от нескольких переменных, то можем взять несколько частных дифференциалов ея по различным оерее ценным; сумма этих частных дифференциалов составит полный дифференциал данной Функции. Так, если и=f{x, у, z), то,
, du du. du _ du=— dx н- з- dy + -r- dx; dx dy dz
Формула. Тайлора (где и есть какая угодно функция, приращения перемен-du
щ=и -+- du -+- —г
1.2
ных — радикальные, производные алге-брических вбобще — всегда алгебриче-ские Функции; для всех Функций, кроме целых, число производных безконечно.
Теория производных Функций имеёт замечательные приложения, в чистой математике, к развертыванию Функций в строки, к отысканию истинного значения Функций, принимающих неопределенный вид, и к определению значений простых чисел, при которых Функция получает свое наибольшее или наименьшее значение, то есть такое, которое более или менее значений ему смежных. Развитие этих приложений было бы здесь неуместно; заметим только, что теория производных дает, между прочим, для разложения в ряды, две замечательные Формулы, носящия имена двух английскихъматематиков : Формула Маклорепа есть
_
1.2.и ных приняты за их диФФеренциалы, ги| — измененная Функция), будет : dnu
1.2.3. 7и
Теория производных важна и по приложениям к алгебре, именно при отделении равных и несоизмеримых корней целой Функции. — Дифференциальное исчисление возникло в конце XVII века одновременно в уме двух гениальных ученых, Ньютона и Лейбница; оно было тесно связано с теорией безконечно-малым величин и подготовлено трудами Декарта, Фермата, Кавальери, Валвиса, Слузе, и других. Дальнейшим развитием оно обязано Эйлеру, дАламберу, в особенности Лагранжу и Коши. Открытие этого исчисления было одним из блибтагельней-ших подвигов человеческого духа на пути наук.
Ь. Трансцендентный анализ. По данной производной Функции найти ея первообразную, или, обицнее, по данному диФФеренциалу найти Функцию, которая, будучи продифференцирована, дала бы данной дифференциал—это составляет предмет интегрального исчисления.— Оно разделяется на теорию квадратур и теорию дифференциальных уравнений.
В теории квадратур ищутся Функции которых диФФеренциалы Даны явно.— Если данный дифференциал взят по одной переменной, то ему всегда соответствует безчисленное множество функций, которыя, будучи продифференцированы, приведут вк этому диффф-| ренциалу и разнятся между собою количеством, независящим от переменной, по которой взят дифференциал ~ постоянного произвольного. Все вти Функция обставляют неопределенный интеграле данного дифференциала f(x) dx и обозначаются через J f(x) dx ли J4f{x)dx С и где С постоянная произвольная. Часто рассматривают интеграле исчезающий при данном значении переменной, то есть тДкую Функцию, которая, и будучи иродиФФерен цирована, дает f(x) dx, и обращается в нуль при х=а. Исчезающий интеграл обозначается через а, х
f f{x)dx и если f f(x)dx=F(x) -+- С, то f f{x).dx=F(x) — F(a).
a. a
Определенным или между пре дельным интегралом называется разность значений какого-либо неопределенного интеграла при двух данных значениях переменной, называемых пределами. Если Jf(x)dx=F (х) С, а пределы суть а и b, то междупредельный будет :
b
ff(x)dx=(&)’— (); а
/7()га;=[У| а-не а-ь—|
где - и величина произвольп ного числа и определяется допускаемою погрешностью и числом попраи, вообще говоря, не зависит от х. Если пределы конечны и иодъинтеграль-ная Функция f(x) не имеет разрыва
Ь
между пределами а и b, то f f{x)dx
а может быть всегда вычислен по приближению, даже не зная f f(x)dx, по одной из Формул дЬя квадратур. Употребительна Формула:
[ - н
+ и так далее вочных членов, которые хотим сохранить в Формуле. Если поправок совсем не хотят, или не могут брать, то употребляют Формулу Симпсона:
ff{x)dx=J- .-t-4/(5 —
где =
b—а
Гтилии n произвольно боль
шое число.
Хотя выше видели, что f f(x)dx всегда существует, но весьма редко можно есо свести на известные уже Функций; большей частью он дает новия Функции, которые нужно особо исследовать и вычислять по особым Составленным таблицам. Если под-интегральная Функция целая, то интеграл тоже целая функция степени единицей более данной. Когда подъинте-гральная Функция дробная, то из нея, по способу академика Остроградского, можно выделить алгебрическую часть, если знаменатель дроби заключает равные корни; когда. корни знаменателя одиночные, то интеграл приводится к одному или нескольким интегралам вида
pdx
х которые уже не суть алгебрические функции. Первый есть логарифмическая, второй круговая функция; рассматривая обратные Функции этим двум, полу чин Функции показательные и триионометрические. Отсюда можно вывести свойства логарифмов, то есть показателей некоторого постоянного основания, которое, будучи возвышено в разные показатели, дает все возможные числа. Обыкновенно употребляют логарифмы Бригговы или обыкновенные, при оснований 10, и Непировы, натуральные или гиперболические, при основании :
’=2,7182818.=1 н--1
1 1
1.2 1.2.3
I
1.2.3. и -
Зная логарифм числа при одном основании, легко получить логарифм его при всяком Другом, умножив первый логарифм на постоянный модуль, то есть на дробь, у которой числитель 1, а знаменатель есть логарифм второго основания при первом. Логарифмы Бригговы И Непировы обозначаются Lgx и %х, для всякого другого основания а — Igx. Для первых двух составлены а таблицы, заключающияся в известных сборниках таблиц Каллета, Веги, Лаланда, и других. — Показательные Функции обозначаются как степени и вычисляются с помощью логарифмов. — Круговия Функции преимуа ч- бг=г (cos вч-t sin а), где г={/а -
е=cos х и sin а
Эти Формулы позволяют приводить выражения, заключающия мнимый знак в показателе, к общему виду мнимых выражений, и давать мнцмым выражениям вид степеней числа е Тригонометрические Функции важны также по удобству разложения Функций, каких угодно, в ряды тригонометрические.
Если под интегралом находится радикальная Функция или иррациональная вообще, то по способам, предложенным в последнее время гг. Остро-градским, Чебышевым, Лиувилем, и другими, можно узнать, будет ли интеграл алгебрический и отделить от вего алгебрические, логарифмические и круговые члены. Остальное составят новия трансцендентные функции, из щественно употребляются четырех родов :
arctgx, arc cotgx, arc sin®, arc cosx, и имеют обратные им четыре тригонометрические :
tg х, eotg х, sin х, cos x.
Так как оне важны, особенно по геометрическому своему значению,что мы там о них и упомянем. Вычисляются те и другия Сb ПОМОЩЬЮ нескольких таблиц, заключающихся также в упомянутых выше сборниках. Тригонометрические функции важны в чистой математике по своей связи с теорией мнимыхъколичеств и показательных Функций. Так имеем:
Гб есть модуль мнимого выражения, а б и
α= arc tg — его аргумент; а которых пока обработаны наиболее эллиптические и Абелевы. Всякая трансцендентная Функция, входя в подъин-тегральную, приводит, вообще, говоря, к высшим трансцендентным Функциям; так логарифмические и показательные приводят между прочим к функциям гамма, интегральным логарифмам, и так далее Вообще интегральное исчисление есть неисчерпаемый источник трансцендентных Функций и едва ли можно предвидеть в будущем возможность разделения всех их на порядки и общого их обзора. Не считаем нужным останавливаться на этих Функциях, представляющих постоянную работу математикам, но не имеющих пока приложения в военномъделе. Иногда интеграл интегрируется помощью отрок, то есть представляется безконечвою строкою членов.
Если задан дифференциал высшого пррдка по одной переменной, частный диФФеренциал высшого порядке по нескольким переменным, или полный дифференциал по нескольким переменным, то вопрос приводится къин-(пУ
тегралу последовательному j f(x) dxn, интегралу кратному, как например тройной fff f{x, у, z) dx.dy. dz., или кь интегралу полного диФФеренциала, для которого по данному : du =×dx ч- Y dy Z dz, имеем:
=fXdx+ZYady - fZabdz,
где а, b, с произвольные величины, Yаесть значение Y при х=а, Za — значение Z при х=а, у=b; но этот интеграл возможен только тогда, когда для X,Y, Z выполнены условия, делающия du полным дифференциалом. Все эти три случая приводятся к простым квадратурам первого порядка от одной переменной; последовательный интеграл заключает столько постоянных произвольных, как велик порядок его.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее производные, или дифференциалы некоторой Функции, с самою Функцией) и с переменною независимою; интегралом дифференциального уравнены называется уравнение, связывающее самую Функцию с переменною. Дифференциальные управвения разделяются на порядки, смотря по тому, какого порядка выйдут их члены, если допустим, что диФФеренциал переменной незазисимой безконечно Мал, и на степени, смотря по тому, с каким показателем входят в уравнения производные Функции; уравнение, заключающее самую Функцию и все производные, в первой степени, называется линейным. Полный интеграл диффф-ренционального уравнения должен заключать столько постоянных произвольных, какъвелих порядок уравнения; если имеем уравнение, которое будучи продифференцировано, приводит к данному, но не заключает полного числа постоянных произвольных, то полученное уравнение есть чаЬтный или особенный интеграл данного дифференциального уравнения. Хотя всякое дифФеренц. уравнение имеет свой интеграл, однако свести его на квадратуры возможпо только в частных случаях. Пока это сделано для многйх случаев уравнений первого порядка:
X dx ч- Y dy=0 ;
из высших порядков, для уравне- ний вида:
п-=Ж.=f(y) иянейвых
У(”) + ) Х(п_г)У + Х(„_,)У -+- Хпу=X,
dz
dx
X
и некоторых других. Существуют некоторые приемы для интегрирования нескольких совокупных уравнений первого порядка с несколькими переменными; всякое уравнение высшого порядка может быть сведено на систему совокупных уравнений первого.— Из уравнений дифференциальных, с несколькими переменными, легко ивте грируютсятакия,которых первая часть есть полный диФФеренциал, или может быть им сделана; замечательны так же уравнения в частных дифференциалах, то есть, заключающия частные производные искомой Функции по двум или более переменным независимым Например уравнения вида:=z, интеграл их всегда заключает произвольные Функции, и эти уравнения важны по своему геометрическому значению. — Дальнейшее развитие теории дифференциальных уравнений, хотя и составляет теперь один из важнейших трудов современных математиков, однако не может иметь здесь места по неимению приложений в военном деле.
К трансцендентному анализу относится и вариационное исчисление, созданное Лаграюкем в конце прошлого века. Если Функция неразрывна, то безконечно малому изменению ея переменной соответствует безконечно малое изменение самой Функции; удерживая в этом изменении только члены первого порядка, получим диФФеренциал Функции, если, при изменении переменной, действия, входящия в Функцию, не изменились; если же они изменились, то изменение первого порядка рассмаг триваемой Функции называется вариацией Функции. Варияционное исчисление пока имеет уже весьма важные приложения в теории наибольших и наименьших величин, в геометрии и механике; от него можно еще более ожидать в будущем. с; Теория Чисел. К анализу алге- брическому и трансцендентному присоединяется еще третий отдел чистой математики — неопределенный анализ, или теория чисел. Задача его, по определению г. академика Остроградского, состоит в отыскании для переменных некоторой Функции таких частных значений, при которых сложнейшая Функция обращается в простейшую, и в одном из своих мемуаров г. Остроградский выразил весьма верную мысль, что со временем итот отдел чистой математики распадется на части, которые сольются частью с алгеброю, частью с трансцендентным анализом. Теперь этот отдел, сосредоточивающий в себе ббльшую часть трудов современных математиков, представляет весьма много результа- тов, в высшей степени интересных для специалиста, по беспрестанно открываемым новым свойствам Формул и чисел, но эти результаты предста в и лют весьма мало систематической группировки и весьма мало приложений; по этому было бы неуместно в специальном лексиконе распространиться более об этом отделе анализа.
В. Прикладная математика. С помощию измерения длины, мы можем изучить свойства и измерение различного рода протяжений : это составляет предмет геометрии. Механика занимается исследованием движения. Математическая физика заключает в себе все те вопросы физических наук, к которым можно приложить математический анализ. Теория вероятностей исследывает степень вероятности для нас некоторого события на основании тех данных, которые мы имеем об этом событии. Общественная арифметика заключает те вопросы, общественной жизни, к которым может быть приложен математический анализ и теория вероятностей, как-то : страхование, продолжительность жизни,кредитные обороты, и тому подобное. Мы рассмотрим здесь геометрию и теорию вероятностей, относя лиехани-ку к особой статье, математическую физику к статье физические наукиИ и устраняя совершенно общественную арифметикуt как не входящую в предмет В. Э. А.
а. Геометрия. Простое наблюдение и размышление нам показывают, что существуют три рода протяжений: линии, поверхности и объёмы. Геометрия, как наука о протяжении, изучает свойства этих трех родов протяжений и дает средство измерять их. Смотря но простоте и сложности рассматриваемых протяжений, геометрия для этого употребляет ту или другую методу, и по методе рассматривания вопроса, геометрия разделяет- ся на три отдела: геометрию элементарную или древних, геометрию аналитическую или Декартаи и геометрию начертательную или Монинса. Метода древних состоит в исследовании самого рассматриваемого протяжения, при
(фвг. 1.)
чем чертеж и Формулы служат только вспомогательным средством для памяти. Метода Декарта заключается в выражении помощью аналитических Формул всех условий заданного протяжения, в исследовании аналитического вопроса на место геометрш ческа го, и в возвращении к геометрическому смыслу вопроса только по получении окончательного результата. Метода Монжа, для протяжений не заключающихся в одной плоскости, заключается в заменении самого протяжения чертежом, дающим ясное понятие о протяжении, в в графическом разрешении вопроса на чертеже, и в возвращении потом уже от полученного графического результата к истинному смыслу вопроса. Обе первия методы мозгиио приложить ко всякому протяжению на плоскости; всеми тремя методами можно рассмотреть всякий вопрос в пространстве; но метода древних удобно прилагается только к простейшим протяэкениям; в худо-зкествах и ремеслах существует много вопросов геометрических в пространстве, аналитическое исследование которых требовало бы обширнейших сведений в анализе, чем .мозкно иметь при этом роде занятий, и потому для сложных геометрических вопросов о поверхностях предпочитают методу начертательную. Для краткости изложения, мы рассмотрим геометрические вопросы но порядку, предметов, а не по порядку доказательства геометрических истинн, и не по разделению метод
Из Самого понятия о протяжениях, мы различаем линию прямую от разного рода кривых линий} эти последния разделяем на плоские—заключающияся в одной плоскости, и косия или двоякой кривизны— не имеющия этого соойства. Из поверхностей отделяем плоскость от кривых поверхностей, и различаем объёмы тел по поверхностям. их ограничивающим. Наконец все эти протяжения представляем себе, как системы геометрических тЬчек, расположенных различным образом. Отсюда составляем себе понятие о поверхностях, как протяжениях, делящих пространство на части, о линиях, как о пересечениях поверхностей,об отдельйых точках, как о пересечениях линий.
Геолиетрия на плоскости. Прямая линия определяется положением двух своих точек. Две прямия линии на плоскости могут пересекаться в одной точке под различными углами: острыми, прямыми и тупыми, или могут быть параллельными, или совпа дать одна с другой. В случае пря-мого угла линии взаимно перпендикулярны. Длина прямой линии определяет расстояние между двумя точками. Понятие о расстоянии приводит нас к другой простейшей кривой линии — кругу, все точки которой равно отстоят от одной данной—центра; постоянное расстояние есть здесь радиус. Прямая, имеющая только оину точку общую с кругом, будет к нему касательно, и она перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку ея прикосновения. Часть секущей, находящаяся внутри круга, называется хордою, а хорда, проходящая через центр ч и равная удвоенному радиусу—диаметром. Дуги круга слузкат мерою для углов при центре, и для этого окружность круга разделяется на 360° (иногда на 400°), а градусы, на минуты и секунды. Кроме того, углы определяются некоторыми частями хорд, радиусов, касательных и секущих, называемыми тригонометрическими линиями, потому-что эти линии зависят .от длины соответственных дуг, как рассмотренные выше тригонометрические Функции (смотрите Трансцендентный анализ), зависят от. своих пере- менных,тайb что, в (ф. 1), называя угол
F (а, г) г= 0.
Пересечение трехъпрямых составляет треугольник, который будет определен, если, из трех сторон и трех углов его составляющих, да
moq через и принимая радиус oq за 1, получим:
mn=sina, on=cosa, pq=ztgu,p,gl=c’oig.
Если в Плоскости чертежи примем за известные две пересекающияся прямия линии, то всякая точка этой плоскости будет определена, когда будем знать ея положение относительно постоянных ‘ прямыхъполучающих название осей координат; эти оси бывают прямоугольные или косоугольные,. смотря по углу между ними. Точка пересечения осей есть начало координат. При прямоугольных осях всякая точка на плоскости определяется своими расстояниями до двух осей; называя эти переменные расстояния через х и у, и постоянные величины их для определенной точки через х и у по лучим выражения определяю щия точку, и называемия Сравнением точки. При осях косоугольных, х и у откладываются параллельно осям. Если на плоскости имеем кривую линию, то есть систему точек, следующих некоторому закону, то координаты хну будут переменные, и находятся между собою в некоторой зависимости, выражаемой уравнением кривой у — (х) или JP (х, у)=0. Уравнение прямой линии будет у=ах -ь Ь, уравнение круга ж-ь=г. Из двух переменных в уравнении кривой, простое число называется абсциссою, сложное—ординатою. Кроме прямолинейных координат, употребляют для уравнений кривых и полярные, именно определяют точку с помощью радиуса вектора г, или расстояния ея до некоторой по-, СТОЯННОЙ ТОЧКИ—ПОЛЮСа, И Сb помощью угла а, составляемого радиусом вектором и постоянною - прямою. Уравн ние кривой будет тогда г=ffJ или ны будут три величины, между рото-рыми одна сторона. Если один из углов треугольника прямой или тупой, то Треугольник получает название прямоугольного или тупоугольнаго; сумма всех углов в треугольнике всегда равна двум прямым углам. Если в треугольнике все три стороны между собою равны, то он равносторонний, если только две, то равнобедренный; сторона,противолежащая прямому углу в прямоугольном треугольнике, называется гипотенузою, стороны ему прилежащия катетами. Между ними существует зависимость: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если два треугольника могут совпасть ии) наложении, то они равны; если три угла одного из них равны трем углам другого, то они подобны. Три-гонометрией называется та часть геометрии, которая показывает, как, с помощью тригонометрических Функций, вычислять величину трех частей треугольника по трем другим данным.
От пересечения нескольких прямых образуется многоугольник сомкнутый или разомкнутый. Из многоугольников сомкнутых особенно замечательны чегыреугольники: с параллельными противолежащими сторонами — параллелограм; равносторонний— ромб; с 4-мя прямыми углами — прямоугольник; равносторонний прямоугольник — квадрат; четыреу гольник с двумя параллельными сторонами — трапеция, и правильные многоугольники, у которых все стороны и углы равны между собою. Линия, соединяющая две неснежные верши,ны углов многоугольника, называется его диагональю. Около правильного многоугольника можно ЗСегда описать и в нем вписать круг, то есть можно найти круг, ироходящий через все вершины многоугольника, или касающийся ко всем сторонам его. Приняв радиус круга описанного за 1, получим, что сторона вписанного правильного 6-ти-угольника рав-
4 l/T
на 1, треугольника ~r-, сторона ква-
- Л
ВГ
драта -g-, 4 сторона 10 - угольника, окружность круга 2иг, где 7с == 3,1415926. или приблизитель-
22
но, как нашел еще Архимед, у—
Принимая сторону квадрата за единицу для измерения длины, найдем, что площадь квадрата может быть принята за единицу для измерения площадей, и чтобы измерить какую угодно другую площадь, то есть отношение последней к площади квадрата, принятой за единицу, нужно взять произведение отношений двух линий определяющих площадь к стороне единичного квадрата, и умножить это произведение на некбторый коэффициент. Так площадь прямоугольника есть аЬ, тдеаид две взаимно перпендикулярные его сто-
ah
роны; площадь треугольника есть —
где а основание, а h высота треуголь-аb sin
ника, или—, где аи о стороны треугольника, а а угол между ними; площадь круга есть пга, где г радиус его, и так далее
Для исследования всх других плоских кривых, преимущественно основанием служит уравнение кривых: у=f(x), или F{x, у)=0.
Кривыя, ему соответствующия, называются его геометрическим местом, и служат для графического выражения f(x).
Смотря по виду своего уравнения, кривия разделяются на алгебрические и трансцендентные, и алгебрические на кривия разных степеней или порядков. Точка, в которой делятся пополам все хорды кривой, через эту точку проведенные, называется центром кривой линии и если центр кривой принят за начало координат,™ уравнению кривой f(x, у)=0 должно соответствовать /Н—ае,—у)=0. Прямая, пересекающая некоторую систему параллельных хорд кривой пополам, есть диаметр кривой, ивесли возьмем этоТ диаметр за ось х, а ось у направим параллельно хордам, ему сопряженным, то есть пересекаемым им пополам, то в уравнении кривой f(x,y)=0 должно быть также f (х, — у)=е0. Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра кривой, что хорды, сопряженные одному из них, параллельны другому. Диаметры, перпендикулярные к своим сопряженным хордам, называются осями, а точка пересечения оси кривой с кривою называется вершиною. Фокусом кривой, по определению Эйлера, называется точка, которой расстояние от всех точек кривой, или ро-диус вектор, есть рациональная Функция от координат точек кривой. Касательная к кривой в данной точке есть частный случай секущей, когда две точки пересечения сливаются в одну и закон нецрерывности в положении прямой не нарушен, у=—,
dx
в которой значения у и х суть координаты точки прикосновения, будет тангенс угла собственного с осью х, касательною к кривой, которой уравнение у=f {х). Нормальною линией к кривой называется перпендикуляр, восставленный к касательной в точке прикосновения. Если (ф. 2) пп, есть ка-
(фнг. 2.)
с а тельная к кривой атb, то пр=Stподкасательная, pq=Sn — наднормаль-пая, тп= Т определенная касательная, mq=N определенная нормаль. Ассимп-тотою кривой называется предел ка3
0-У,8)2 У
Если у=f(x) есть уравнение кривой, то площадь, ограниченная осью х, кривою и двумя ординатами, соответствую-
ft
щими х=а и х=ft, будет Q—f fix) dx;
а площадь, ограниченная кривою и двумя радиусами векторами, соответствующии
МИ углам а, И а, бу ДОТb Q =
Длина кривой в тех же пределах будет:
,=/rfaV(£)4
личина постоянная; каждая точка параболы равно отстоит от Фокуса и некоторой постоянной прямой — директрисы. При α= ft эллипс обращается в круг, гипербола в раЬнобочную гиперболу. Гипербола имеет ассимп-тоты, составляющия с пересекающею
ft
осью углы, тангенсы которых суть - ;
a
если иримем ассимптоты за координат, то уравнение гиперболы сделается a2-ft п
ху =—Площадь фдлипса есть ъаb; площадь, заключенная между гиперболою, ея ассимптотою и двумя ординатами, параллельными другой ас-симптоте, называя отрезок на ассимп-
ab 2А
тоте h будет— g—==.Площадь, 2 Ва--6
заключенная между параболою, осью еяи некоторою ординатою у, будет — ху.
Уравнение кривых в полярных координатах, когда полюс в Фокусе,
„ N
будет г=-и выражает эд-
1 f— € COS Ct
сательных, или прямая, к которой кривая постоянно приближается, сливаясь с ней на безконечном расстоянии. Углом смежности называется безконечно малый угол между двумя смеж-ными касательными к кривой. Радиусом кривизны радиус круга, имеющого в данной точке кривой к этой последней прикосновение второго порядка, то есть круга, точки которого, сметные точке прикосновения „ отдалены от точек кривой на безконечно малия величины, третьяго порядка; удерживая для у и уп значения производных, в которых подставлены координаты точки-прикосновения, получим для радиуса кривизпы:
=/dy/i - (НУ
О/
Если эти интегралы не можем получить прямо, то употребляем Формулу для квадратур, смотрите выше.
Алгебрические кривия всегда пересекают прямую линию в конечном числе точек. Кривия второго порядка суть трех родов: эллипсы, щперболщ и параболы. Первые два рода имеют центр и две сопряженные оси, из которых в гиперболе только одна пересекающая. Принимая направление осей эллипса и гиперболы за оси коор- х у Л
динат, получим уравнения —= 1,
’ аг о где а и Ь две полуоси, знак соответствует эллипсу, — гиперболе. Параболы центра не имеют, но имеют ось; если ее примем за ось х и вершину параболы за начало координат, то уравнение параболы будет у=рх. Эллипс и гипербола имеют безчисленное мпожество сопряженных диаметров, из которых одна система равных. Диаметры параболы параллельны ея оси. Эллипс и гипербола имеют два, а парабола один Фокус; для эллипса сумма, для гиперболы разность радиусов векторов цаждой точки есть ве-
Дипс, параболу рли гиперболу, смотря по ому, будет ли е 1, е=1 или е 1.
Все кривия второго порядка удобно строятся по точкам и к ним легкб провести касательные через точки на кривой, вне кривой и параллельно данной прямой.
Из прочих кривых заметим циклоиду, описываемую точкою круга катящагося по прямой; если назовем г радиус производящого круга и и угол, составляемый радиусом ироиаводящого круга, идущим к точке кривой с радиусом перпендикулярным к основанию циклоиды, то уравнение кривой будет х=г ( — sm )
у=г (1 — cos), где остается исключить
Кроме того замечательны епицикло-пды, циссоида, конхоида, квадратрикса, эволюты разных кривых и прочие, но оне не представляют замечательных приложений.
Геометрия в пространстве. Плоскость в пространстве определяется тремя точками, не находящимися на одной прямой. Две прямия линии в пространстве могут, кроме положений, о которых сказано выше, не находиться в одной плоскости. Прямая может пересекать плоскость, быть ей параллельна, или лежать в этой плоскости. Две плоскости могут пересекаться под некотррым плоскостным или двугранным углом, быть между собою параллельными или совпадать. Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, составляют толстый или многогранный угол. Утл между двумя неииересекающимися прямыми считается равным углуиаежду прямыми, им параллельными и проходящими через одну точку; угол между прямою и плоскостью считается равным наименьшему из углов, составляемых данною прямою с прямыми проходящими по плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью; плоскостный угол считается равным углу между перпендикулярами, опущенными на плоскости из произвольной точки, или между перпендикулярами, восставленными на плоскостям к их лгинии пересечения. Поверхность, точки которой равно отстоят от некоторой постоянной точки — центра, есть шар; всякая плоскость рассекает его по кругу; плоскость, проходящая через центр — по большому кругу. — Многоугольник, стороны которого не находятся в одной плоскости, называется косым многоугольниколи. — Три плоскости, взаимно пересекающияся, образуют на шаре сферический треугольник; обыкновенно рассматривают только треугольники, составленные из дуг больших кругов; часть геометрия, занимающаяся исследованием свойств сферических треугольников и определением их искомых частей по данпым, есть сферическая тригоно-л иетрия.
Проектировать точку на прямую линию или на плоскость, значит опустить из данной точки перпендикуляр — проектирующую линию па данную линию или плоскость; точка пересечения перпендикуляра с линией или с плос-костыо есть проекция точки на линии или на плоскости.—Проэкция определенной части прямой а на данное направление, с которым ирямая составляет угол а, есть отрезок, полученный на данном направлении двумя перпендикулярами, опущенными на это направление из концов части прямой; величина прбэкции будет а, cos а. Выражение остается тоже для проекции прямой на плоскость, то есть для прямой линии, составленной на плоскости проекциями всех точек рассматриваемой прямой;, а есть в этом случае угол между прямою и плоскостью.—Проэкция -сомкнутого многоугольника на какое, угодно направление равна нулю.Назвав углы, составляемые какоюлибо прямою ас тремя взаимно перпендикулярными направлениями, „ а5, и проекции ея на эти направления, а, ае, а8, найдем co§£| -и cos h— cosa,=1, a=a,--!5 Проэкция площади а на какую либо плоскость, с которою она составляет угол есть площадь, полученная на этой плоскости проектированием на последнюю всех точек данной площади; эта проэкция равна а cos a.
Три взаимно перпендикулярные прямыя, или оси координат, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости координат; если мы знаем три проэкции определенной точки на эти плоскости, или три расстояния трч-ки от плоскостей координат — три координаты точкщ то мы знаем положение самой точки, и это распространяется и на систему точек, составляющих прямую или кривую линию. Таким образом положение точки и линии в пространстве определяется их проэкциями на плоскостях координат. Положение илоскости определяется или ея пересечениями с плоскостями--ея следами, или зависимостью меж~ ду переменными координатами точек, на ней находящихся, ея уравнением последним способом определяется также положение и Фигура всякой поверхности. — Но если ишеем проэкции точек и линий и следы плоскостей на двух плоскостях координат, то большей частью не нужно бывает вводить третью плоскость; тогда, совместив одну с другою плоскости, принимаемия в этом случае одна за горизонтальную, другая за вертикальную, и называемия плоскостями проэщий, — получим ня одной плоскости чертеж, составленный из проэкций и следов, бывших на обеих плоскостях, и дающий нам ясное понятие об изображаемых протяжениях. Так (ф. 3), но методе Монжа, (а, а) изобразит точ ку (тп, тп.), прямую линию (PQ, QR), плоскость; ху будет ось проэкции, то есть ось, общая двум плоскостям координат, на которых берем проэкции точек, линий и следы плоскостей. — Выражая те же протяжения аналитически, получим уравнение точки в про-
Ч-a, α= а, cos а,-на cos а -на, cos а.
(иг. 3.)
Я
странстве, то есть величины ея трех координат:
уравнение прямой будет со- У=У % стоять из уравнений ея про-Ия=z, ‘Экций, которые иногда рассматриваются только две, а иногда все три; так прямая, заданная вообще своими проэкциями на плоскости xz и yz9будет иметь уравнением х=a z -н у=bz -+- р.
Уравнение плоскости будет ах -н by -н cz=d, Уравнение шара х у -н z=г.
Пересечение рескрльких плоскостей образует многогранник. Из многогранников замечательны : параллелепипед — ограниченный шестью параллелограммами и называемый прямым, когда параллелограммы, обращаются в прямоугольники; призма — две грани которой суть равные и параллельные многоугольники, а остальные суть параллелограммы, а в прямой призме прямоугольники; пирамида, одна грань которой есть многоугольник, а все другие —треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиною пирамиды, и пять правильных многогранников, то есть ограниченных равными и правильными многоугольниками, именно: тетраэдр, октаэдр и додекаэдр, ограниченные 4, 8 и 20 треугольниками, куб или гексаэдр, ограниченный 6 квадратами, и икосаэдр, ограниченный 12 пятиугольниками; друХ=Ш у=UJ
гих правильных многогранников быть не может. Поверхности этих тел получатся, складывая площади многоугольников их ограничивающих. За единицу, для измерения объёмов, принимается объём куба, ребро которого равно линейной единице. Все прочие объёмы выразятся произведением трех линейных величин на некоторый коэффициент. Называя площадь основания параллелопииеда, призмы или пирамиды через Р, высоту их через h, получим для объёма первых двух Ph, для третьей —. Поверхность и объём шара, которого ра
А 4игг3 диус г, будут 4тгГ И -гу-
Для исследования поверхностей вообще служит преимущественно их уравнение : f (xty,z)=0,
выражающее зависимость между координатами точек, на них находящихся, и способ их ироизвождения. Кривия линии в пространстве, как пересечение двух поверхностей, выразятся дву мя уравнениями, которые обыкновенно суть уравнения их проэкций; взяв эти проэкции на плоскостях координат до и yz, получим уравнение кривой ли-нии в пространстве : точка, В которой Все хорды поверхности через эту точку, проведенные, делятся пополам, называется центром, и если начало координат находится в ней, то, должно быть для поверхности, которой уравве- ние ffx, у, z) — 0, в то же время f ( — х, — у, — z)=0. Диаметральною поверхностью или плоскостью называется поверхность или плоскость делящая пополам систему параллельных хорд данной поверхности. Касательная линия к кривой линии в пространстве будет всегда .иметь проэкции, касательные к проэкциям кривой линии. Нормальною плоскостью к кривой линии называется плоскость, перпендикулярная к ея касательной в точке прикосновения Плоскостью кривизны кривой линии называемся плоскость, проходящая через две смежвия касательные, которые в этой плоскости составляют между собою безконечно малый угол смежности или угол первой кривизны кривой; нормальная линия, составляющая пересечение нормальной плоскости с плоскостью кривизвМ, называется главною нормалью; безконечно малый угол, составляемый двумя смежНыми плоскостями кривиз-4 ны той же кривой, линии, называется углом второй кривизны линии; эти два угла и два зависящия от них радиуса кривизны служат для Измерения кривизны кривой линии. Касательною плоскостью к поверхности называется плоскость, заключающая касательные ко всем кривым, проходящим по данной поверхности через данную точку ея. £сли уравнение поверхности есть и=ffx, у, z)=0, то управнение касательной плоскости будет :
du
dx
du
dz
(Z-л)=0,
где x, у, л, суть координанты точки прикосновения, а X, Y, Z, переменные координаты и плоскости. Линия, перпендикулярная к касательной плоскости в точке прикосновения, будет нормальна к поверхности. Кривизна поверхностей изучается с помощию исследований, изменения радиусов кривизны различных их сечений. 11о .Форме уравнения поверхности, эти последния делятся подобно кривым на поверхности алгебрические и трансцендентные, а первия на поверхности разных степеней; из них особенно замечательны поверхности второй степени, разделяющиеся на поверхности, имеющия один центр—эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, поверхности, не имеющия центра—пароболоидьи, и имеющия безчисленное множество центров—доглмидры.
Поверхности можно произвести движением некоторой производящей по данному закону, обыкновенно по одной BJB но нескольким направляющим линиям, причем производящая может быть постоянна или переменна. Способ ироизвождевия иозволяет изображать поверхности вачертательно, изображая в проекциях их направляющия, производящия, замечательные точки, очерки, и согласно закону нроиз-вождевия, разрешая графически различные вопросы относительно этих поверхностей. По различным способам произвождения, поверхности разделяются ~на группы или семейства, имеющия некоторые общия свойства, относящияся в особенности к их касательным Плоскостям и нормальным линиям, и выражающияся уравнениями в частных дифференциалах рассматриваемых пововерхностей. Так поверхности линейчатыя, то есть производимия движением прямой по некоторому закону, разделяются на разверзающияся и косыя; в первых два смежные положения производящей црямоии находяе-в одной плоскости; втория не имеют этого свойства. Из разверзающихся, замечательны цилиндрические поверх ности, в которых все положения производящей прямой между собою параллельны и конические, в которых все производящия проходят через одну точку —центр или вершину поверхности. Поверхности вращения суть та-кин, в которых все точки производящей описывают круги около некоторой прямой, называемой осью поверхности; если производящая кривая находится в плоскости проходящей через ось, то производящая получает название мери-оионального сучения; к поверхностям вращения принадлежат прямой цилиндр, прямой конус, шар, эллипсоиды вращения сжатый аудлиненный, гиперболоиды вращения об одной и двух полах, и так далее Сечения прямого цилиндра плоскостью суть круг и эллипс; пересекая прямой конус плоскостью, иолучим все кривия вторага порядка, которые по этому и называются коническими сечениями. Поверхности и объёмы тел Измеряются помощью-двойных и тройных интегралов:
V =
&
J J J dx dy dz. я У и /
Поверхности и объёмы тел вращения около оси х, измеряются с помощью интегралов:
S=2тг J xds и F=7г j xdz,
z%, и где xt z и s суть координаты и длина кривой меридионального сечения на плоскости XZ. ‘
Если имеем- некоторую непрерывную систему точек т, будет ли это длина, поверхность или объём, и назовем переменное расстояние точек этой системы до некоиорои другой точки, или до некоторой линии через г, то выражение I=Угдт называется моментом инерции этой системы точек, относительно рассматриваемой точки или линии. — Между всеми точками пространства будет всегда существовать одна, для которой величина I данной системы точек будет наименьшая; эта точка называется центром инерции, ила центром тяжести данной системы точек, и, назвав X, Г, Z координаты центра инерции, и х, у, z координаты переменных точек системы, будем иметь:
S xdm rr S у dm S zdm
X — У —$ & —
m m m
Если имеем несколько отдельных систем точек т%, т9, т и так далее, которых центры инерции будут соответственно иметь координаты ле„ yf, z,9lхя, Vif z и так далее, то, для координатму числу событий может тем более близко определить истинную вероятность события, чем более.произведено опытов. Этот закон больших чисел есть один из важнейших для приложений к общественной арифметике, метеорологии и в военном деле к теории действительности выстрелов. — Но в последний иериод времени особенную важность приобрело приложение теории вероятностей к естественным явлениям, к наблюдениям и опытам, помощью методы наименьших квадратов, созданной Лежандром и Гауссом. Основанием ея слуцентра инерции этого собрания систем точек, гиолучим:
_ 2 хт __ 2 ут _ 2 zm
~ £ш ’ ”2т 2т ’
где 2 есть знак суммы подобных членов. Момент и центр инерции, хотя и суть величины чисто геометрические, но играют особенно важную роль в механике, из которой они и получили свои названия.
Прикладные геометрические вопросы особенно встречаются в съемке планов, геодезии, разрезке камней, архитектуре, в теории теней и блестящих изображений, в перспективном черченьи, и т. и.
b. Механика, см. это слово.
c. Математическая физика, см. физические науки.
d. Теория вероятностей также исчисление и анализ вероятностей. Всякое событие совершается по неизменному закону необходимости, связывающему следствия с производящими их причинами, но в ббльшем числе событий мы не знаем всех причин, а потому и следствия для нас не необходимы, но только более или менее вероятны. Еслц для нас равно возможны и случайностей из которых р имеют следствием совершение какого либо события,.а q его невозцож-
Р
ность, то дробь — есть мера вероят и,
ности событии, или вероятность его а ~ противуположная вероятность; смо-п
Р
тря по тому, будет ли дробь —более,
п менее или равна - мы можем раз считывать на совершение события, или не ожидать его, или не можем ничего сказать о его вероятности; если —=1, то событие несомненно. От этого про-стого понятия можно перейти к сложнейшим. Если рассматриваемое событие есть непременное следствие каждого из нескольких событий, которых вероятности известны, то вероятность рассматриваемого /события равна сумме вероятностей остальных. Если событие происходит только в следствие одновременного совершения нескольких других событий, то вероятность первого равна произведению вероятностей последних. — Всего более занимались математики прежнего времени приложением теории вероятностей к играм, коммерческим рассчетам и пари; этот предмет выходит из пределов нашего Лексикона и по тому мы только заметим, что в эти приложения должны войти для правильного решения вопроса математическое ожидание, то есть произведение вероятности выгоды на величину ея, физическая и нравственная цеиность известной суммы денег для игрока, нравственное ожидание, то есть разность между суммою, которую надеемся приобрести, и суммою прежнего состояния, и так далее Теория вероятностей доказывает, что всякий игрок имеет большую вероятность проиграть чем выиграть и что выигрыш в денежные лоттерёи представляет весьма мало вероятности. — Более сложный вопрос представляет определение вероятности, что при повторенных опытах какое либо событие повторится в данных пределах числа раз. Цри весьма большом числе опытов отношение числа благоприятствующих событий ко всежит следующее начало наименьших квадратов: если рядом наблюдений определен ряд значений нескольких Функций от некоторых неизвестных, причем число произведенных наблюдений всегда должно превышать число неизвестных, то значения, неизвестных должны быть определены таким образом, чтобы сумма крадратов погрешностей в значениях Функций была наименьшая. При подчинении наблюдений вычислению, должна быть введена в рассчет и относительная точ- пост их. С помощью этой теории может быть определена и вероятная бшибка какого либо наблюдения, чтб весьма важно в физических науках. Замечательны также приложения теории вероятностей к определению некоторых трансцендентных чисел, помощью механических приемов, как-то: бросания палочки определенной Формы на лист, расчерченный определенным способом, и тому подобное. — Сочинение Лапласа: Tbeorie aoalylique des proba-bilites, составляет до этих пор необходимый исходный пункт для изучения теории вероятностей, хотя, конечно, □осле него совершены многие работы по различным отделам науки. — Система страхования вполне основана на теории вероятностей; покушались приложить ея к вопросам юридическим; наконец она составляет одно из средств, с помощью которых можно надеяться проложить путь математическому анализу в область наук нравственных и политических.
Если к военному делу относятся труды артиллериста, определяющого теоретически Форму артиллерийского орудия и путь снаряда в воздухе, труды инженера, определяющого форму адания, которое бы, при данной поместительности и данном сопротивлении удару снаряда, требовало бы наименее материяла, наконец труды геодезиста, измеряющого кривизну земли с помощью сети треугольников, если—повторим—все эти труды относятся к Том VIII.
военному делу, то едва ли может представится вопрос: нужен ли военному математический анализ и в особенности высшия его частие
По огромности математической литературы и по ограниченности места для вспомогательных наук, в В. Э. Л. невозможно приложить к предлагаемой статье списка даже важнейших математических сочинений. П. J. J.