> Энциклопедический словарь Гранат, страница 336 > Определитель

Определитель

Определитель (детерминант) п-го порядка есть схема из п11 количеств:

П =

an аи2 аиз аги а22 а23 ази азг азз

am. .. а2ц. .. азпапи аП2 апз аппвычисляемая по некоторому закону. Каждое количество апс называется элементом 0.; элемент аи“ принадлежит к и—ой строке и к k—ому столбцу. Вычисление 0.: составим произведение элементов а11а22а33аПп, лежащих на главной диагонали; сохраняя, например, первые указатели, переставим в рассматриваемом произведении всеми возможными способами вторые указатели и будем брать получаемия произведения со знаком-f или— в зависимости от того, будет ли перестановка указателей четная или нечетная. Перестановка называется четною (нечетною), если она содержит четное (нечетное) число нарушений возрастающого порядка указателей, или инверсиц; например, а13а24а32а41 содержит 2-|-2+1=5 инверсий. О Д„ имеет 1.2П членов, причем половина из них должна быть взята со знаком-)-, а половина с—.

Вычеркивая из О.вп и-ую строку и k-й столбец и взяв полученный 0. с мнозиштелем (—1)’+к, мы получим минор первого порядка lit О. Дп, соответствующий элементу ап£. Тем же приемом из миноров I можно образовать миноры второго порядка и так далее Молено доказать, что 0. разлагается по элементам любой строки или столбца; именно:

Дп — аии Iii+ajo Ij2 -f- ai-j M,з -j- —p- ain Iin,]

Дп =аикИик+а2кИ2к+азкИзиН- -faniJnk-Г

Сверх тогоацИри+аи2Ир2+аизИ|>з-|- ! аипирп—о(рфи),| и в аикИир+а2кИ2р+азк1зр+. -1-апкИпр=о(рФк)./

Из последнего вытекает, что 0., имеющий две одинаковых строки (столбца), тождественно равен нулю, и значение 0. не изменяется, - если к элементам какой-нибудь строки (столбца) мы прибавим элементы какой-нибудь другой строки (столбца), умноженные на одно и то же количество. Отсюда получается удобный способ вычисления О. Напр.:

5 — 2	3	4
2_2	1	5
3 — 3	3	4
4—4	4	1

3 — 2 3 4 0—215 0—3 3 4 0 — 14 1

— 2 1 5

— 334

— 441

и= — 3(3—10)=-)-8»

(Операции: прибавление к элементам первого столбца элементов второго столбца и разлоясение по элементам первого столбца).

Решение системы линейных уравн. приводится к вычислению 0. Так, умножая ур.

Ни хи -)- + ащХк Ц- + am хп=си, аги Хи —|— —|— агкХис агп хп=сг,

апи Хи —|— —f- апк Хи< -|- + аПп хп=Сц

СООТВЕТСТВЕиИНО на Иик, И2к,____, Ink искладывая, получим по (2) и (1)

(aik I lk + агк I 2k + +ank I nk)Xk==c, I lk H- C2 Iak +.. + Cn Ink,

или

Д пХк =

аи ацс_и d аик+и ащ 921 9,2 k—1 С2 9,2 k-f-1 92п

9ди. .. 9п к—1 Сд 9дк-(-и. .. 9дд

В случае однородных ур., когда все с равны нулю, неизвестные имеют решения, отличные от нуля, только в том случае, если Дд=О. тогда х пропорциональны минорам .любой одной и Функциональн называется О.

D(Xi,Х2,Xn )

же	строки.
0.,	или 0.	Якоби
	dfi ..	dfi
dx.	dx,	dxn
df2	dfo .	df2 .
dxt	dx2	dxn ;»
dfn	dfn .	dfn
dxx	dx2	dxn

где fi, f2,. .., fп суть функции ОТb XI, Х2,. .., Xn. Если D (fl ’ ’ta )

D (Xi,xn)

= О, то между функциями fi,.. ., fn существует некоторое соотношение P (fi, И2,. .., fn)=0, не зависящее от xi,. .., xn.—См. Незаро, „Элементарный учебник алгебраич. анализа“, кн. I; Нетто, „Начала теории определителей“. А. Некрасов.