> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Работы Р
Работы Р
Работы Р. по теории функций комплексного переменного более многочисленны. Р. является родоначальником одного из трех направлений этой дисциплины (Коши, Р., Вой-ерштрасс), хотя охотно пользуется и другими методами.
Пусть w — u- -iv есть функция комплексного переменного г=х-1--[- гг/ (г=|/ — 1); так как г может меняться при изменении только одного х или у или обоих вместе, то, чтобы существовала одна определенная прози-
dw ..
водная в данной точке z, надо,
дидх
, ди дх
- div дп,. ди dw ди,
ггобы 1х= ~ и —г - +
dw
diy
дусовпали бы, то есть, чтобы ~ =
оу дх ду’
— (1) (условия Коши-Р.)
ду ах
Отсюда следует, что и и и каждая удовлетворяет одному и тому же уравне-дпию (Лапласа): Д<е=g + =0 (2)
(См. функция, XLV, ч. 1, 43/44). Тому лее уравнению удовлетворяет потенциал скоростей и (Гельмгольц) плоского движения несжимаемой жидеди дикостип — компоненты скорости); та жо величина и есть температура в задаче установившегося рас-1
пространоиия тепла (Фурье), электростатический потенциал в задаче стационарного электрического тока (Кирхгоф). Эти сопоставления характерны для Р. Иапр., из того, что при заданной температуре на границах на поверхности установится единственное распределение тепла, следует, что существует аналитическая функция го при заданных значениях ее действительной части и на границе. Аналитическая фунгеция, UO Р., удовлетворяет уравнениям (1) и получается непрерывным продолжением из задания в пекоторой начальной области (смотрите XLV, ч. 2, 45 сл.). Чрезвычайно большое значение для ее исследования имеет понятие римановой поверхности,. Еще Коши изображает комплексное число z точкой иа плоскости с координатами х и у. Изменению переменного z соответствует движение точки по плоскости. Если функция однозначна, то каждой точке плоскости соответствует одпо число го. Пусть теперь го многозначна, например определяется уравнением го“=с. В каждой точке s мы имеем два значения ю — —г/Т, и одно переходит в другое, когда точка z обойдет вокруг пачала координат z=0. Р. заменяет плоскость двумя наложенными друг па друга листами; они имеют одну общую точку (точка разветвления) — начало координат. Если, кроме того, разрелсем оба листа от начала координат, например но положительной оси у, и соединим правый край верхнего листа с левым нижнего, то мы получим рнмапову поверхность для функции го. Каждой точке листа соответствует только одно значение функции, и при обходе около начала мы переходим с одного листа на другой, то есть приходим с новым значением функции. Число листов рнмано-вой поверхности, точки разветвления се и взаимная связанность ее листов характеризует функцию (смотрите XLY,
ч. 2,53). Напр., функция, однозначная на римановой поверхности с и листами и имеющая из особых точек только полюсы (точки, где функция обращается в бесконечность), есть алгебраическая функция, удовлетворяющая уравнению п-ой степени. — Исследование связанности римановой поверхности дало толчок развитию новой геометрической дисциплины — топологии (смотрите).
С работами по теории функций комплексного переменного тесно связаны исследования Р. по вопросам математической физики. Основной целью Р. ставил «исследовать взаимную» связь между теплотой, светом, магпетизмом и электричеством через изучение трудов Ньютона, Эйлера и, с другой сторопы, Гербарта». Кроме отдельных статей, в этом направлении были опубликованы (его учениками) курсы лекций: «Притяжение, электричество и магнетизм», «Уравнения с частными производными и их приложения в вопросах физики». В особенности последняя книга получила большое распространение среди лиц, работающих в приложениях математики. Она неоднократно переиздавалась (Раттендорф, 6 изданий Вебер, Мизес-Фраик), впрочем в совершенно переработанном виде.— «Gesammelte mathematische Werke» с прилож. биографии Р. были изданы в 187G г. Р. Вебером и Дедекнпдом.
С. Фиников.