> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Симметрия есть свойство некоторых фигур быть так составленными изъ равных частей

Симметрия есть свойство некоторых фигур быть так составленными изъ равных частей

Симметрия есть свойство некоторых фигур быть так составленными изъ равных частей, что мы можем придавать такой фигуре разные положения, но во всех этих положенияхъ фигура представляется совершенно одинаковою, как-будто мы этого положения и не изменяли; например, на какую бы из шести граней мы ни положили куб, ор остается неизменным, как-будто мы его не трогали; если цилиндръ или конус мы положим на бумагу и очертим круг основания, то как бы мы их ни повертывали по этому кругу, их форма при рассматривании абсолютно не меняется, как-будто они оставались неподвижными. Цветокъ шиповника мы можем пять раз повернуть около его стержня, цветы крестоцветных также мы можемъ четыре раза поворачивать около стержня, и их внешний вид не меняется.

С. всегда вызывает особое чувство удовольствия, почему очень часто въ домашней обстановке ей уделяютъ болырое внимание. Для забавы устраивают даже особия игрушки, вызывающия приятное впечатление своей С., например, калейдоскопы, главною частью которых являются зеркала. Ведь каждое зеркало удваивает каждый видимый предмет, и пара таких предметов составляет уже один симметричный. Таковыми являются многие предметы природы, в частности, почтивсе животные и в числе их сам человек, в котором можно отличать правую и левую половины, обе равныя по облику, как-будто одна половина отражена в зеркале, чтобы получить вторую половину.

Вообще, понятие о С. играет в человеческом опыте и мышлении громадную роль, начиная от наиболее точной и совершенной его основы—мышления математического. Напр., формулу а!=в2+с,) выражающую знаменитую Пифагорову теорему, если а означаетъ гипотенузу, а в и с катеты прямоугольного треугольника, мы называемъ симметричною по отношению к в и с потому что обе эти величины играютъ в формуле одинаковую роль, а въ частности могут быть равны (и тогда мы получаем симметричный треугольник). Иногда, вывод самыхъ сложных теорем и формул упрощается до крайности, если можно воспользоваться симметричностью выражений или образов.

Однако, несмотря на такую универсальность значения понятия о С., а мо-жет-быть, именно благодаря этой универсальности, точная разработка учения о G. дело самых недавних дней, и поводом для этого послужило изучение форм кристаллов, логически приведшее к необходимости этого изучения в самом общем виде, то-есть къ выработке математического учения о С.

Но и это достигнуто не в один прием. Полный вывод видов О., представленных в кристаллах, впервые сделан Бесселем в 1829 г. в книге „Krystall“, вошедшей в составъ Gelehrs „Physikalisches Worterbuch“, и с новой точки зрения повторен въ 1866 г. А. В. Гадолиным в небольшом сочинении „Вывод всех кристаллографических систем и ихъ подразделений из одного общого начала“. Полный же вывод всех вообще возможных видов С. впервые сделанъ Е. С. Федоровым в 1881 г. (когда в рукописи был представлен академику Чебышову) в сочинении „Начала учения о фигурахъ“, где, впрочем, учение о С. составляет одну из пяти глав. Сочинение вышло из печати в 1885 г. В самые последние годы (1907) А. Е. Болдыревым посвященабольшая работа „Основри геометрического учения о О.“ исчерпывающей обработке вопроса об элементах G. с приведением обширной литературы.

Мы видели, что из понятия о С. прежде всего вытекает, что симметрический предмет может быть представлен в нескольких положениях, не изменяя своей видимости. Поэтому первый вопрос, возникающий при изучении С., есть вопрос о том, какъ мы можем менять эти положения и сколько в каждом частном случае таких положений.

На вопрос „какъ“ отвечает понятие элемент С., а на вопрос „сколько“ — понятие величины С., то-есть некоторое число и притом непременно целое.

Ближайшее изучение показало, что в применении к ограниченным предметам 1) элементами С. могут быть 1) оси С., 2) плоскости С. и 3) элементы сложной С., на которые можно смотреть как на неразделимия сочетания осей и плоскостей С. С понятиемъ оси G. связан простой поворот около нея на некоторый угол; если этотъ угол соответствует половине полного оборота, то ось называется двойною; если он соответствует трети того же оборота, то ось называется тройною; если четверти, то ось называется четверною и так далее Напр., куб, лежащий на квадрате, мы можем поворачивать четыре раза около его вертикальной оси, а потому эта ось есть четверная ось G. Понятие о плоскости G. неразличимо от эффекта, который был бы вызванъ двухсторонним зеркалом безконечно малой толщины. Наконец, ради легчайшого усвоения понятия о сложной С. прилагаются две фигуры с показанными на них вертикальными осями и горизонтальными плоскостями сложной G. (фигура 1 и 2).

На первой фигуре ось сложной С. есть шестерная, что усматривается из

1) Предметами, входящими в область узучения теории С., могут быть и безграничные или такъ называется „системы фигуръ“. Таким объектом какъ раз служит система атомов кристалла, и въ зтой системе не только сохраняется возможность присутствия тех же элементов С., но возможность еще весьма значительно расширяется, например, понятие оси С. расширяется до понятия о винтовой оси, а понятие о плоскости С.—до понятия плоскости скольжения.

порядка вывода последовательного ряда узких граней, отмеченных цифрами 16. Напр., чтобы перейти от грани 1 к грани 2, нужно около оси повернуть на одну шестую часть полного оборота и, кроме того, отразить въ горизонтальной плоскости. То же нужно сделать и при переходе от грани 2 к грани 3. При этом суммируются два поворота около оси на 60°, а два отражения, напротив того, взаимно уничтожаются, так что для того, чтобы от грани 1 перейти к грани 3, вовсе и не нужно отражений, а достаточно около оси повернуть на угол 60°+600= 120°, а потому шестерная ось сложной G. есть в то же время простая тройная ось С.

На фигуре 2 показана фигура, обладающая четверною осью сложной G., которая одновременно есть простая двойная ось С.

Отсюда видим, что оси сложной О. имеют четное наименование, и простейшим возможным случаем будет двойная ось сложной С., которой соответствует поворот на 1809, нераздельно связанный с отражением въ горизонтальной плоскости. Но такъ как 180е=60°-|-60и—(—60°, то эффект, вызываемый таковою осью, мы можемъ видеть из фигуры 1, если перейдемъ от грани 1 к грани 4. Нетрудно понять, что эти две грани должны быть параллельны. Это можно выразить иначе в виде центра обратного равенства в точке пересечения оси и плоскости сложной С. Поэтому понятие двойной оси сложной С. неразличимо от понятия центра обратного равенства.

Мы видим, что изменения положения симметрической фигуры, приводящия ее в совмещение с первоначальнымположением, бывают двоякого рода: или 1) мы просто можем повернуть около некоторой оси (симметрии), то-есть произвести простое движение, или же 2) к этому движению необходимо присоединить отражение, и тогда является симметричность. Напр., если фигуру 1 мы просто повернем около оси на 60°, то от этого свойство фигуры, конечно, не изменяется; она остается сама собою, и в то же время, отражаясь в горизонтальной плоскости, снова совпадает со своимъ первоначальным положением, то-есть опять-таки сама с собою. Но если, отражая в плоскости, мы получимъ из одной пару несовместимых фигур, по существу отличных, какъ мы отличаем правую руку от левой, то такая фигура, взятая отдельно, может быть совмещена сама с собою только некоторым движением, то-есть вращением около осей С.

Поэтому сама С. распадается на два существенно различных разряда: 1) С. совмещения, когда в фигуре имеются только оси С. и 2) симметричность, когда фигуру можно совместить и с ея отражением в зеркале. Въ последнем случае ее уже нельзя различать от отражения, как мы отличаем правую от левой: обе части в ней как бы уже совмещены. Такую симметричную фигуру мы получили бы, например, если бы обе руки приложили ладонями друг къ другу и рассматривали эту пару какъ одно целое. Такими же являются и все фигуры, обладающия как плоскостями С., так и сложною С.

Разсматривая какую-нибудь фигуру, например, куб, мы можем в ней найти много разных элементов С., а полная их совокупность составит одинъ из безконечного множества вообще мыслимых видов G.

Между ними можно выделить легко понимаемые безконечные ряды. Напр., такой ряд мы можем получить, если в основу положим одну единственную ось С. В этом случае непосредственно получаем и число, определяющее величину С. Двойная ось определяет число два, тройная—три, четверная—четыре и так далее Напр., если возьмем произвольную плоскость,

то в случае двойной оси С. из этой плоскости вращением около оси получим фигуру, ограниченную двумя плоскостями, в случае тройной оси С.—тремя плоскостями, и так далее

Та фигура, которая выводится из одной единственной плоскости, придавая ей все положения, которые она может получить при данной совокупности элементов С., называется простою формою. Если же мы то же проделали не с одною, а с двумя или большим числом плоскостей, то получили бы комбинацию простых форм, так как каждая плоскость, взятая отдельно, привела бы к простой форме, а полная совокупность составилась бы из нескольких такихъ простых формъ1). Этим определяется значение понятия простой формы. Имея название для простой формы, мы этимъ самым охарактеризовали бы совокупность представленных элементовъ С., и притом число граней простой формы выразило бы величину С.

Если в общем случае из одной плоскости мы выводим простую форму с числом граней, равным величине С., то в частных случаях можно придать плоскости и такое положение, что получится простая форма с меньшим числом граней. Напр., если данная грань, перпендикулярна къ плоскости С., то при отражении она совмещается сама с собой, а вместо двух получается всего одна грань. Если плоскость перпендикулярна къ оси С., то, каково бы ни было наименование этой оси, всегда все выводящияся из нея грани сливаются въ одну единственную.