> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Сами упругия явления

Сами упругия явления

Сами упругия явления, происходящия в брусе, С. м., основываясь на результатах лабораторных исследований, подчиняет следующим законам, частью имеющим условно гипотетический характер:

1) Всякая сила вызывает изменение формы тела, причем, пока сила не перешла известного характернаго для каждого отдельного упругого материала предела (предела упругости), это изменение формы пропорционально величине действующей силы (закон Гука), и по прекращении действия силы тело полностью восстанавливает свою форму.

2) Работа внешних сил, не выводящих тела за пределы упругости, измеряемая как сумма произведений всех действующих сил на перемещение точек их приложения по ихъ направлению, полностью воспринимается упругим телом в виде упругой работы внутренних сил, развивающихся в теле одновременно с появлением в нем упругих деформаций. Эта упругая работа, или упругая энергия, обратима, то есть, она-то по прекращении действия внешних силъ и восстанавливает первоначальную форму тела.

Эти два главных положения—пропорциональность изменений формы действующим силам и обратимость всего процесса, придающая всякому упругому явлению характер частнаго случая превращения энергии, и явля ются основными положениями С. метров.

Но для бруса делается еще одно существенное упрощение: условнопринимается, что отдельные его по перечные плоские сечения, взятыя перпендикулярно к его оси, остаются плоскими и перпендикулярными к оси, какие бы внешния силы на брус въ пределах упругости ни действовали, и как бы оне его оси ни искажали.

Эти общие законы и допущения справедливы только для идеально упругих тел и для идеально малых поперечных размеров бруса, ибо в телах не идеально упругихъ Пропорциональности нет, а процессъ упругого воздействия частично необратим (чисто обратимых процессов в природе по второму закону термодинамики, строго говоря, и быть не может—энергия при каждом процессе должна частично обезцениться, разсеяться). Наконец, что касается закона плоских сечений, то фактически сечения искривляются, хотя и незначительно, а потому и этотъ закон может быть назван лишь рабочей гипотезой.

Перейдем к изучению отдельных явлений.

1) Растяжение — сжатие. (Чертёж 1). Сила Ne, действуя центрально, вьизы-

И £ей>				гииЬ
f---г		—» __ «у—
L----		~~ -do -
		—1 1—
		—-1—

5 2

« рт. 1.

вает встречные внутренния силы, равномерно распределенные по поперечному сечению бруса о>. Поэтому внутреннее напряжение и (средняя напряженность внутренних сил, нормальных к сечению) равно. Деформация измеряется удлинением (или сокращением) длины элемента ds, отнесенным к единичной длине, то есть, от-

. Ads лносительным удлинением и =-- Отношение-е- по закону Гука есть величина постоянная для данного материала и называется Е (модуль упругости, или модуль Юнга, по имени английского ученого, впервые определившего в конце XVIII века значение Е для ряда тел). Значение величины Е для разных материалов приведено ниже. Работа упругихъ сил при растяжении—сжатии равна

- Ns. и. ds, где множитель — укаи О

зывает на то, что сила Ns возрастала постепенно от О до своего конечного значения. Ясно, что выражение 1 „., 1 NA й. Ns

ГN-ь ds=Т иб° 1=~ЖГ

Выражение Ею называется жесткостью растяжения-сжатия, ибо деформа ция растет обратно пропорционально этой величине. При изучении растяжения-сжатия заслуживает еще внимания тот факт, что растягиваемый брусъ подвергается поперечному сжатию, а сжимаемый брус—поперечному расширению, что объясняется стремлениемъ тела сохранить свой объём. Полностью это стремление не удовлетворяется, ибо поперечное сжатие в три - четыре раза менее продольного удлинения, а для сохранения объёма оно должно быть ровно в 2 раза менее этого удлинения. Отношение поперечнаго сжатия к продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона и обозна-1 чается буквой к].

Для характеристики каждого материала, в отношении его работы на растяжение-сжатие, следует знать: 1) те напряжения ии|. при которых упругия свойства тела прекращаются, и оно начинает изменятьр

Свою форму уже необратимым образом и затем разрушаться; 2) те напряжения п2, при которых тело окончательно разрушается; 3) значения Е для растяжения и сжатия; 4) значение nj;

5) ту полную работу, которую необходимо затратить, чтобы довести до предела упругости тело из даннаго материала при объёме его, равномъ единице. Последняя величина называется „живым упругим сопротивлениемъ“ и легко определяется из

0,400 Е, то есть, есть функция от Е и ). Опыты достаточно хорошо подтверждают эти соотношения для однородных тел.

1 Q2

Работа сдвига равна ~—j=rj ds

и Geo называется жесткостью сдвига.

3)Изгиб. При изгибе бруса его поперечные сечения поворачиваются вокруг оси, совпадающей с вектором изгибающей пары М и провфпредыдущих формул, как

2 Е-

Величины пх, n2, Е даны в конце статьи в особой таблице при описании приемов экспериментального исследования упругихъ явлений.

2) Сдвиг. Силы Q вызывают внутренния силы, расположенныя не нормально к сечению, а въ плоскости самого сечения, и распределенные по сечению неравномерно (чертёж 2). Их среднее значение назовем через t (тангенциальное, т. - е., касательное к сечению напряжение).

; 0		<» t - _L______
f-’==----				- - л		ч
cL			и		- J 5 Q cU

G.,

Очевидно, что t:

Чертёж 2.

Q

Мерой деформации здесь будет отклонение конечной точки элемента ds вбок (то есть, перпендикулярно к длине элемента), отнесенное к самой длине ds, то есть,

относительный сдвиг Ф=—з—. По закону Гука и здесь имеется свой модуль G=откуда Ф=Некоторыятеоретические соображения устанавливают, что G (в зависимости от значения величины vj) равно от 0,375 Е доденной через центр тяжести сечения (чертёж 3). Ясно, что при этом отдельные продольныя волокна бруса частью растягиваются, а частью сжимаются и притом тем больше, чемъ дальше данное волокно отстоитъ от оси поворота, т.-ф., от центра тяжести сечения. В результате получается сочетание растяжения с сжатием, причем основные предельные упругия напряжения и модули остаются те же. Мерой деформации здесь является кривизна, характеризующая то искривление прямого первоначально бруса, которое получается в результате поворота отдельных сечений. Эта кривизна, выражаемая, как известно, величиной, обратной радиусу искривле-ж 1 М

ния Q, определяется формулой:-=-,

где М и Е имеют известные нам значения, а I есть особый геометрический фактор, характеризующий сопротивление площадки поворачиванию ея вокруг оси, совпадающей с направлением вектора изгибающей пары. I называется моментом инерции сечения, выражается формулой I==Jy2.d® и играет большую роль в

С. м. Величина Е I называется жесткостью изгиба.

Напряжение при изгибе развивается нормальное — и — и растет по линейному закону в обе стороны от оси бруса. На единичном расстоянии отъ оси оно равно М

(п.)=-у.т--е.,

также зависит от величины I, но уже не зависит от величины Е.

1 М2

изгибе равна—

нгя на единицу длины

(чертёж 4). Он М

определяется из формулы «=

Vll#

где L есть также момент инерции сечения, но уже относительно оси 0Z, и характеризует сопротивление сечения поворачиванию вокруг этой оси, перпендикулярной к площади сечения. Напряжения развиваются тангенциальные, растутъ от центра къ окружности, и (t,), то есть, тангенциальное напряжение на единичномъ разстоянии отъ центра, определяется так:

при

Работа ds. Упругияпостоянные остаются те же, как и для растяжения - сжатия.

4. Кручение. При кручении круглого бруса его продольные волокна закручиваются по винтовой линии, и мерой деформации является угол закручивам,

и»

— формула, аналогичная формуле изгиба. Работа выражается, аналогично предыдущему,

1 Мгг2 „ткак — -ру- ds. Величина GI есть

L vjJs-

жесткошь кручения. Если свести все. предыдущия данные в одну схему, то получим следующую таблицу:

Таблица работы элемента сиз.

		Силы.		Напряжения.		Деформации.		Закон Гука.		Упругая работа, f
Растяжение- Сжатие.		Ne		_ bК 0)		N 1=Еш		4-=Е г		1 ЛУ —хг -ч=г as 2 Fm
Сдвиг		Q.x Qy		Qx их--- В=		а _ Q Фх ~ W Ф-- у Gш		4=		1 yds 2 Go> ± 3L ds 2 Cеu>
Изгиб		мх Му		, Мх (n)x=-f- Их , Му Jy		1 _ Мхр.Г Ых 1 _ ¥у Рв Ely		и/р		1 Мхг 7 : 2 Fix 1 & ds 2 my ;
Кручение.		Ms				Ms “ GIs		=G а		1 Mz, т m;

Очевидно, что работа бруса полу-1 чается интегрированием элементарных работ по всей длине оси бруса.

В отдельных частных случаях (для бруса очень большой кривизны или, при кручении, для бруса не круглого сечения) выражение работы несколько усложняется, но основные черты его остаются те же — это веегда есть однородная функция второй степени от величин N“, Q“, Оу, М», М“, Мв.