> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Ряд есть выражение вида ■
Ряд есть выражение вида ■
Ряд есть выражение вида
«0 + «1 + «2 4----’
где член unопределяется местом, которое он занимает, т. - е. указателем п. Р. называется безконечным, если число его членов безконечно. Если последовательность сумм S0=u0, 8!=+Hi,, Sn=Uo:b -f-iij-f--f-Un сходящаяся, то есть если sn стремится к определенному конечному пределу, когда число и косоограниченно возрастает, то Р. У иа
П=1
называется сходящимся, и пределоо
sn=s — суммою Р., s=У ц„.
П— О
Р. несходящиеся называются расходящимися. Напр., сходящимися Р. будут: убывающая геометрическая про-о I и -1
грессия а -f aq -)- aq--(- ( u n=aq,
P. 1+-ИЧ
1.2 1.2.3
5=гЦ;
(u„=, s=e=2,718—Непфровочисло. Напротив, гармонический P. 1 + ¥l + -(Un=) расходящийся, причем можно доказать, что предел разности (sn — logn) равен 0,577 (Эйлерово число), так что сумма членов гармонического Р. возрастает так же, как logn. Основная задача в теории Р. состоит в следующем: узнать, будет ли данный Р. сходящимся. Для этого пользуютсяпризнаками сходимости, которых известно очень много. Напр., Р. будет сходящимся, если, начиная с некоторого и, всегда Уип < 1 (признак Ко
ши), или —п—1 <1 (признак Далам-Un
бера). Р. могут быть и кратные: например,.
СО 00
ДВОЙНОЙ Р. £ Е u nm=Uqo + (U10 + п=0 га—О
+ Пи) + («20 + «П + «о») + Весьма часто приходится иметь дело с Р., члены которых суть функции одного или нескольких переменных, например, uft(x) + u,(x)4- -f un(x)4- Исключительно важное значение таких Р. лоно из того, что большинство функций как в чистом анализе, так и в приложениях дается или получается именно в виде таких Р. Сходимость этихд V. вообще зависит отъ значений переменных. Р. может быть сходящимся и представлять некоторую определенную функцию f(x), если х лежит в промежутке (а, Ь), т. е. если а < х < Ь, и расходящимся, если х лежит вне этого промежутка. Отсюда вытекает вторая основная задача в теории Р.: функция дана некоторым Р. внутри промежутка (а,Ь), где Р. сходится; найти свойства этой функции вне промежутка (а,Ь). Какъ пример Р., члены которого зависятъ от переменных, приведем целый Р.: а0 + а1х-Ра2х2+. .. (uQ=anxn ), частным случаем которого является известный Р. Тэлора, дающий разложение функции в Р. при значенияхъ а + х, близких к а, f(a + х)=f(a) +
+ xf(a) + 2 f“(a)-f ущуд f“0) +
Важный класс Р. составляют тригонометрические Р.: А0 -f- Ах cosojX +
ОО
+ ВХ sinot,×+. . .= Е An cos апХ +
п=0
Bn sillan х. Если аП=П, ТО МЫ ПОЛУЧИМb Р. Фурье А0 + Ах cosx -f Вх sinx -j-А2 cos 2 х -)- Во sin 2 х Тригономет-ческие Р. могут представлять функции весьма общого вида, с особыми точ-
sinx
ками; например, если дан Р. у=—у +, sin3x, sin5x,
-., то у—О при sinx =
!
= О, у=+ -т при sin×> О,
И V
71
—у- при sinx <0. Безконечные Р.играют черезвычайно важную роль в математике; в некоторых дисциплинах, например, теории дифференциальных уравнений или небесной механике, почти исключительно приходится обращаться к таким Р. Литература гро-мадна;много нового внесла недавно возникшая теория функций действительного переменного. См. Гурса, „Курсъ Анализа“ (1911); некоторые из монографий Ворсля („Collection do mono-graphios sur la Theorie des fonctions,
publiee sous la direction d’E. Borel“) посвящены глубокому изложению теорииP.
А. Некрасов.