> Энциклопедический словарь Гранат, страница 312 > Многоугольник и многогранник

Многоугольник и многогранник

Многоугольник и многогранник .— Полным плоским n-угольником называется совокупность и точек плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и совокуп-п(п — 1)

ность —— прямых, определяемых этими точками. Полным плог—Многоугольник.

ским n-сторонником называется совокупность и прямых на плоскости, из которых никакие три не проходят через одну точку, и совокуп-п(п — 1)

ность —х-у-~ точек пересеченияэтих прямых. Простым п-угольни-ком называется такая система и отрезков, в которой каждая из конечных точекъодного отрезка совпадает с конечною точкою одного и только од-ногоизъостальныхъотрезков.Простой п-уг. тождествен с простым n-ст., и

(п — 1)!

полный п-уг. содержит —простых. Если мы выберем на простом п-уг. положительное направление обхода всех его сторон (периметра) и будем

считать положительным направление вращения против стрелки часов, то угол, на который нужно в положительном направлении повернуть сторону, чтобы она совпала с положительным направлением следующей стороны, называется внешним. Угол, на который нужно в положительном направлении повернуть сторону, чтобы она совпала с отрицательным направлением предыдущей стороны, называется внутренним (чертёж 1). Если все внутр. углы меньше тс, то М. называется выпуклым. Сумма внеш. углов равна 2атс (lSgan — 1); число а называется родом М. М., в котором все стороны и углы между собою равны, называется правильным; каков бы ни был его род, около него всегда можно описать и в неговписать окружность. Если а, [5, суть различные первоначальные множители числа и, то существует всего N ==

0 ~ т) - пРав- П’УГ-

Так, существует всего три правильн. 7-угольника первого, второго и третьяго родов (чертёж 2). Правильные М. первого рода изучаются в элементарной геометрии.

Полным телесным п-угольником называется совокупность и точек, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости, прямых, соединяющих эти точки попарно, и плоскостей, проходящих через каждия три из этих и точек. Полный n-гранник состоит из и плоскостей, из которых никакие четыре вообще не проходят через одну точку, и из прямых и точек пересечения этих плоскостей. Простым n-гр. называется совокупность и плоских п-уг., у которых все стороны каждого совпадают с сторо

нами некоторых из остальных п-уг. Совокупность этих многоугольников образует связную поверхность многогранника. Если мы обозначим через Е, К, Р число телесных углов, ребер и граней односвязного двухстороннего М-гр., то Е — К + Р=2 (закон Эйлера). В случае п-связнаго

М-гр. имеем Е — К + F=3 — п. Коши доказал, что всякий выпуклый эйлеров М-гр. вполне определяется его поверхностною сетью. М-гр. называется правильным, если все его грани суть конгруентпые правильные многоугольники и все его телесные углы также правильны и конгруентны. Возможны только пять правильных М-гр.: 1) тетраэдр, 2) октаэдр, 3) икосаэдр,

4) гексаэдр, 5) додекаэдр (чертёж 3). Литература предмета очень обширна; укажем: Max Briickner, „Vielecke und Vielflache, Theorie und Gescliichte“ (1900). А. Некрасов.