> Энциклопедический словарь Гранат, страница > ТП

ТП

ТП. Теоретико-мно жсственная Т. применяет к геометрии методы теории множеств {см. XLV, ч. 2, 27 28, и XLI, ч. 7, З65/69 и 451/56). Здесь изучаются наиболее общие геометрические образы — точечные множества. Надо отметить прежде всего понятие континуума. Конти пу-умом и Т. называется всякое ограниченное зам кнутов связное множество, отличное от одной точки (замкнутое множество называется связным, если оно не может быть разбито ня два замкнутых подмножества без общих точек). Целый ряд свойств точечных множеств, до-

Рисунок 3. Пояс Moebius’a Получается из полосы abb’a приведением в совпадение ba! с ab (а попадает в Ь, а Ь в а).

жащвх и евклидовых тгространотвах, окапался зависящим лишь от немногих особенностей этих пространств. Это обстоятельство привело к рассмотрению более общих (абстрактных) пространств (ср. XU, ч. 7, 409/10/). Здесь надо отметить весьма плодотворные концепции топологического пространства и пространства метрического. Под топологическим пространством понимается абстрактное множество элементов („точек“), для каждого из которых определены „окрестности“, удовлетворяющие т. наз. четырем аксиомам Hausdorffа. Если же оказывается возможным ввести для любой пары „то-чок„расстояние“, удовлетворяющее трем аксиомам Frichct, то пространство называется метрическим. Вопросы об установлении критериев метризуемости пространств,—т. паз. „проблемы метризации“,—были разрешены П. С. Урысоном и 77. С. Александровым, вообще создавшими ряд отделов в теоретико-множественной Т.

Одним из наиболее крупных завоеваний теоретико-множественной Т. является теория размерности, основанная Brouwerом и созданная /7. С. Урысоном и К. Мепдегом. Эта теория позволяет определить число измерений произвольного точечного множества и любого абстрактного пространства. Помимо принципиального значения, которое имеет выяснение таких основных понятий, как линия, поверхность и так далее, теория размерности дает ряд интересных предложений о свойствах геометрических образований того или иного числа измерений.

Указанные выше отделы Т. не разграничены резко друг от друга. Так, например, 77. С. Александровым в ряде работ была установлена связь между и - мерными точечными множествами и элементарными образами из комбинаторной Т. — Впервые о топологических свойствах фигур упоминает Leibnitz. Riexnann обнаружил значение Т. для теории аналитических функций. Затем следует указать на Ротсагё, работы которого являются фундаментальными для комбинаторной Т. Brouwer, весьма много сделавший в Т., создал Т. непрерывных отображений, Frechet ввел абстрактные пространства, Brower, И. С. Урысоп и К. Menger создали теорию размерности. Приложения Т. имеют место в некоторых вопросах теории аналитических Функций, алгебраической геометрии, теории Функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений и др. частей математики, а также в некоторых вопросах небесной механики (Poincare, Birkhoff). Т. сравнительно педавпо сложилась в самостоятельную дисциплину Работы Poincare относятся к концу XIX и к началу XX в., работы же Brouwer’a, Krechet, Schoenfliessa. Hausdorff’a, Jamszewski, И. С. Урыс.опа, П. С. Александрова, О. Ve-blen’a, Alexander’a Lefschetza, Birkhoff’a, K.Menger’a, Nielsena, Antoinea, H. Hopf’a и др. относятся к нашему столетию. Ряд проблем и применений Т. еще ждет своих исследователей.

Литер а т у р a: v. Kenfkjdrtd, В., „Vorlesun-een liber Topologie (Berlin, 1923, в серин „Die urundlagen der mathem. Wissenschaften in Einzeldarstellungen): Veblen, O.. „Analysis Situs

Cambridge, 1910, Part 11, Xow-York, 1920); Hausdorff, F., „Grundziige der Mengenlehre (Leipzig, 1914, 2-ое изд. Berlin, 1927); A Urysohrt, „Mdmoire sur les muitiplicites Cantoriennes®, 1-re partie, Fundamenta Matheinaticae, 1.1. V] Г, VIII (Warszawa. 1925—20): Frdchct, M., „Les Espaces Abs-irails“, Paris, 1928. Укажем еще на выходящие вскоре книги поТ.: 77. С. Александрова (в той же серии, что и книга v. KerdkjArtb), /7. Hopf а— гам же. „

Л. I у мар кин.