> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Современная теория С

Современная теория С

Современная теория С. м. все свои выводы основывает на изучении выражения работы. Распространяя принципъ Лагранжа (работа сил по возможнымъ для данной системы перемещениямъ равна нулю) на упругия системы, С. м. приходит к важному выводу, что производная от работы по какой-либо силе равна перемещению точки приложения этой силы, а производная отъ той же работы по какому-либо перемещению равна силг, приложенной по направлению этого перемещения (теорема Кастильяно).

Эта основная теорема связывает в самой общей форме силы и перемещения (причины и следствия явления) и, в частности, давая перемещения в линейной зависимости отъ сил, формулирует в самом общемъ виде закон Гука (линейная зависимость получается потому, что выражение работы есть функция второй степени, а, следовательно, его производная есть функция линейная).

Общая связь между причинами, вызывающими упругия явления в брусе, и следствиями, вызываемыми этими причинами, находит себе особо ясное выражение в так-называемой схеме шести строк.

Если назвать первой строкой математические выражения, определяющия закон изменения нагрузок по длине бруса, второй строкой—закон изменения по той же длине величин N“, Qx, Qy, а третьей—закон изменения величин М», М„ Мг, то легко доказать, что вторая строка получается интегрированием первой, а третья —интегрированием второй, и, обратно, высшия строки могут быть получены, как производные от низших.

Эта связь имеет большое значениев теории С. м. и, въчастности,указываети па зависимость между внутренними силами, ибо вышеприведенная таблица связывает их значение со значениями величин N», Q„ Qy, Ms, М„ Му. Можно установить, что внутренния силы вызываются частью непосредственно нагрузкой — первая строка (так называемия местные напряжения (и) и (t)), частью величинами N», Qx, Qy, — вторая строка (напряжения и и t по нашей таблице) и частью и более всего величинами М“, Му, М„,

—третья строка (напряжения изгиба и кручения—(п,) и (t,)). Остальные три строки характеризуют уже деформации и перемещения, а именно: четвертая строка—искривления малого элемента ds, пятая—углы отклонения касательной к оси в данной точке от ея первоначального направления (девиации), а шестая—конечные перемещения отдельных точек оси. Интегральная связь между этими тремя строками ясна, ибо если четвертая строка характеризует кривизну, то пятая (угловое перемещение) есть ея интеграл, а шестая—линейное перемещение—должна быть интегралом пятой.

Выше охарактеризованное общее выражение упругой работы связывает, наконец, третью строку с четвертой, ибо нам известно, что кривизны изгиба и углы закручивания (то есть, кривизны кручения) связаны с величинами М“, М, М® простой линейной зависимостью. В результате получается та связь всех шести строк, которая, например, для простейшого случая действия всех силъ параллельно друг другу и перпендикулярно прямой оси бруса выражается дифференциальным уравнением:

ЕИ,

где ЕИ.г есть жесткость изгиба относительно оси ОХ, перепфндикулярной плоскости действия сил; у и z—текущия координаты изогнутой оси, изъ которых у—опускание оси бруса параллельно действующим силамъ(»ро-гиб), а z — расстояние данной точки оси бруса от ея начала; р, — нагрузка, параллельная оси ОУ и приходящаяся на единицу длины бруса въ данном месте.

Это-то уравнение и другия, ему аналогичные для более сложных случаев действия сил, и связывают причину со следствием, нагрузку съ прогибом и вообще действующия силы с перемещениями отдельных точек.

С. м. более всего интересуется вопросами изгиба (и лишь в частности, в применении к машиностроению — вопросами кручения), и выше приведенные общия соображения широко применяет к рассчету балок, то есть, тех именно брусьев с прямой осью и с перпендикулярной к этой оси нагрузкой, рассчфтное дифференциальное уравнение которых дано выше.

Особое значение имеют следущиф случаи (чертёж 5):

1. Если балка свободно лежит на двух опорах, имеет длину между опорами (пролет) 1 и нагружена одним грузом Р посредине, то тахи-

РИ,

mum М=—(посредине пролета) 1 . РИ3

и maximum у - -gj- (такжепосредине пролета).

2. Если та же балка нагружена темъ же грузом, отстоящим от левой опоры на величину а, а от правой на величину Ь, то maximum М =

Рае

= —— (под грузом), а прогиб Ра2Ь2

ПОДb ГРУЗОМb у =

3. Если та же балка обоими своими концами заделана в стену, то при одном грузе посредине maximum

РИ

М=-g- (под грузом), а maximum

1 PI3, ч

У=~Jg2~ ’“IT (Т0Же П0Д ГРУ30М)-

4. Если та же балка не заделана концами и нагружена сплошной нагрузкой интенсивности р, то maximum

pi2

-цт— (посредине), а maximum

У =

р!4

pi2

— (на опорах) и maximum

1 ри4,

И84 “Ж“ Оюораднне).

(посредине).

384 ЕИ

5. Если при той же нагрузке та жери2

балка заделана, то maximum М=(посредине) и в тоже время minimum

Черт 5.

Таким образом, заделка концов уменьшает момент под грузом, от 2 до 3 раз, а прогиб посредине — от 4 до 5 раз. Широкое применение имеют неразрезные балки, то есть прямые брусья,

покоящиеся на многих опорах,—при этих условиях каждый пролет оказывается как бы частично заделанным, благодаря присутствию соседних пролетов.

В пределе, при безконечном числе пролетов, каждый становится (при сплошной загрузке всей балки) как бы совершенно заделанным. Вообще как моменты, так и прогибы в неразрезных балках значительно меньше таковых же в балкахъ того же пролета, свободно лежащихъ на опорах.

Из других категорий брусьев, подробно изучаемых в С. м., заслуживает упоминания арка—кривой брус, выгнутый осью вверх и воспринимающий внешнюю нагрузку. Если эта арка заделана своими концами въ опоры, то на этих концах развиваются особые моменты заделки, удерживающие арку в заделанном положении. Кроме того, на этих же опорах развивается и горизонтальная сила—распор, препятствующая раз-движению концов арки.

Если рассматривать арку, пролетом в 1 единиц и подъемом в f единиц (1—стрела подъема), нагруженную сплошной нагрузкой р весовых единиц на каждую единицу длины проекции арки (чертёж 6.), то мы получим для параболического очертания оси арки и при постоянном сечении:

1) При нагрузке, занимающей весьтт ри2

пролет: распор Н=и М повсему пролету равно нулю (то есть, отдельные элементы такой арки лишь сжимаются силой N — изгибающихъ моментов нет).

2) При нагрузке, занимающей всю левую половину пролета:

ри2

распор Н=уду; момент в левой

» Р12

опоре Мд =

хотя трудно провести резкую“ грань между этими двумя техническими науками и ныне существует стремление слить их в одну общую науку: „Теория инженерных сооружений11.

(лгда

САВШи.

Чертёж б.

наибольшиймомент около

mum М з ! =

ив

—ги, а именно тахи-16

1024 р12‘

Более подробное исследование отдельных сооружений входит уже в область Строительной механики (смотрите),

Все вышеизложенное представляет собой рассчет бруса на прочность и жесткость, причем прочность характеризуется достаточно малым значением внутренних сил, то есть, напряжений и и t, которые должны быть значительно менее пределов упругости (смотрите ниже таблицу), а жёсткость—достаточно малыми деформациями отдельных элементов и перемещениями отдельных точек оси бруса. Но на ряду с этим необходимо проверить брус на устойчивость приданной ему формы деформации. Если мы сжимаем длинный брус, то у нас не может быть уверенности, что он в сжатом состоянии останется прямым и не начнет выпучиваться; если мы изгибаем вертикальными силами высокий плоский брус, лежащий на двух опорахъ (например,поставленную на ребро линейку), то мы не можем быть уверены, чтс-брус останется в плоскости действия сил и не начнет крутиться и „ло-

______

житься“ в средней своей Части, даже если концам его обеспечено сохранение вертикальности ребра; если мы крутим тонкую круглую проволоку, мы не можем быть уверены, что ось ея останется прямой и не начнетъ сама закручиваться в спираль. Эксперименты и теоретические соображения согласно указывают, что все вышф-отмеченные явления неизбежно произойдут, если действующия силы и пары перейдут известный предел, часто значительно низший того, при котором внутренния силы при первичномъ явлении (то есть, в наших примерахъ при сжатии, при простом изгибе и при простом кручении) станут мало-мальски значительными. Так, деревянный брусок сечением в один квадратный сантиметр имеетъ предел упругости на сжатие приблизительно въ 150 килограммр./см.2, то есть,нагрузка 150кнлограммовъдля него еще не опасна. Однако, если он имеет длину в 100 сантиметров, то нагрузка в 8 килограммов, дающая внутреннее напряжение при первич- ном явлении всего въ 8 килограммр./см.5, уже вызываетъ катастрофическое выпучивание (чертёж 7).