> Энциклопедический словарь Гранат, страница 324 > Непрерывная дробь

Непрерывная дробь

Непрерывная дробь. Н. д. называется выражение вида:

дроби пулевого, первого, второго и так далее порядков:

_А0 _ а0

°~в

_aobj —

при чем всегда Pk — Pk—1

Ak—l

Bk—l

= (—l)k—1

aj. a2 ak

Bk—i. Bk

Когда все ai >0, bi > 0, то при возрастании числа i все подходящия дроби четного порядка убывают, оставаясь больше Н. д., а подходящия др. нечетного порядка возрастают, оставаясь меньше Н. д. Если даны две неограниченные последовательности чисел а Ьи, то составленная из них Н. д. называется сходящеюся, если

Ит(Рц) -liml—) =Р, прип=оо ВП /п= ОО

чем число Р называется значением безконечной Н. д. Так как

k=п

Рп=Ро+ 2 (Pk — Pk-i) “ а о 4-k=1

k=и

+ 2

k=1

г_, k — i ai ak

’ Bk-i.Bk’

то H. д. будет сходящеюся вместе соорядом 2 (—1)к

1с= 1

ах ak

Bk-i.Bk,

Pn — а0

Ьи-

СИ9

I a“

bn-1+j—

и 11

Числа аи, Ьи подчинены только условию, чтобы выражение РЕ имело смысл.

Отдельные дроби — (Ь0=1) назы-Ьиваются звеньями. Если число звеньев безконечно, то Н. д. называется безконечною; когда в такой дроби звенья повторяются в определенном порядке, то Н. д. называется периодическою. Всякую Н. д. молено привести в нормальный вид, .когда все а-, =+1(и>1). Удерживая одно звено, два и так далее и производя вычисления, иеолучим подходящия

Лелсандр доказал, что если аи и Ьи — целия числа, и bt Si аи >0, то соответствующая безконечная Н. д. всегда представляет иррациональное число, меньшее единицы. Безконечная Н. д. может быть развернута в безконечный ряд и безконечное произведение, и обратно. Сходящаяся периодическая Н. д., период которой содернсит m / аи ат

звеньев 1, J, представляет корень квадратного уравнения Вт — IX2 -(- (Вт — Ат _ l)×—Am=0, И обратно. Если все аи=1 и Ьи суть целия пололштельные числа, то Н. д. называется правильною. Всякую рациональную дробь можно представить в виде конечной правильной Н. д., а всякое иррациональное число молено обратить в безконечную правильную Н. д., причем подходящия дроби будут представлять его приближенные значения. И. д. имеют большое теоретическое и практическое значение. Так, например, посредством них Ламберт доказал иррациональность чисел я, ех, log х при всяком рациональном х; Лаплас выразил через них интегралы уравнений теории приливов. См. Stern, „Lebrbuch der algebraischen Analysis“ (1860); Journal fiir Mathematik“, 1833,1834; Legendre, „Theorie des nom-bres“ (1830). А. Некрасов.Неприкосновенность личности,

см. свобода личная.