> Энциклопедический словарь Гранат, страница 325 > Несоизмеримость

Несоизмеримость

Несоизмеримость .—Даны два отрезка АВ и CD. Если есть отрезок (общая мера), укладывающийся целое число раз в данных отрезках, то АВ и CD соизмеримы между собою; если же такого отрезка не существует, то АВ и CD несоизмеримы. Если АВ и CD связаны между собою геометрически, то можно найти из рассуждений, соизмеримы ли отрезки или -несоизмеримы: в последнем случае процесс отыскивания общей меры безконечен. Уже Пифагор знал, что диагональ и сторона квадрата несоиз-мер. между собою. Распространяя понятие Н., вообще, на геометрические величины, можно, например, доказать Н. длины окружности и радиуса, прямого угла и угла, отвлеченная мера которого равна единице, и так далее В

V кн. своих „Началъ“ Евклид первый развил теорию отношения двух несоизмеримых геометрических величин. Так как такое отношение выражается иррациональным числом, то учение о Н. тесно связано с учением об иррац. числах. Отложим на полупрямой, начиная от ея начала О, отрезок ОА, равный единице (ОА=1). Тогда каждой точке М этой полупрямой соответствует отрезок ОМ и некоторое рациональное или иррац. число, представляющее длину ОМ. Совокупность всех точек М представляет continuum. Если мы выделим из continuum’a те точки М, для которых ОМ соизмер. с ОА, то получим счетное множество соизмер. отрезков ОМ, т. е. с каждым таким отрезком можно связать некоторое целое число, или, иначе, все соизм. отрезки ОМ можно перенумеровать; для этого предложено несколько способов. Оставшиеся точки М и, следовательно, несоизмер. отрезки ОМ не могут быть перенумерованы и представляют неизмеримо более мощное мнозкество, чем выделенное. Таким образом, соизм. двух геометрическ. величин представляет весьма частный случай, общим же случаем является Н. А. Некрасов.