> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так доказывается переместительность суммы

Так доказывается переместительность суммы

Так доказывается переместительность суммы; так же доказывается ее сочетательность. Раз установлены основные законы (i) и (II), то и остальные свойства суммы, формально из них проистекающие, также остаются в силе.

Разность двух дробей устанавливается так же, как и для целых чисел: именно, доказывается, что при “/« > т1п существует дробь х!у, удовлетворяющая соотношению

Т т! хп ’ п’ у

(9)

Если этому требованию удовлетворяют две дроби

Р

Я

и

Ро Я о’

Так что

Т т’ , р т т плп и q и п’ 1 q0

(Ю),

То р/е=л/9о. Дробь х/у, этим соотношением определяемая, называется разностью двух данных дробей. Без труда доказывается, что разность дробей обладает свойствами, выраженными соотношениями (III).

Далее, произведение двух дробей определяется соглашением:

Т т’ т.т!

п и п.п

(11).

В словах это выражается следующим образом. Под произведением двух дробей мы разумеем дробь, числителем которой служит произведение числителей, а знаменателем — произведение знаменателей данных дробей. Попытки доказать соотношение (11) имеют смысл только в том случае, когда раньше как-либо иначе установлено определение произведения двух дробей.

Определив таким образом произведение двух дробей, нетрудно доказать, что остается в силе закон перманентности, то есть что в том случае, когда дроби сводятся к целым числам, произведение их равно произведению этих целых чисел. Последний шаг заключается в том, что доказывают, что основные свойства произведения, выражаемые соотношениями (IV) и (V), также остаются в силе. Вследствие этого все формальные преобразования одночленов и многочленов, установленные для целых чисел, остаются в силе и для дробей.

В этом заключается сущность эволюции понятия о числе. Понятие о числе расширяется: устанавливается более обширный комплекс чисел, содержащий в себе прежний как частный случай. В этом расширенном комплексе устанавливаются основные арифметические операции с соблюдением закона перманентности и основных законов формальных преобразований.

Этим расширением числовой области достигается важное преимущество. В области целых чисел деление на целое число вообще неосуществимо; это значит: если а и b суть два целых числа (члены натурального ряда), то не всегда существует целое число х, удовлетворяющее соотношению

α= b.х (12).

Напротив того, существование такого числа составляет только исключение, которое мы характеризуем термином: а кратно b. Между тем для дробей такое число всегда существует:

т I Р ! I m при а — - и Ь= 0)

Таимеем х=—.

пр

Разыскание числа х (деление) представляет собою действие, обратное умножению в том смысле, что по результату умножения и одному из данных для умножения чисел (сомножителей) разыскивается другое число (другой сомножитель).

Есть существенная разница между установлением т. н. прямых операций — сложения и умножения —и обратных. Первые определяются для целых чисел индуктивно, для дробей формально—соглашениями (2) и (11). В том и в другом случае определение содержит непосредственно алгорифм действия, то есть определенные правила, на основании которых по двум данным числам можно разыскать сумму и произведение данных чисел. Определения обратных действий—вычитания и деления — такого алгорифма не содержат. Ставится задача, решением которой определяется разность и частное двух чисел. Но задача не всегда имеет решение. В области целых чисел часто не решается ни задача о вычитании, ни задача о делении. Расширение числового материала до области рациональных чисел приводит к тому, что одна из этих операций, деление, оказывается всегда осуществимой.

22. Учение об арифметических числах. К числу прямых операций — сложению и умножению—присоединяется третья операция: возвышение в степень. Грассман определяет это действие для всякого рационального а соглашениями:

а — а, а“+1 =ат-а (1).

После того, что выше было изложено, вряд ли нужно объяснять, что равенства (1) выражают индуктивное определение степени (конечно, с целым показателем): первое из них устанавливает, что под символом а1 мьг будем разуметь самое число а; второе устанавливает, что под символом ат+1 мы разумеем произведение числа ат на а. Основные соотношенияаш×оР — ат+п и ат : а“ =а“‘~п(т > п) (2)

легко выводятся из определений (1). Но введение этой новой прямой операции непосредственно приводит и к обратной, к извлечению корня. Здесь задача заключается в том, чтобы по данному рациональному числу А и целому числу т найти такое число х, при которомхт — А (3).

В области рациональных чисел эта задача допускает решение только в исключительных случаях. Уже пифагорейцам было известно, что К2 не выражается рациональным числом. Доказательство этого предложения мы находим и у Евклида, которого к идее об иррациональных величинах приводят соображения чисто геометрического характера. В самом деле, процесс разыскания общей меры двух отрезков естественно приводит к идее несоизмеримых отрезков, отношение которых не выражается рациональным числом. Теорема П 1фагора дала для этих размышлений новый материал. Так называемый „египетский треугольник-1, катеты которого равны 3 и 4, а гипотенуза равна 5, послужил, повидимому, наводящим указанием для открытия основного соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Когда это соотношение было установлено, то равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны 1 длины, приводил к разысканию числа V2, которым должна в этом случае выражаться гипотенуза. Эта именно задача привела уже пифагорейцев к сознанию, что не всякий отрезок выражается рациональным числом. Для Евклида это обстоятельство является-одним из основных вопросов в деле обоснования геометрии. Решению этого вопроса посвящены две книги „Начал” — пятая, содержащая теорию пропорций, и десятая, непосредственно посвященная иррациональным величинам. Из тех затруднений, которые возникали на почве решения вопроса, о несоизмеримости значений геометрическойвеличины, выход был двоякий: либо нужно было расширить числовую область, чтобы получить числовой материал, с помощью которого было бы возможно всякий отрезок выражать числом (иначе говоря, с помощью которого можно было бы выразить числом отношение любых двух отрезков), либо отказаться от выражения отрезков и других геометрических величин числами. Евклид становится на вторую точку зрения. Он делает это бессознательно, потому что идея расширения числовой области, идея иррационального числа, ему совершенно чужда; и благодаря этому в греческой геометрии утверждается строгий принцип „geometriam geometrice“, о котором мы уже упоминали выше. В главе, посвященной „Началам11, говорилось, что теория пропорций, изложенная в V книге и по замыслу принадлежащая Евдоксу, представляет собою одно из величайших творений греческого гения. По существу, мы здесь имеем совершенно строгую теорию иррациональных чисел; но нужно отчетливое понимание существа вопроса, чтобы это усмотреть в геометрическом построении, в которое теория облечена. Десятая книга, также черезвычайно замечательное построение тонкой геометрической мысли, содержит учение об иррациональных отрезках, построяемых по данным отрезкам циркулем и линейкой; выражаясь арифметически, можно сказать, что эта книга содержит учение об иррациональных числах, выражающихся через квадратные корни.

Но метрическая геометрия, которая в приложениях имела наиболее важное, почти исключительное значение, неизбежно требовала арифметизации, введения числа для выражения результатов измерения, в том числе и иррациональных чисел для выражения значений величины, несоизмеримых с принятой единицей. Однако, как теория пропорций (V книга), так и учение об иррациональных величинах (X кн.) у Евклида очень сложны и доступны только людям с очень развитой и тонкой логикой. Вследствие этого учение об иррациональном числе проложило себе в средние века иной путь. Иррациональные числа появляются в литературе не только без достаточного обоснования, но и без удовлетворительного определения. Ощупью, интуитивно их вводят средневековые математики —арабские, итальянские, германские—то как „глухие числа“ („numeri surdi“, Леонард Пизанский), то как „потенциальные числа“ (.numeri in potential Региомонтан), то как корни из рациональных чисел (преимущественно Лука Пачиоли); Штифель, который вводит и первый раз термин „иррациональное число“, сопровождает это свое нововведение замечанием: „irrationalis numerus поп est numerus“. И вопреки всякой логике, в силунеобходимости, по пути интуиции эти „числа, не представляющие собою чисем, проникли во все сочинения по арифметике; с развитием же анализа у Декарта, Лейбница, Ньютона они получили совершенно прочное, утвердившееся место в науке.