> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Соединение в алгебрегруппы

Соединение в алгебрегруппы

Соединения в алгебре—группы, определенным образом составленные из данной совокупности предметов, называемых элементами. Эти элементы обыкновенно обозначаются буквами латинского алфавита. Существует три вида С.

1) Если в каждую группу входят все элементы данной совокупности и располагаются в ряд, по линии, то группы различаются между собою только порядком элементов и называются перемещениями (Permutation).

Число всех перемещений из т элементов обозначается черезъ Рт и выражается формулою:

Рт=1.2.3т.

2) Если в каждую группу входят не все элементы данной совокупности, а только определенное число их, и располагаются в ряд, по линии, то группы различаются между собою или порядком элементов или по своему составу из элементов и называются размещениями (Arrangement).

Число всех групп размещений из т элементов по и элементов в каждой группе обозначается через и выражаетея формулою;

А Z=т (т — 1) (т — 2) (т — и -f 1).

8) Если в каждую группу входятяе все элементы совокупности, а только определенное число их, но порядок элементов в группе не принимается во внимание, то группы различаются между собою только своим составом из элементов и называются сочетаниями (Combinaison).

Число сочетаний из т элементов по и элементов в каждой группе обозначается через:

С“, и выражается формулою:

р п_mint—1) (w — 2)(т—п +1)_

____1.2 3,т__

1.2.3 .я. 12.3 .(fft — п)

Число перемещений даже при небольшом числе элементов очень велико: например, 24 человека можно поставить з ряд следующим числомъспоссбовъ 620443401733239439360000.

Такие большия числа привлекали внимание древних греческих математиков: по словам Плутарха, вопросами этого рода занимался Ксенократ (397—314 г. до Р. X.). В Индии число размещений нашел Бяаскара (род. в 1114 г. по Р. X.). Въ западной Еаропе в средние века разработка вопросов теории С.,так называемой номбинаторики, быль выполнена заново. В XV в Лука Пачиоли (в 1494 г.) нашел число перемещений для Ю человеку но наибольшая заслуга в этой области принадлежит французскому математику Паскалю,.(1623—1662 г.). Он нашел свойство числа сочетаний, выражаемое формулою:

На основании этого сзойства составляется арнфметический треугольник, называемый также треугольником Паскаля. Вид этого треугольника представлен на первой из приведенных ниже таблиц; а вторая таблица указывает значение отдельных чисел первой таблицы.

1 1

1 2 1 13 3 1

1 4 6 4 1 1 51010 51

1 1

1 С 1

1 С% С% 1 1 С14 С С3, 1 1 C’s СД С ;5 С% 1

Для составления арифметического треугольника складываются два соседния числа каждой строки и сумма ставится в промежутке между двумя сложенными числами в следующей строке. Числа арифметического треугольника служат коэффициентами формулы бинома Ньютона (найденной Ньютоном в 1676 году) и называются поэтому обыкновенно биномиальными коэффициентами.

Главное применение комбинаторика имеет в теории вероятностей (смотрите), основание которой положено Паскалем. Развитие комбинаторики в значительной мере произошло под влияниемъ вопросов, выдвигавшихся теорией вероятностей. Л. Лахтин.