> Военный энциклопедический лексикон, страница 59 > Математические науки
Математические науки
МАТЕМАТИЧЕСКИЯ НАУКИ. Для военных знании, составляющих специальный предмет Б. Э. Л., науки математические, естественные, нравственные и политические представляют необходимое основание. Нельзя требовать отъ всякого образованного Офицера, чтобы он был в одно и то же время специальным геометром, химиком, психологом и статистиком, но необходимо для инженера уметь определить устойчивость и сопротивление сооружения, для артиллериста уметь определить составные части металла орудий, для военачальника знать, какие струны в душе солдата он должен затронуть, чтобы одушевить войско предъ боем, поддержать в случае поражения, какие материальные средства представляет та иди другая местность для расположения и содержания в ней войск. По этому, вспомогательныя науки должны войти в курс образования офицера и в план В. Э. Л., но лишь на столько, на сколько оне нужны военному. Тем не менее, какъ науки, для сохранения своего значения, вспомогательные знания не могут войти в состав военного образования отрывочными кусками, нотому-что отрывочное знание чего-либо бесполезно, по невозмоа;ности составления себе, на основании подобного знания, ясной идеи о предмете науки, и вредно, потому-что время, назначенное на подобное изучение, могло бы быть употреблено с большей пользою на что-либо другое. Вспомогательные знания должны войти в курс военного образования в своей целости, т. е. с сохранением всех существенных своихвыводов, но бЬльшее развитие может быть предоставлено только тем частям, которые имеют прямое приложение к военному делу; самия же методы, с помощью которых выводы науки получены, методы, которые для специалиста составляют едва ли пе самое важное дело в науке, могутъ быть без особенной погр ешности развиты весьма умеренно, а иногда и совсем обойдены в курсе, назначаемом для приложения к военному делу.— Тем более в статье Лексикона, обнимающого всю область военных знаний, вспомогательным наукам можетъ быть дано весьма скромное место, дозволяющее только указать на сущность главных отделов этих наук, но не допускающее никакого подробнаго развития. Самое приложение математики к военному делу показано в различных статьях Лексикона (смотрите Баллистика, Барометрическое пивеллирование, Геодезия, Строительное искусство, и другия).
Начнем с практического примера. Положим, что стреляем из орудия разрывным снарядом и желаем, чтобы снаряд разорвался при падении на землю : между весом заряда, дальностью полета и временем полета, (которое определяет длину гранатной или бомбовой трубки), должна существовать некоторая зависимость, причем мы устраняем прочия обстоятельства, имеющия влияние на полет снаряда. Здесь вес, дальность, время′ могуть делаться более или менее, имеют каждый свою единицу, которая может служить для их измерения, и но этому они называются величинами или именованными числами, подобно тому, как величиною может назваться все, чтЬ делается более или менее, а именованным числом всякая величина, имеющая свою особенную единицу. Таких величинъ весьма много, но мы можем прямо измерять только длины, времена, весы, ценности и вероятности; прочия же величины (поверхности, объёмы, силы,
скорости, температуры, работы, ит.п.), хотя имеют свои единицы, но измеряются с помощью измерения величин, названных выше. — Отличительное свойство величин измеряться своей единицею, позволяет составить особый род величин, в которомъ единица остается произвольною — числа или собрания единиц. Истина, выведенная для чисел, будет очевидно справедлива и для других родов величин, и потому наука о числах составляет основание науки о величинахъ вообще.
Таким образом наука о величинах — математика, разделяется на чистую .математику — науку о числах, и на прикладную математику, заключающую приложение науки о числах к разным родам величин.
А. Чистая математика. В рассмо-тренном выше примере, дальность полета снаряда изменяется с изменением угла возвышения и веса-заряда, при чем орудие считается данным и действие тяжести неизменно 32,2 фута. Здесь входят различные числа с разным значением. Действие тяжести дано — это есть число арифметическое. Размеры орудия считаются данными каждыц раз при решении вопроса; при каждом подобном вопросе они могут быть различны в различныхъ случаях, хотя остаются без изменения при решении отдельного вопроса : это числа аналитические постоянные. Угол возвышения и вес снаряда считаются зависящими от нашего произвола, т. е. мы можем им дать произвольную величину в пределах, определяемых устройством орудия : это числа переменные независимыя, или простия числа. Наконец, дальность изменяется в зависимости от изменения угла возвышения и веса заряда, опо будет число переменное зависимое отъ двух первых, или сложное число; обыкновенно же называется функцией. двух рассматриваемых простых чи
Очевидно, всякий математический вопрос приводится к рассмотрению одной или нескольких функций, от одного или нескольких простых чисел, и чистая математика приводится к изучению различных Функций. — Если простия числа функции даны арифметически, и мы умеем получить арифметическое число, соответствующее Функции, то эта Функция считается известною; таким образом весьма много функций задаются таблицей их значении, соответствующих ряду значений простых чисел, в них входящих, которые при этом называются аргументами функции. Функции от одного простого числа задаются также графически (смотрите ниже Геометрия). ГИо существуют и такие Функции, в которыхъ мояино проследить их составление изъ простых чисел; такие Функции называются аналитическими и ими в особенности занимается чистая математика. Для знания аналитических Функций надо знать: 1) их сущность, т. е. составление из простых чисел, в нихъ входящих; 2) их обозначение; 3) ихъ преобразование, т. е. уметь их представить в разных видах, не изменяя величины их; 4) их вычисление, т. е. уметь получить значение Функции, если простия числа, в нее входящия, даны арифметически. Первые три пункта составляют математический анализ, последний пункт составляет арифметику. Для обозначения функций неизвестных служит буква f, поставленная перед простыми числами. Так : г=f {х, у)
показывает, что z есть число, зависящее от простых чисел х и у. Это обозначение употребляется иногда для краткости и при известных функциях.
Если сравним между собою два числа, А и В, которые полагаем Функциями от некоторых простых чисел, то может быть, что А равно В, более В, иди менее В. Это обозначается так :
сел.
А=В, АУВ, А < В,
первое отношение называется равенством, и, когда А — 1и при всех значениях простых чисел, в них входящих — тожеством; если, А=Ии только при некоторых значениях простых чисел, то уравнением. Последния два отношения называются неравенствами.
Алгебрическилпг функциями называются семь простейших Функций : сумма, разность, произведение, степень, частное, радикал, корень алгебрическаю уравнения и, кроме того, всякая функция, состоящая из собрания конечнаго числа этих простейших Функций. — Алгебра есть часть чистой математики, изучающая алгебрические функции. Все прочия Функции суть трансцендентные, и изучаются в трансцендентном анализе.
а) Алгебра. Сумма, произведение и степень происходят следующим образом : сумма составляется из простыхъ чисел — слагаемых, как целое изъ частей; если все слагаемия равны, то сумма зависит от одного слагаемаго и от числа раз, которое это слагаемое повторяется— эти два простия числа называются множителями, а сумма произесдсниели их; приняв произведение из двух множителей за новое слагаемое, и повторяя его несколько раз, составим произведение из трехъ множителей, и так далее Если все множители равны, то произведение зависитъ от одного из них и от числа раз, которое этот множитель вошел; тогда множитель называется возвышаемым, число раз, которое он входит— показателем, произведение — степенью. Показатель алгебрической степени считается всегда постоянным. Действия, приводящия к этим Функциям, называются сложением, умножением и возвышение.н. Для обозначения сложения служит знак-+-плюс; для умножения Х> > или не употребляется никакого знака; возвышение обозначается местом показателя. Так :
х=а-г-Ь-г-с-г-d есть сумма, гдиа,Ь, с d слагаемыя;
х=abed есть произведение, где а, b, д, d множители-,
х=а есть степень, где а возвыгиаелюе, b показатель.
По предыдущему все эти три еыражения могут быть преобразованы в сумму, степень, в произведение; кроме того, сумма не изменится от изменения порядка слагаемых, произведение от изменения порядка множителей.
Вычисление этих трех выражений считаем известным всякому, читателю. Заметим только, что результатъ разсм атренных действий всегда возможен, и представляет целое собрание единиц, если простия числа суть такие же собранир единиц.
Из рассмотренных трех действий получаем три обратные : вычитание— отделение слагаемого от суммы; деление — отделение множителя от произведения; извлечение радикалов — отделение возвышаемого от степени.
Функция, получаемая от вычитания, есть разность, т. е. остальное слагаемое, причем сумма получает название уменьшаемого, отделяемое слагаемое — вычитаемого. Для обозначения вычитания служит знак — минус. Так :
х=а — b есть разность, где а уменьшаемое, b вычитаемое. Производство арифметического вычитания считаемъ известным, но заметим, что вычитание дает возможный результат только в сдучае уменьшаемого большого вычитаемого. При равенстве этих чиселъ разность есть пуль, при уменьшаемомъ меньшем вычитаемого разность есть невозможное — отрицательное количество. Остановимся немного над этими выражениями, потому-что невозможныя выражения в математике представляют самое нерсное понятие для тех, которые не вникнут в предмет поглубже. Нуль есть разность, которая, входя слагаемым или вычитаемым, может быть отброшена без изменепия результата; входя множителем или возвышаемым, обращает произведение или степень в нуль; входя показателем, обращает степень в 1. Отрицательное количество само по себе невозможно и вопрос, к ллему приводящий, невозможен, так как онъ задан, но весьма часто случается, что его невозможность происходит только ог того, что он задан не так, какъ следует, и что именно из двух случаев, им допускаемых и взаимно друг друга исключающих, мы рассматриваем не тот, который встречается. Например, если ищется на данной линии точка, то она может лежать справа и слева некоторой данной точки; положим, что вследствие условий вопроса, она лежит слева, а мы ее′ предположили справа, и при этом предположении производим вычисление; результат должен выйти невозможный, нотому-что справа искомой точки нет, но он не возможен не потому, что искомая точка не существует, а потому, что мы ее ищем не там, где следует; тот же вопрос долженъ привести к возможному решению, если будем искать точку слева данной. Таким образом часто невозможная разность, получаемая при решении вопроса, указывает только, что истинный ответ заключается в обратной разности, всегда возможной, и соответствующей другому предположению при томъ же вопросе. По этому, отрицательныя количества, или невозможные разности, подчиняются вычислениям, как возможные числа, которыя, в противуу=ахп -+- а,хп “ -г- а2хгде выражения, разделенные знаками -ь или —, суть члены, х главная буква, количества а, а„ аг, и так далее, предстоящия или коэффициенты числа х; эти коэффициенты постоянны, если у есть функция от одного х; если же у зависит от нескольких простых чисел, то коэффициенты суть многочлены, заключающие все прочия простия числа.
«сложность первым, называются положительными количествами и принимают перед собой знак -г- Так:
5 —2=-ьЗ 7 — 9=— 2.
Если отрицательные количества придаются, или отнимаются, то над обратными им положительными количествами производятся действия обратные. Если они входят множителями, то численная величина произведения получается такая же, как при тех же множителях положительных, но произведение будет возможно (положительно), или невозможно (отрицательно), смотря по тому, входит ли въ него четное или нечетное число отрицательных множителей. При отрицательном возвышаемом степень возможна или невозможна, смотря по тому, будет ли показатель четное или нечетное число. Отрицательный показатель указывает на то, что в рассматриваемом выражении происходит действие деления. Отрицательные количества иногда называют меньшими нуля; это значит, что при введении невозможных значений отрицательных количеств в выражении, мы можемъ разсуждать об них, как бы они были менее нуля, и от этого ошибки в результате не получим. Также можно сказать, что величина отрицательныхъ количеств уменьшается с увеличением их численной величины.
Если выражение составлено из показанных четырех действий, то ал-гебрическая Функция есть целая. Общий вид ея есть алгебрнческий многочлен.
«—Iх -+-
кроме х. — Производя означенные четыре действия над одною или несколькими целыми Функциями, мы всегда получим целую же Функцию. Если переменные и постоянные в целой Функции заменим целыми арифметическими числами, то и результат вычисления будет целое число, и при этом можем получить количество положительное, отрицательное или нуль. Количество, обращающее функцию в нуль, называется корнем функции.
Функция, получаемая от деления, есть частное, т. е. множитель, остающийся но отделении данного множителя — делителя, от произведения — делимого. Так как не всегда можно Найти целое число, равное совершенно частному, то деление дает начало дробным числам или дробям, которые не могут выразиться собранием данныхъ целых единиц, но имеют с ними общую меру. Для обозначения действия деления, употребляется знак : или черта. Так:
а 7
х=— или х=а : о
Ь
есть частное или дробь, где а есть делимое или числитель, b делитель или знаменатель; а и Ь члены дроби х. — Число, делящееся на другое, нацело,
ахт -+- а,хт—′ -н агхт 2 -+-У ~ bх“ -+- Ь,хп—> ч- btxn— -+-
где числитель и знаменатель у суть целия Функции. При вычислении у получим количество положительное, когда члены дроби получатся с одинакпмн знаками, отрицательное, когда с разными; если числитель обратится въ нуль, то дробь тоже равна нулю. Если знаменатель обратится при вычислении, в нуль, то значение дроби невозможно, именно, это значение будет более всякого числа, как бы мы велико его не взяли. Это невозможное значение называют безконечностью со и рассматривают как предел для увеличения чисел. Хотя дробь, у которой знаменатель есть нуль, невозмоикна, и при решении вопроса указывает большею частью на его невозможность, но встречаются исключения : например, если для расстояния, на котором пересекаются две прямия линии, получаемъ безконечность, значит линии параллельны (смотрите ниже геометрия). Если оба члена дроби обратятся в нули, то дробь может принимать на себя безназывается его кратным, делящееся на несколько других нацело — ихъ общим кратным; число, делящее Другое нацело, называется его делителем, делящее несколько чисел нацело— н\ общим делителем; числа, не имеющия никакого общого делителя, называются первыми между собою; числа, делящияся нацело только сами на себя и на единицу, называются первоначальными.
Если в Функцию входят только пять рассмотренных действий, то она называется дробною алгебрическою Функцией. Дробные и целия Функции вместе называются рациональными. Рациональная Функция может быть всегда приведена к такому виду, чтобы въ нее входило в более одного раза действие деления, цли к виду линогочлец-ной дроби, так что общий вид рациональной Функции есть :
-+ ат—а®„Л- ат—Iх +" атчисленное множество различных значений прнтех а;е значениях простых чисел; дробь тогда неопределенна; впрочем иногда, например, если в дробь входит только одно простое число, можно найти ея истинное определенное значение при значении переменной, обра-ощающей ее в —. Дробные выражения могут получить вид целых, заменяя знаки деления отрицательными показателями.
Функции, получаемия от извлечения радикалов, суть радикалы разных степеней, причем степень получает название подкоренной, показатель ея называется показателем радикала. Въ случае показателя 2, радикал называется квадратным корнем, в случае 3 — кубичным. Так как большею частью невозможно найти пи целаго числа, ни дроби, которыя, возвышенные в данного показателе, дали бы данную степень, то извлечение приводит к числам несоизмеримым —
пеимеюицнм общей меры с данною единицею. Ддя обозначения извлечения употребляется знак [/. Так:
6_
х — \/ а есть радикал степени Ь из подкоренной а. Преимущественно разсматриваются корни квадратные и кубичные. Если подкоренная положительное количество, то корень квадратный имеет два значения, разнящияся только знаками; если подкоренная отрицательная, го ни одного; в последнемъ случае выражение невозмоашое, получаемое при извлечении корня квадратного из отрицательного количества, называется мнимым, в иротпвунолоа;-ность коему количества, положительные и отрицательные, называются веиественными. у — 1=г называется мнимым; всякое выражение, заключающее г, может быть приведено к виду а -г- Ьи, где а и Ь вещественные количества; всякое действие, произведенное над а -+- Ы, приведет к выражению такого же вида; равенство а -+- Ы — с -+- di даст α= с и Ь=d. Э го последнее свойство позволяет с выгодою вводить в вычисление мнимия выражения, иотому-что мнимый их знакъ исчезает, когда вопрос приведен къ уравнению. — Корень кубичный даетъ всегда три значения, одно вещественное одинакового знака с подкоренною, и
П _
два мнимыя. — Вообще [/ а дает и значений, из которых получается вещественных : при и, четном 2, или ни одного, смотря по тому, будет ли а положительное или отрицательное;
где коэффициенты у суть целия Функции относительно х. Несколько алгебри-ческих Функций, от одной или нескольких переменных, могут быть даны вместе несколькими совокупными целыми алгебрическимп уравнениями. Таким образом, вычисление всякой алгебрической Функции приводится кпри « нечетном — одпо вещественное значение, одинакового знака с иодко-
« __
репною; все остальные значения \/ а мнимыя.
Функции, заключающия 6 рассмотреп-ных действий, называются радикальными; оне делятся на порядки, смотря по тому, сколько раз в них производится извлечение радикала первоначальной степени над переменным числом. Так :
порядка.
Если в радикальную Функцию входят отдельно радикалы порядка т, и, р, q, то число значений .функции, при данном значении простых чисел, будет mnpq. Эти значения могут быть положительные, отрицательные, рапные нулю, безконечные, неопределенные и мнимыя.
Алгебрическим уравнением называем такое уравнение, в обе части которого входят только 6 рассмотрев-ных нами алгебрических действии. Целым алгебрическим уравнениемъ называем такое, в котором первая часть есть целая алгебрическая Функция, а вторая часть равна нулю. Всякая алгебрическая Функция, у=f[x) отъ одной переменной, может быть представлена корнем целого алгебрпческого уравнения
+ —иУ и = 0 >
отысканию корней целого уравнения с численными предстоящими. Но величине показателя и, уравнения бываютъ разных степеней. Корни или решения уравнений первой степени суть рациональные Функции от коэффициентов. Корни квадратных уравнений приводятся к извлечению квадратных корней. Корни кубичных уравнений и уравнении 4-ии степени приводятся также большей частью к извлечению радикалов. Из уравнений высших степеней двучленные вида хт — Ли тричленные вида х2т -+- ах′п -+- b=О имеют корни, тоже выражаемые радикалами. Долго искали радикальныхъ выражении для корней всякого алгебри-ческого уравнения, пока в нынишинемъ веке норвежский математик Абель доказал, что корни уравнений пятой и высших степеней вообще радикалами не выражаются, и, следовательно, составляют особое, высшее алгебриче-ское действие. Эти корни будут вещественные или мнимые вида а -+- Ы и число их всегда равно показателю степени уравнения. Корни соизмеримые могут быть весьма удобно получены. Уравнение, заключающее равные корни, может быть простым делением сведено на одно или несколько другихъ простейших уравнений, не заключающих равных корней. Несоизмеримые корни могут быть отделены по способам Ньютона, Лагранжа, Штурма,
х — (и и —и— 0,2 + а.
Фурье, Коши, и проч., т. е. можно найти для этих корней такие два предела, между которыми заключается только один корень уравнения. Определение мнимых корней вида а -+ Ьи приводится к определению вещественных значений а и b.
Мы видели выше, что только первия четыре действия, нами рассмотренныя приводят всегда к целым числам; деление дает дробные, извлечение и решение уравнений несоизмеримыя. Для дробных чисел иногда, а для несоизмеримых всегда необходимо иметь приближенные величины, которые бы заменяли истинные значения чисел съ определенною погрешностью. Для удобнейшого получения этих приближенных величин, приводят функции — как алгебрические так и трансцендентные — к некоторым техническим Формам, заимствованным изъ алгебры. Употребительнейшия технические Формы суть безконечные строки и непрерывные дроби. Употребление безконечных строк заключается в том, что для
®—„и + ап ап-ги _+′,
мы заменяем безконечную сумму членов, суммою определенного числа нх, причем, в величине х делаемъ определенную погрешность- Сюда относится выражение обыкновенных дробей и несоизмеримых чисел с помощью безконечных десятичных дробей, въ которых ограничиваемся несколькими знаками, делая погрешность менее половины последней оставленной части единицы. Частный случай строк составляют прогрессии, в которых члены возрастают или убывают на определенное количество, или в определенное число раз. Для строк, члены которых следуют определенному закону, весьма важно знать, стремится ли ихъ сумма с увеличением числа членовъ к определенному пределу, или возрастает выше всякого предела; в первом случае строка есть сходящаяся, во втором расходящаяся; теория сходимости строк весьма много обработана в последнее время, в особенности у Коши. Непрерывные дроби суть выражения вида:
х=а
Ь,
или чаще ха
da + -
Я5
Ограничиваясь одним из неполных частных а, а, и так далее, получаемъ приближенную величину для х, или под-
Тоыи вш.
ходящую дробь, которая ближе подходит к х, чем всякая другая дробь с меньшими членами.
Если имеем ряд значений Функции, данной таблицею, соответствующий ряду значений переменной — аргумента, то можно найти промежуточные значения Функции помощью Формул интерполяции, которые различаются, смотря но тому, будут лп промежутки между значениями аргумента равны или неравны.
Для перехода к трансцендентному анализу вводятся в алгебру понятия о безконечно малых величинах, о производных функциях и о дгифференциалах: первия изучаются в теории безконечно .малых величин, втория и третия в дифферетуальном исчислении.
Всякую величину— длину, время, число — можно себе представить разбитым на столь малия части, что оне уже не подлежат нашему измерению, но йх сумма составляет рассматриваемую конечную величину. Таких частиц в конечной величине войдетъ безконечно-большое число, или отношение этих величин к конечной величине будет безконечно малое число; но между собою они имеют различные конечные отношения, постоянныя и переменные. Иио этому безконечно малия величины, хотя сами но себе не подлежат измерению, однако могут служить вспомогательным средством для измерения конечного отношения между ними, или конечной их суммы; с этою целью они входят в математические исследования. Допустив существование безконечно-малых величин, мы должны допустить и различные их порядки, потому-что всегда можно вообразить такую величину, которая относится къ безконечно малой, как эта последняя к коиечной; для основания теории безконечно малых величин принимаемъ легко доказываемую истину : если имеем равенство между двумя выражениями, заключающими безконечно-малия величины разных порядков, товеличины одного и того же порядка, входящия в эти выражепия, должны быть необходимо равны между собою. Понятия о безконечно-малых величинах ведет к понятью о сплошности и разрыве функций : если, при безконечно малом изменении простых чисел между данными пределами, изме-пение функции тоже безконечно-мало, то функция сплоиша или неразрывна въ этих пределах; если, для какого ни-будь значения простого числа, имеем, что безконечно малому изменению простого числа соответствует конечное или безконечно большое изменение функции, то в этом месте функция имеетъ разрыв сплошности.
Если в неразрывной функции, от одного простого числа, изменим переменное число, то отношение изменения функции к изменению переменной, будет выражение, зависящее от прежнего и от нового значения простаго числа, но в этом выражении можно всегда отделить член, зависящий только от прежнего значения переменной, следовательно новую Функцию той ate переменной, как и данная функция, и тесно связанную с данною Функцией. Эта новая Функция называется производною от данной и получается, изменив переменную, разделив изменение Функции на изменение переменной, и сравнив в частном оба значения переменной. Произведение производной функции от данной, на совершенно произвольный множитель, называемый дифференциалом простого числа, называется дифференциалом данной функции от одного простого числа. Взявъ производные от производных Функций и дифференциалы от дифференциалов, получим производные и дифференциалы разных порядков данной функции. Если у есть, даннаяфункция и х простое, число, то получим обозначение для производных :
для дифференциалов :
dy=f′[x) d.r, dhy — f"{x) dx2, dy=f′"{x) dx5. .. вообще d"y — ft") (ж) dx".
Если x сложпое число, то выражения делаются сложнее. Если имеем Функцию от нескольких переменных, то можем взять несколько частных дифференциалов ея но различным переменным; сумма этих частных дифференциалов составит полный дифференциал данной Функции. Так, если и=f [х, у, z), то
du — dx dx
дифференцируя это выражение, получим дифференциалы высших порядков Функции с несколькими переменными.
Прилагая дифференцирование к алге-брпческим Функциям, найдем, что целия Функции имеют конечное чпсло производных, равное.степени функции; все эти производные суть целия функции. Производные дробных функции всегда дробные, производные радикаль-
f[x)=f (о) -+- xf′(o) -+- ~ ft (о) нных— радикальные, производные алге-брических вообще — всегда алгебриче-ские Функции; для всех функции, кроме целых, число производных безконечно.
Теория производных Функций имеет замечательные приложения, в чистой математике, к развертыванию Функций в строки, к отысканию истиннаго значения Функций, принимающих неопределенный вид, и к определению значений простых чисел, при которых Функция получает свое наибольшее или наименьшее значение, т. е. такое, которое более или менее значении ему сметных. Развитие этих приложений было бы здесь неуместно; заметим только, что теория производныхъ дает, между прочим, для разложения в ряды, две замечательные Формулы, носящия имена двух английских математиков : Формула Макларена естьхп
1.2 п
П(о)
Формула Тайлора (где и есть какая угодно функция, приращёпия перемени,=и -t- du
d-u, du
171 ~f" 1.2.3
ных приняты за их дифференциалы, м, — измененная Функция), будет: dnu
1.2.3 и
Теория производных важна и гио приложениям к алгебре, именно при отделении равных и несоизмеримых корней целой Функции. — Дифференциальное исчисление возникло в конце ХВП века одновременно в уме двухъ гениальных ученых, Ньютона и Лейбница; оно было тесно связано с теорией безконечно-малых величин и подготовлено трудами Декарта, Фермата, Кавальерп, Валвпса, Слузе, и других. Дальнейшим развитием оно обязано Эйлеру, д’Аламберу, в особенности Лагранжу и Коши. Открытие этого исчисления было одним иа блистательнейших подвигов человеческого духа на пути наук.
1>. Трансцендентный анализ. По данной производной Функции найти ея первообразную, или, оОицнее, но данному дифференциалу найти Функцию, которая, будучи продифференцирована, дала бы данной дифференциал—это составляетъ предмет интегрального исчисления.— Оно разделяется на теорию квадратуръ и теорию диффереищиальных уравнений.
В теории квадратур ищутся Функции которых дифференциалы даны явно.— Если данный дифференциал взят по одной переменной, то ему всегда соответствует безчисленное множество | Функций, которыя, будучи продиФФерен-и цнрованы, приведут к этому диФФе-I ренциалу и разнятся между собою количеством, независящим от переменной, но которой взят дифференциал — постоянного произвольного. Все эти Функции составляют неопределенный интеграл данного дифференциала f(x) dx и обозначаются через J~ f[x) dx ли J′f[x) dx -+- С, где С постоянная х
J~f(x)dx и если J" f[x)dx=F {х) апроизвольная. Часто рассматривают интеграл исчезающий при данном значении переменной, т. е. тйкую Функцию, которая, и будучи продифференцирована, дает f[x) dx, и обращается в нуль при х — а. Исчезающий интеграл обозначается черезх
- С, то J f(x)dx=F (х) — F (а), а
Определенным или междупредельным интегралом называется разность значений какого-либо неопределенного интеграла при двух данных значенияхъ переменной, называемых пределами. Если f f (х) dx=F (х) -+- С, а пределы суть а и Ь, то междупредельный будет :
Ь
f([x)dx=F[b) - F[a); а
Ь—агде ы=-- и величина нроизвольпвого числа я определяется допускаемою погрешностью и числом нопраи, вообще говоря, не зависит от х. Если пределы конечны и нодъинтеграль-ная функция f (х) не имеет разрыва
Ь
между пределами а и Ь, то f f{x) dx
аможет быть всегда вычислен по приближению, даже не зная f f(x)dx, но одной из Формул дин квадратур. Употребительна Формула:
′Ь-ИЧИКт [«- н
-+- И так далееночных членов, которые хотим сохранить в Формуле. Если поправок совсем не хотят, или не могут брать, то употребляют Формулу Симпсона:
f f[x)dx=— Да)ч-4/’(о-и-м)н-2/’(ан-2ш]-)-4/′(а-)-Зо)}-<--+-4/’(6 — «и)
где ы =
Ь—а
Ип~′
и я произвольно боль
шое число.
Хотя выше видели, что f f(x)dx всегда существует, но весьма редко можно его свести на известные уже Функции; большей частью он даетъ новия Функции, которые нужно особо исследовать и вычислять по особымъ составленным таблицам. Если под-пнтегральная Функция целая, то интеграл тоже целая функция степени единицей более данной. Когда подъинтегральная Функция дробная, то из нея, по способу академика Остроградского, можно выделить алгебрическую часть, если знаменатель дроби заключает равные корни; когда корни знаменателя одиночные, то интеграл приводится к одному или нескольким интегралам вида
Г
dx
илил
dx
х“
X
которые уже не суть алгебрические функции. Первый есть логарифмическая, второй круговая функция; рассматриваяобратные Функции этим двум, подучим Функции показательные и тригонометрические. Отсюда можно вывести свойства логарифмов, т. е. показателей некоторого постоянного основания, которое, будучи возвышено вс=2,7182818 =1 -+- ~ -+- — -+- -
11.21
Зная логарифм числа при одном основании, легко получить логарифм его при всяком другом, умножив первый логарифм на постоянный модуль, т. е. на дробь, у которой числитель 1, а знаменатель есть логарифм втораго основания при нервом. Логарифмы Бригсовы и Непировы обозначаются Lga: и lg;r, для всякого другого основания а — lga;. Для первых двух составлены атаблицы, заключающияся в известных сборниках таблиц Каллета, Веги, Лаланда, и других. — Показательные Функции обозначаются как степени и вычисляются с помощью логарифмов. — Круговия Функции иреимуразные показатели, дает все возможные числа. Обыкновенно употребляют логарифмы Бриповы или обыкновенные, при основании 10, и Непировы, натуральные или гиперболические, при основании :
1 1
2.3 1.2.3 и .
щественно употребляются четырех родов :
arclgx, arc cotg х, arc sin х, arc cos ат, и имеют обратные им четыре три-гоно.иетричсские:
tg х, colg#, sin х, cos а:. ..
Так как оне важны, особенно по геометрическому своему значению, то мы там о них и упомянем. Вычисляются те и другия с помощью нескольких таблиц, заключающихся также в упомянутых выше сборниках. Тригонометрические Функции важны в чистой математике по своей связи с теорией мнимых количеств и показательных Функций. Так имеем:
а-+- Ы — г (cos а -+- и sin а), где г=[/ а“
е“′=cos х -л- г sin l
Эти Формулы позволяют приводить выражения, заключающия мнимый знакъ в показателе, к общему виду мнимых выражений, и давать мнимымъ выражениям вид степеней числа с.— Тригонометрические Функции важны также по удобству разложения функций, каких угодно, в ряды тригонометрические.
Если под интегралом находится радикальная функция или иррациональная вообще, то но способам, предложенным в последнее время гг. Остроградским, Чебышевым, Лиувилем, и другими, можно узнать, будет ли интеграл алгебрический и отделить отъ него алгебрнческие. логарифмические и круговые члены. Остальное составятъ новия трансцендентные Функции, из
- Ь есть модуль мнимого выражения, а b
α= arc lg — его аргумент; акоторых пока обработаны наиболее эллиптические и Абелевы. Всякая трансцендентная Функция, входя в иодъин-тегральную, приводит, вообще, говоря, к высшим трансцендентным Функциям; так логарифмические и показательные приводят между прочим къ функциям гамма, интегральным логарифмам, и так далее Вообще интегральное исчисление есть неисчерпаемый источник трансцендентных Функций и едва ли можно предвидеть в будущемъ возможность разделения всех их на порядки и общого их обзора. Не считаем нужным останавливаться на этих Функциях, представляющих постоянную работу математикам, но пе имеющих пока приложения в военном деле. Иногда интеграл ннтегрируется помощью строк, т. е. иредстав-лнется безконечною строкою членов.
Если задан дифференциал высшого порядка по одной переменной, частный дифференциал высшого порядка по нескольким переменным, или полный дифференциал по нескольким переменным, то вопрос приводится к пнии)
тегралу последовательному J′f(x)dxn, интегралу кратному, как напримеръ тройной J fJf(x,y,z) dx.dy.dz., или кь интегралу полного дифференциала, для которого по данному : du =×dx -+- Г dy -t- Z dz, имеем :
где а, b, с произвольные величины, Y аесть значение Y при х — а, Zа у— значение Z при х — а, у=b; но этот интеграл возможен только тогда, когда для X, Y, Z выполнены условия, делающия du полным дифференциалом. Все эти три случая приводятся к простым квадратурам первого порядка от одной переменной; последовательный интеграл заключает столько постоянныхъ произвольных, как велик порядокъ его.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее производные, или дифференциалы некоторой Функции, с самою Функцией ис переменною независимою; интегралом дифференциального уравнены называется уравнение, связывающее самую Функцию с переменною. Дифференциальные управнения разделяются на порядки, смотря по тому, какого порядка выйдут пх члены, если допустим, что дифференциал переменной независимой безконечно мал, и на степени, смотря по тому, с каким показателем входят в уравнения производные Функции; уравнение, заключающее самую Функцию и все производные в первой степени, называется линейным. Полный интеграл дииФФе-рснционального уравнения должен заключать столько постоянных произвольных, какъвелих порядок уравнения; если имеем уравнение, которое будучи продифференцировано, приводитъ к данному, но не заключает полнаго числа постоянных произвольных, то полученное уравнение есть частный или особенный интеграл данного дифференциального уравнения. Хотя всякое диФФеренц. уравнение имеет свой интеграл, однако свести его на квадратуры возможно только в частных случаях. Пока это сделано для многихъ случаев уравнений первого порядка:
X dx -+- Y dy=0 ;
и из высших порядков, для уравне--ний вида :
(Гу _ dx"
УП ч- Х,рС-′) ч-
/»>
линейпых
-А’(п—,)»" _+" -У(,и—и)У′ Хпу — А0
и некоторых других. Существуют некоторые приемы для интегрирования нескольких совокупных уравнений первого порядка с несколькими переменными; всякое уравнение высшаго порядка может быть сведено на систему совокупных уравнений первого.— Из уравнении дифференциальных, съ несколькими переменными, легко интегрируются такия, которых первая часть есть полный дифференциал, или можетъ быть им сделана; замечательны также уравнения в частных дифференциалах, т. е., заключающия частные производные искомой Функции по двумъ или более переменным независимым. Например уравнения вида:
интеграл их всегда заключает произвольные Функции, и эти уравнения важны по своему геометрическому значению. — Дальнейшее развитие теориидифференциальных уравнений, хотя и составляет теперь один из важнейших трудов современных математиков, однако не может иметь здесь места по неимению приложений в военном деле.
К трансцендентному анализу относится и вариационное исчисление, созданное Лагранжем ′ в конце прошлого века. Если Функция неразрывна, то безконечно малому изменению ея переменной соответствует безконечно малое изменение самой Функции; удерживая в отом изменении только члены первого порядка, получим дифференциалъ функции, если, при изменении переменной, действия, входящия в Функцию, не изменились; если же они изменились, то изменение первого порядка рассматриваемой Функции называется вария-ицией Функции. Варияционное исчисление пока имеет уже весьма важные приложения в теории наибольших и наименьших величин, в геометрии и механике; от него можно еще более ожидать в будущем.
с. Теория Чисел. К анализу алге-брическому и трансцендентному присоединяется еще третий отдел чистой математики — неопределенный цнализ, или теория чисел. Задача его, по определению г. академика Остроградского, состоит в отыскании для переменных некоторой Функции таких частных значений, при которых сложнейшая Функция обращается в простейшую, и в одном из своих мемуаров г. Остроградский выразил весьма верную мысль, что со временем этотъ отдел чистой математики распадется на части, которые сольются частью съ алгеброю, частью с трансцендентнымъ анализом. Теперь этот отдел, сосредоточивающий в себе ббльшую часть трудов современных математиков, представляет весьма много результатов, в высшей степени интересныхъ для специалиста, по беспрестапно открываемым новым свойствам Формул и чисел, но эти результаты представляют весьма мало систематической группировки и весьма мало приложений; по этому было бы неуместно в специальном лексиконе распространиться более об этом отделе анализа.
В. Прикладная математика. С помощию измерения длины, мы можемъ изучить свойства и измерение различного рода протяжений : эго составляетъ предмет геометрии. Механика занимается исследованием движения. Ма-тсматггческая физика заключает въ себе все те вопросы физическихъ наук, к которым можно приложить математический анализ. Теория вероятностей исследывает степень вероятности для нас некоторого события на основании тех данных, которые мы имеем об этом событии. Общественная арифметика заключает те вопросы общественной жизни, к которымъ может быть приложен математический анализ и теория вероятностей, как-то: страхование, продолжительность жизни, кредитные обороты, и тому подобное. Мы рассмотрим здесь геометрию и теорию вероятностей, относя .механику к особой статье, математическую физику к статье физические науки, и устраняя совершенно общественную арифметику, как пе входящую в предмет В. Э. Л.
а. Геометрия. Простое наблюдение и размышлерие нам показывают, что существуют три рода протяжений: линии, поверхности и объёмы. Геометрия, как наука о протяжении, изучает свойства этих трех родовъ протяжений и дает средство измерять их. Смотря но простоте и сложности разсматриваемых протяжений, геометрия для этого употребляет ту или другую методу, и по методе рассматривания вопроса, геометрия разделяется па три отдела: геометрию элементарную или древних, геометрию аналитическую или Декарта, и геометрию начертательную или Монжа. Метода древних состоит в исследовании самого рассматриваемого протяжения, причем чертеж и Формулы служат только вспомогательным средством для памяти. Метода Декарта заключается в выражении помощью аналитических Формул всех условий заданного протяжения, в исследовании аналитического вопроса на место геометрического, и в возвращении к геометрическому смыслу вопроса только но получении окончательного результата. Метода Монжа, для протяжений не заключающихся в одной плоскости, заключается в замененин самого протяжения чертежом, дающим ясное понятие о протяжении, в графическомъ разрешении вопроса на чертеже, и въ возвращении потом уже от полученного графического результата к истинному смыслу вопроса. Обе первия методы можно приложить ко всякому протяжению па плоскости; всеми тремя методами можно рассмотреть всякий вопрос в пространстве; но метода древних удобно прилагается только къ простейшим протяжениям; в художествах и ремеслах существуетъ много вопросов геометрических въ пространстве, аналитическое исследование которых требовало бы обширнейших сведений в анализе, чемъ можно иметь при этом роде занятий, и потому ′для сложных геометрических вопросов о поверхностях предпочитают методу начертательную. Для краткости изложения, мы рассмотримъ геометрические вопросы по порядку предметов, а не по порядку доказательства геометрических истинп, и не по разделению метод.
Из самого понятия о протяжениях, мы различаем линию прямую от разного рода кривых линий/ эти последния разделяем на плоские—заключающияся в одной плоскости, и косия или двоякой кривизны—не имеющия этого свойства. Из поверхностей отделяемъ плоскость от кривых поверхностей, и различаем объёмы тел по поверхностям их ограничивающим. Наконец все эти протяжения представляемсебе, как системы геометрических точек, расположенных различнымъ образом. Отсюда составляем себе понятие о поверхностях, как протяжениях, делящих пространство на части, о линиях,как о пересеченияхъ поверхностей,об отдельных точках, как о пересечениях линии.
Геометрия на плоскости. Прямая линия определяется положением двухъ своих точек. Две прямия линии на плоскости могут пересекаться в одной точке под различными углами: острыми, прямыми и тупыми, или могут быть параллельными, или совпадать одна с другоии. В случае пря-мого у-гла линии взаимно перпендикулярны. Длина прямой линии определяетъ разстояние между двумя точками. Понятие о расстоянии приводит нас къ другой простейшей кривой линии — кругу, все точки которой равно отстоять от одной данной—центра; постоянное разстояние есть здесь радиус. Прямая, имеющая только одну точку общую с кругом, будет к нему касательно, и она перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку ея прикосновения. Часть секущей, находящаяся внутри круга, называется хордою, а хорда, проходящая через центр и равная удвоенному радиусу—диаметром. Дуги круга служат мерою для углов при центре, и для этого окружность круга разделяется на 360° (иногда на 400°), а градусы, на минуты и секунды. Кроме того, углы определяются некоторыми частями хорд, радиусов, касательных и секущих, называемыми тригонометрическими линиями, иотому-что эти линии зависят от длины соответственных дуг, как рассмотренныя выше тригонометрические Функции (см. Трансцендентный анализ), зависят от. своих переменных,такъ что, в (ф. 1), называя угол
(фигура 1.)
moq через я и принимая радиус oq за i, получим:
mw=sina, on — cosa, pq=lgx,p,q,=co\gx.
Если в плоскости чертежа примем за изнестныядве пересекающияся прямия линии, то всякая точка этой плоскости Судет определена, когда будем знать ея положение относительно настоянных прямыхъполучающихъ название осей координат; эти оси бывают прямоугольные или косоугольные, смотря но углу между ними. Точка пересечения осей есть начало координат. При прямоугольных осях всякая точка на плоскости определяется своими разстояниями до двух осей; называя зти переменные расстояния через х и у, и постоянные величины их для определенной точки через ж‘ и у′ получим выражения |у—у′′ 0ИИРе-′Ьляюиция точку, и называемия Сравнением точки. При осях косоугольных, х и у откладываются параллельно осям. Если на плоскости имеем кривую линию, т. е. систему точек, следующих некоторому закону, то координаты х и у будут переменные, и находятся между собою в некоторой зависимости, выражаемой уравнением кривой у — (х) или F (х, у) — 0. Уравнение прямой линии будет у=ах -+г Ь, уравнение круга ж2 -+- =г2. Из двух переменныхв уравнении кривой, простое число называется абсциссою, слоаипое—ординатою. Кроме прямолинейных координат, употребляют для уравнений кривых и полярные, именно определяют точку с помощью радиуса вектора г, или расстояния ея до некоторой постоянной точки—полюса, и сь> помощью угла а, составляемого радиусом вектором и постоянною прямою. Уравнение кривой будет тогда г — ffxj или F(x, г)=0.
Пересечение трех прямых составляет треугольник, который будет определен, если, из трех сторонъ и трех углов его составляющих, даны будут три величины, между которыми одна сторона. Если один из углов треугольника прямой или тупой, то Треугольник получает название прямоугольного или тупоугольнаго; сумма всех углов в треугольнике всегда равна двум прямым углам. Если в треугольнике все три стороны между собою равны, то он равносторонний, если только две, то равнобедренный-, сторона,протнвулежащая прямому углу в прямоугольном треугольнике, называется гипотенузою, стороны ему прилежащия катетами. Между ними существует зависимость: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если два треугольника могут совпасть по наложении, то они равны; если три угла одного из них равны тремъ углам другого, то они подобны. Три-гонометрией называется та часть геометрии, которая показывает, как, съ помощью тригонометрических Функций, вычислять величину трех частей треугольника по трем другим данным.
От пересечения нескольких прямых образуется многоугольник сомкнутый или разомкнутый. Из многоугольников сомкнутых особенно замечательны чегыреугольники: с параллельными противолежащимрсторонами — параллелограм; равносторонний— ромб; с 4-мя прямыми углами — прямоугольник; равносторонний прямоугольник — квадрат; четыре}-гольникъ с двумя параллельными сторонами — трапеция, и прапгиьные многоугольники, у которых все стороны и углы равны между собою. Линия, соединяющая две несметные вершины угловъ многоугольника, называется его диагональю. Около правильного многоугольника можно всегда описать и в немъ вписать круг, т. е. можно найти круг, проходящий через все вершины многоугольника,или касающийся ко всем сторонам его. Приняв радиус круга описанного за 1, получим, что сторона вписанного правильного 6-ти-угольнпка равна 1, треугольникавг 2 ’
сторона кваи/2~
драта , 4 сторона 10 - угольника
- 1 1/5
окружность круга 2иг,
где тг=3,1415926 или приблизитель-
22
но, как нашел еще Архимед, -у.—
Принимая сторону квадрата за единицу для измерения длины, найдем, что площадь квадрата может быть принята за единицу для измерения площадей, и чтобы измерить какую угодно другую площадь, т. е. отношение последней к площади квадрата, принятой за единицу, нужно взять произведение отношений двух линий, определяющихъ площадь к стороне единичного квадрата, и умножить это произведение на некбторый коэффициент. Так площадь прямоугольника есть аЬ, где а и Ь две взаимно перпендикулярные его сто-
ah
роны; площадь треугольника есть —,
где а основание, а h высота треуголь-ab sin аника, или -g--, где оно сторонытреугольника, а к угол между ними; площадь круга есть кг4, где г радиусъ его, и так далее
Для исследования всех других плоских кривых, преимущественно основанием служит уравнение кривых : у=fix), или F (х, у)=0.
Кривыя, ему соответствующия, называются его геометрическим местом, и служат для графического выражения f[x). ′
Смотря по виду своего уравнения, кривия разделяются на алгебрические и трансцендентные, и алгебрические на кривия разных степеней или порядков. Точка, в которой делятся пополам все хорды кривой, через эту точку проведенные, называется центромъ кривой линии и если центр кривой принят за начало координат,то вравпепию кривой fix, у) =0 должно соответствовать f[—x,—y) — 0. Прямая, пересекающая некоторую систему параллельных хорд кривой пополам, есть диаметръ кривой, несли возьмем этот диаметръ за ось х, а ось у направим параллельно хордам, ему сопряженным, т. е. пересекаемым им пополам, то въ уравнении кривой f[x,y) — 0 должно быть также f [х,— у)=0. Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра кривой, что хорды, сопряженныя одному из них, параллельны другому. Диаметры, перпендикулярные къ своим сопряженным хордам, называются осями, а точка пересечения оси кривой с кривою называется вершиною. Фокусом кривой, но определению Эйлера, называется точка, которой расстояние от всех точек кривой, или радиус вектор, есть рациональная Функция от координат точек кривой. Касательная к кривой в данной точке есть частный случай секущей, когда две точки пересечения сливаются въ одну и закон непрерывности в поло-
dy
жении прямой не нарушен, и/=—,
dx
в которой значения у и х суть координаты точки прикосновения, будет тангенс угла собственного с осью х, касательною к кривой, которой уравнение y=f{x). Нормальною линией къ кривой называется перпендикуляр, восставленный к касательной в точке прикосновения. Если (ф. 2) пп, есть ка-
(фигура 2.)
сате ль пая к кривой атb, то пр=S, подкасатсльная, pq=Sn — поднормальная, тп= Т определенная касательная, mq=N определенная нормаль. Астме-тотою кривой называется предел касателыиых, или прямая,к которой кри-иая постоянно приближается, сливаясь с ней на безконечном расстоянии. Углом смежности называется безконечно малый угол между двумя снежными касательными к кривой. Радиусом кривизны радиус круга, имеющаго в данной точке кривой к этой последней прикосновение второго порядка, т. е. круга, точки которого, снежныя точке прикосновения отдалены отъ точек кривой на безконечно малия величины, третьяго порядка; удерживая для у′ и у“ значения производных, въ которых подставлены координаты точки прикосновения, получим для радиуса кривизны:
=/Йа′\/ - (Е)
Если эги интегралы не можем получить прямо, то употребляем Формулу для квадратур, смотрите выше.
Алгебрические кривия всегда пересекают прямую линию в конечном числе точек. Кривия второго порядка суть трех родов: эллипсы, гиперболы и параболы. Первые два рода имеютъ центр и две сопряженные оси, из которых в гиперболе только одна пересекающая. Принимая направление осей эллипса и гиперболы за оси кооруЧ
дннат, получим уравнения —= 1,
где а и Ь две полуоси, знак -+- соответствует эллипсу, — гиперболе. Параболы центра не имеют, но имеют ось; если ее примем за ось х и вершину параболы за начало координат, то уравнение параболы будет у=рх. Эллипс и гипербола имеют безчисленное множество сопряженных диаметров, из которых одна система равных. Диаметры параболы параллельны ея оси. Эллипс и гипербола имеют два, а парабола один фокус; для эллипса сумма, для гиперболы разность радиусов векторов каждой точки есть ве-
£
_ (1 Ч- у,«)2
у“
Если у — f(x) есть уравнение кривой, то площадь, ограниченная осью х, кривою и двумя ординатами, соответствую-
b
щнми х=а и х=Ь, будет Q=f fix) dx;
аплощадь, ограниченная кривою и двумя радиусами векторами, соответствующи-
“ами углам а, и «г, будет Q= г“da.
а.
Длина кривой в тех же пределах будет:
“ =fda (£)·
КИ
личина постоянная; каждая точка параболы равно отстоит от Фокуса и некоторой постоянной прямой — директрисы. При а — b эллипс обращается в круг, гипербола в равнобочную гиперболу. Гипербола имеет ассимп-тоты, составляющия с пересекающею
b
осью углы, тангенсы которых суть - ;
аесли примем ассимптоты за координат, то уравнение гиперболы сделаетсяа2 и4 п
ху=-— Площадь эллипса есть
э 4
7tаЬ; площадь, заключенная между гиперболою, ея асснмнтотою и двумя ординатами, параллельными другой ас-симптоте, называя отрезок на ассимпаb 2/1
тоте h будет—lg Площадь,
2 у а4 -+- й4
заключенная между параболою, осью еян некоторою ординатою у, будет--ху.
Уравнение кривых в полярных координатах, когда полюс в Фокусе,
N
будет г — ---и выражает эл-
J 1 -+- е cos алипс, параболу или гиперболу, смотря по тому, будет ли .
е < 1, е=и или е > 1.
Все кривия второго порядка удобно строятся по точкам и к ним легко провести касательные через точки на кривой, вне кривой и параллельно данной прямой.
Из прочих кривых заметим циклоиду, описываемую точкою круга катящагося но прямой; если назовем г радиус производящого круга и «угол, составляемый радиусом производящаго круга, идущим к точке кривой съ радиусом перпендикулярным к основанию циклоиды, то уравнение кривой будет х — г {< — shi«)
у=г (1—cosu), где остается исключить ы.
Кроме того замечательны епицикло-иды, циссоида, конхоида, квадратрикса, эволюты разных кривых и прочие, но оне не представляют замечательных приложений.
Геометрия в пространстве. Плоскость в пространстве определяется тремя точками, не находящимися на одной прямой. Две прямия линии в пространстве могут, кроме положений, о которых сказано выше, не находиться в одной плоскости. Прямая может пересекать плоскость, быть ей параллельна, или лежать в этой плоскости. Две плоскости могут пересекаться под некоторым плоскостнымъ или двугранным углом, быть между собою параллельными или совпадать. Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, составляют толстый или многогранный угол. Угол между двумя ненересекающимися прямыми считается равным углу между прямыми, им параллельными и проходящими через одну точку; угол между прямою и плоскостью считается равным наименьшему из углов, составляемыхъ данною прямою с прямыми проходящими по плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью; плоскостный угол считается равнымуглу между перпендикулярами, опущенными на плоскости из произвольной точки, или между перпендикулярами, восставленными на плоскостях к ихъ лгинии пересечения. Поверхность, точки которой равно отстоят от некоторой постоянной точки — центра, есть шар-, всякая плоскость рассекает его по кругу; плоскость, проходящая черезъ центр — по большому исругу. — Многоугольник, стороны которого не находятся в одной плоскости, называется косым многоугольником. —Три плоскости, взаимно пересекающияся, образуют на шаре сферический треугольник; обыкновенно рассматриваютъ только треугольники, составленные изъ дуг больших кругов; часть геометрия, занимающаяся исследованием свойствъ сферических треугольников и определением их искомых частей по данным, есть сферическая тргигоно-метрил.
Проэктировать точку на прямую линию или на плоскость, значит опустить из данной точки перпендикуляр — проэиетирующую линию на данную линию или плоскость; точка пересечения перпендикуляра с линией или с плоскостью есть проэкция точки на линии или на плоскости.—ИИроэкцил определенной части прямой а на данное направиение, с которым прямая составляет угол а, есть отрезок, полученный на данном направлении двумя перпендикулярами, опущенными на это направление из концов части прямой; величина прбэкции будет а. cos а. Выражение остается тоже для проекции прямой на плоскость, т. е. для прямой линии, составленной на плоскости проэкция ми всех точек рассматриваемой прямой; а есть в этом случае угодъ меяиду прямою и плоскостью.—Проэкция сомкнутого многоугольника на какое угодно направление равна нулю. Назвавъ углы, составляемые какою либо прямою ас тремя взаимно перпендикулярными направлениями, а3, <„, и проекции ея на эти направления, а, аг, а„ найдем
cos«|-+-cos«!1-t-cosa5=i, a=a-t-a Проекция площади a на какую либо плоскость, с которою она составляетъ угол а, есть площадь, полученная на втой плоскости проектированием на последнюю всех точек данной площади; эта проекция равна а cos a.
Три взаимно перпендикулярные прямыя, или оси координат, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости координат; если мы знаемъ три проекции определенной точки на эти плоскости, или три расстояния точки от плоскостей координат — три координаты точки, то мы знаем положение самой точки, и это распространяется и на систему точек, составляющих прямую или кривую линию. Таким образом положение точки и линии в пространстве определяется пх проекциями на плоскостях координат. Положение плоскости определяется или ея пересечениями с плоскостями- ея следами, или зависимостью между переменными координатами точек, на ней находящихся, ея уравнением; последним способом определяется также положение и Фигура всякой поверхности. — Но если имеем проекции точек и линий и следы плоскостей на двух плоскостях координат, то большей частью не нужно бывает вводить третью плоскость; тогда, совместивъ одну с другою плоскости, принимаемия в этом случае одна за горизонтальную, другая за вертикальную, и называемия плоскостями проекций, — получим на одной плоскости чертеж, составленный из проекции и следов, бывших на обеих плоскостях, и дающий нам ясное понятие об изображаемых протяжениях. Так (ф. 3), по методе Монжа, (а, а′) изобразит ь точ ку (тп, т′ги′), прямую линию (PQ, QR), плоскость; ху будет ось проекции, т. е. ось, общая двум плоскостям координат, на которых берем нроэкцип точек, линий и следы плоскостей. — Выражая те же протяжения аналитически, получим уравнение точки в про-
-+-a,“, α= а, coso,-i-aa eosa#--as cosas.
етранстве, т. е. величины ея трех координат:
их=х, уравнение прямой будет со- у=у, стоять из уравнений ея про-[z — z, ′ экций, которые иногда рассматриваются только две, а иногда все три; так прямая, заданная вообще своими проэкциями на плоскости xz и yz, будет иметь уравнением
Их — az -1- a у=bz -+- /3.
Уравнение плоскости будет am -+- by -+- cz=d, Уравнение ииара х“ -+- у“ -+- z — г“.
Пересечение нескольких плоскостей образует многогранник. Из многогранников замечательны : параллелепипед — ограниченный шестью параллелограммами и называемый прямым, когда параллелограммы, обращаются въ прямоугольники; призма — две грани которой суть равные и параллельные многоугольники, а остальные суть параллелограммы, а в прямой призме прямоугольники; пирамида, одна грань которой есть многоугольник, а все другие — треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиною пирамиды, и пять правильных многогранников, т. е. ограниченных равными и правильными многоугольниками, именно : тетраэдр, октаэдр и додекаэдр, ограниченные 4, 8 и 20 треугольниками, куб или гексаэдр, ограниченный 6 квадратами, и гчсосаэдр, ограниченный 12 пятиугольниками; других правильных многогранников быть не может.′ Поверхности этихъ тел получатся, складывая площади многоугольников их ограничивающих. За единицу, для измерения объёмов, принимается объём куба, ребро которого равно лннейной единице. Все прочие объёмы выразятся произведением трех линеииных величин на некоторый коэффициент. Называя площадь основания параллелепипеда, призмы или пирамиды через Р, высоту их через h, получим для объёма пер-
- Ph
вых двух Ph, для третьей ——. Поверхность и объём тара, которого ра
4пгдиус г, будут 4кг4 и
Для исследования поверхностей вообще служит преимущественно их уравнение: ffx,y,zj=О,
выражающее зависимость между координатами точек, на них находящихся, и способ их нроизвождения. Кривыя линии в пространстве, как пересечение двух поверхностей, выразятся двумя уравнениями, которые обыкновенно суть уравнения их проекций; взяв эти проекции на плоскостях координатъ tz и yz, получим уравнение кривой линии в пространстве :
x=f,(z) У=Ы)
точка, в которой все хордыповерхности через эту точку, проведенные, делятся пополам, называется центром, и если начало координат находится в ней, то должнобыть для поверхности, которой уравнение ffx, у, z) — 0, в то же время f ( — х, — у, — z) — 0. Диаметральною поверхностью или плоскостью называется поверхность или плоскость, делящая пополам систему параллельныхъ хорд данной поверхности. Касательная линия к кривой линии в пространстве будет всегда,иметь проекции, касательные к проекциям кривой линии. Нормальною плоскостью к кривой ди-нии называется плоскость, перпендикулярная к ея касательной в точке прикосновения Плоскостью кривизны кривой линии называется плоскость, проходящая через две сыежные касательные, которые в этой плоскости составляют между собою безконечно малый угол смеокности или уголъ первой кривизны кривой; нормальная линия, составляющая пересечение нормальной плоскости с плоскостью кривизны, называется главною нормалью; безконечно малый угол, составляемый двумя смежКыми плоскостями кривизны той же кривой линии, называется углом второй кривизны линии; эти два угла и два зависящия от них радиуса кривизны служат для измерения кривизны кривой линии. Касательною плоскостью к поверхности называется плоскость, заключающая касательныя ко всем кривым, проходящим по данной поверхности через данную точку ея. Если уравнение поверхности есть и=f(x,y,z)=0, то управнение касательной плоскости будет :
(Ии
dy
У-У)
du
dz-
(Z — z)=О,
где х, у, z, суть координанты точки прикосновения, а X, Y, Z, переменные координаты и плоскости. .Линия, перпендикулярная к касательной плоскости в точке прикосновения, будетъ нормальна к поверхности. Кривизна поверхностей изучается с помощию исследований, изменения радиусов кривизны различных их сечений. Но форме уравнения поверхности, эти последния делятся подобно кривым на поверхности алгебрические и трансцендентные, а первия на поверхности разных степеней: из них особенно замечательны поверхности второй степени, разделяющиеся на поверхности, имеющия один центр—эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, поверхности, не имеющия центра—пароболоиды, и имеющия безчисленное множество центров—цилиндры.
Поверхности можно произвести движением некоторой производящей но данному закону, обыкновенно по одной иди но нескольким направляющимъ линиям, причем производящая может быть постоянна или переменна. Способ произвождения позволяет изображать поверхности начертательно, изображая в проекциях пх направляющия, производящия, замечательныя точки, очерки, и согласно закону произ-вождения, разрешая графически различные вопросы относительно этих поверхностей. По различным способамъ произвождения, поверхности разделяются на группы или семейства, имеющия некоторые общия свойства, относящияся в особенности к их касательнымъ плоскостям и нормальным линиям, и выражающияся уравнениями, в частных дифференциалах рассматриваемых нововерхностей. Так поверхности линейчатыя, т. е. производимыя движением прямой по некоторому закону, разделяются на разверзающияся и косыя; в первых два смежные положения производящей прямой находят-в одной плоскости; втория не имеют
Уг ш / / dz \ /
S=fjdxdy\ 1 - (—) -н(-
Уи
Поверхности и объёмы тел вращения около оси г, измеряются с помощью интегралов :
2 2 ‘
S=2п у xds и V=я J′ xdz,
Z, Z,
где х, z и s суть координаты и длина кривой меридионального сечения на плоскости xz.
Если имеем- некоторую непрерывную систему точек т, будет ли это длина, поверхность или объём, ии назовем переменное расстояние точекъ этой системы до некоторой другой точки, или до некоторой линии через г, то выражение I=f г“dm называется моментом инерции этой системы точек, относительно рассматриваемойэтого свойства. Из разверзающихся замечательны цилиндрические поверхъ ности, в которых все положения производящей прямой между собою параллельны и конические, в которыхъ все производящия проходят через одну точку — центр или вершину поверхности. Поверхности вращения суть такия, в которых все точки производящей описывают круги около некоторой прямой, называемой осью поверхности; если производящая кривая находится въ плоскости проходящей через ось, то производящая получает название мери-Оионального сечения; к поверхностямъ вращения принадлежат прямой цилиндр, прямой конус, виар, эллипсоиды вращения сжатый и удлиненный, гиперболоиды вращения об одной и двух полах, и так далее Сечения прямого цилиндра плоскостью суть круг и эллипс; пересекая прямой конус плоскостью, получим все кривия втораго порядка, которые по этому и называются коническими сечениями. Поверхности и объёмы тел измеряются помощью двойных и тройных интегралов:
Hz -2
f J′ J~ dx dy dz.
x, у, z,,
точки или линии. — Между всеми точками пространства будет всегда существовать одна, для которой величина
i данной системы точек будет наименьшая; эта точка называется центром инерции, или центром тяжести данной системы точек, и, назвавъ X, Y, Z координаты центра инерции,
ii х, у, z координаты переменныхъ точек системы, будем иметь:
S xdm ЛТ S у dm S zdm
X=-, I —: -, / —
m m m
Если имеем несколько отдельных систем точек т, т„ т и так далее, которых центры инерции будут соответственно иметь координаты х, у, z, хг, уг, г, ит. д., то, для координатцентра инерции этого собрания систем точек, получим:
х _ гхт Y _ s ут z _ 2 zrn Jm ′ 2т ’ 2т ’
где 2 есть знак суммы подобных членов. Момент -и центр инерции, хотя и суть величины чисто геометрические, но играют особенно важную роль в механике, из которой они и получили свои названия.
Прикладные геометрические вопросы особенно встречаются в съемке планов, геодезии, разрезке камней, архитектуре, в теории теней и блестящих изображений, в перспективномъ черченьи, и т. и.
b. Механика, см. это слово.
c. Мате.иатическап физика, см. физические науки.
d. Теория вероятностей также исчисление и анализ вероятностей. Всякое событие совершается по неизменному закону необходимости, связывающему следствия с производящими их причинами, но в большем числе событий мы не знаем всех причин, а потому и следствии для нас не необходимы, но только более или менее вероятны. Если; для нас равно возможны и случайностей из которыхъ р имеют следствием совершение какого либо события, а q его невозможность, то дробь есть мера вероят пности событии, или вероятность его а — противуположная вероятность; смотря по тому, будет ли дробь —более,
менее или равна мы можем рассчитывать на совершение события, или не ожидать его, или не можем ничегосказать о его вероятности; если —=1,
пто событие несомненно. От этого про-стого понятия можно перейти к сложнейшим. Если рассматриваемое событие есть непременное следствие каждого из нескольких событий, которыхвероятности известны, то вероятность рассматриваемого события равна сумме вероятностей остальных. Если событие происходит только в следствие одновременного совершения нескольких других событий, то вероятность первого равна произведению вероятностей последних. Всего более занимались математики прежнего времени приложением теории вероятностей къ играм, коммерческим рассчетам и пари; этот предмет выходит изъ пределов нашего Лексикона и но тому мы только заметим, что в эти приложения должны войти для правильного решения вопроса математическое ожидание, т. е. произведение вероятности выгоды на величину ея, физическая и нравственная ценность известной суммы денег для игрока, нравственное ожидание, т. е. разность между суммою, которую надеемся приобрести, и суммою прежнего состояния, иг. д. Теория вероятностей доказывает, что всякий игрок имеет большую вероятность проиграть чем выиграть и что выигрыш в денежные лоттереи представляет весьма мало вероятности. — Волее сложный вопрос представляет определение вероятности, что при повторенных опытах какое либо событие повторится в данныхъ пределах числа раз. При весьма большом числе опытов отношение числа благоприятствующих событий ко всему числу событий может тем более близко определить истинную вероятность события, чем более произведено опытов. Этот закон больших чисел есть один из важнейших для приложений к общественной арифметике, метеорологии и в военном деле к теории действительности выстрелов. — Но в последний период времени особенную важность приобрело приложение теории вероятностей къ естественным явлениям, к наблюдениям и опытам, помощью методы наименьших квадратов, созданной Лежандром и Гауссом. Основанием ея служит следующее начало наименьших квадратов: если рядом наблюдении определен ряд значений несколькихъ Функций от некоторых неизвестных, при чем число произведенных наблюдений всегда должно превышать число неизвестных, то значении. неизвестных должны быть определены такимъ образом, чтобы сумма крадратов погрешностей в значениях Функций была наименьшая. ИИрн подчинении наблюдений вычислению, должна быть введена в рассчет и относительная точность их. С помощью этой теории может быть определена и вероятная ошибка какого либо наблюдения, чтб весьма важно в физических науках. Замечательны также приложения теории вероятностей к определению некоторых трансцендентных чисел, помощью механических приемов, как-то: бросания палочки определенной Формы на лист, расчерченный определенным способом, и тому подобное. — Сочинение Лапласа: Теёогие analylique lies proba-biliies, составляет до этих нор необходимый исходный пункт для изучения теории вероятностей, хотя, конечно, после него совершены многие работы по различным отделам науки. — Система страхования вполне основана на теории вероятностей; покушались приложить ея к вопросам юридическим; наконец она составляет одно изъ средств, с помощью которых можно надеяться проложить путь математическому анализу в область наукъ нравственных и политических.
Если к военному делу относятся труды артиллериста, определяющаго теоретически Форму артиллерийского орудия и путь снаряда в воздухе, труды инженера, определяющого форму здания, которое бы, при данной поместительности и данном сопротивлении удару снаряда, ′требовало бы наименее материяла, наконец труды геодезиста, измеряющого кривизну земли с помощью сети треугольников, если—повторим—все эти труды относятся к
T о м -ь VIII.
военному делу, то едва ли может представится вопрос: нужен ли военному математический анализ и в особенности высшия его частие
По огромности математической литературы и по ограниченности места для вспомогательных наук, в В. Э. Л. невозможно приложить к предлагаемой статье списка даже важнейших математических сочинений. 11. Л. Л.