> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так как в неевклидовом пространстве предельная поверхность может так же свободно передвигаться по самой себе

Так как в неевклидовом пространстве предельная поверхность может так же свободно передвигаться по самой себе

Так как в неевклидовом пространстве предельная поверхность может так же свободно передвигаться по самой себе, как плоскость или сфера, то Лобачевский занялся изучением геометрии предельной по-верхйости. За основной образ, соответствующий прямой на плоскости, Лобачевский здесь принял предельную линию. Она имеет с прямой аналогию, заключающуюся в том, что она определяется на предельной поверхности двумя точками и может быть неограниченно продолжена в обе стороны. Разматывая шаг за шагом геометрию на предельной поверхности, Лобачевский к своему изумлению убедился, что эта геометрия — евклидова. Через каждую точку предельной поверхности можно провести одну и только одну предельную линию, не встречающую другой предельной линии; сумма углов в треугольнике, составленном из предельных линий, равна 2rf и так далее

Итак, двумерная евклидова геометрия не уничтожается тем, что мы отвергаем пятыйпостулат на плоскости: она возрождается на предельной поверхности. Это имеет и то значение, что вместе с ней возрождается и тригонометрия Евклида. Владея же тригонометрией на предельной поверхности, Лобачевский переходит от нее к тригонометрии на неевклидовой плоскости подобно тому, как мы в обыкновенной геометрии переходим от плоской тригонометрии к сферической. Чтобы дать некоторое представление о тригонометрии на неевклидовой плоскости, необходимо ознакомиться еще с одной весьма существенной идеей.

Из точки О, лежащей в некоторой плоскости (рисунок 10), опустим перпендикуляр ON на прямую АВ, лежащую в той же плоскости. С точки зрения неевклидовой геометрии на плоскости через точку О проходят две прямые ОА и OB, параллельные прямой АВ; луч ОА параллелен лучу ВА, луч OB параллелен лучу АВ. Оба луча образуют с перпендикуляром равные острые углы AON и BON. Эти углы, которые параллели образуют с перпендикуляром, Лобачевский называет углами параллельности. Величина угла параллельности зависит только от длины перпендикуляра ON: как Лобачевский легко доказывает, он убывает, когда длина перпендикуляра увеличивается, и возрастает, когда длина перпендикуляра уменьшается. При неограниченном возрастании расстояния ON (то есть при неограниченном удалении точки О от прямой АВ по перпендикуляру NО) угол параллельности неограниченно уменьшается: параллель все приближается к перпендикуляру, образуя с ним угол, размер которого при достаточном удалении от перпендикуляра становится сколь угодно малым. Напротив, с приближением точки О к N размер этого угла неограниченно приближается к d. Угол

Рисунок 10.

этот, таким образом, представляет собой однозначную функцию расстояния UN. Обозначая это переменное расстояние через х, Лобачевский обозначает угол параллельности через II (х). Предыдущие соображения, таким образом, сводятся к следующему:

II (х) есть однозначная функция аргумента х, постоянно убывающая при возрастании х; когда х возрастает неограниченно (стремится к бесконечности). II (х) стремится к нулю, когда х стремится к нулю, II (х) стремится к d.

При посредстве этой именно функции Лобачевский выражает тригонометрические уравнения, связывающие стороны и углы треугольника. Место теоремы синусов занимает здесь соотношение

cotll(a) _ cot П (6)_cotll(c)

sin A sin В sin С 1 ’

а место теоремы косинусов — соотношение

sinll(fl) =

sinll(6) sin П (с)

— cos 11(6) cos II (с) cos Л

Эти соотношения легко преобразовываются таким образом, что по любым трем элементам треугольника (из числа сторон и углов) определяют все остальные. В частности для прямоугольного треугольника, в котором а и b суть катеты, а с—гипотенуза, они принимают вид:

cot II (а) — cot II (с) sin А

cot II (6)=cot II (с) sin В (3)

sin II (с)=sin II (a) sin II (6)

Последнее соотношение, таким образом“ заменяет пифагорову теорему евклидовой геометрии. Однако, действительно осуществить решение треугольника, то есть действительно вычислить элементы треугольника по данным значениям трех из них, с помощью этих уравнений было бы возможно только в том случае, если бы функция П (х) была нам известна, то есть если бы мы умели определить ее значение по значению аргумента х и обратно. Пока этого нет, пока функция II (х) остается неизвестной, эти уравнения носят только схематический характер. Перед Лобачевским стояла, таким образом, задача эту функцию разыскать, и он с ней справился. Тонким анализом“ сущность которого здесь вряд ли возможно изложить, он приходит к заключению“, что

! __

tg 11 М=е R (4).

Число R в правой части есть постоянная“ имеющая положительное значение. Допустим, что значение этой постоянной было бы нам известно. Тогда ясно, что предыдущее соотношение давало бы нам возможность по данному значению аргумента х разыскать соответствующее значение функции II (х), и обратно. Вместе с тем ожили бы приведенные выше тригонометрические уравнения и дали бы возможность реально, по данным значениям трех элементов треугольника, определять остальные. Какое же значение имеет эта постоянная /ее Ответ на этот вопрос представляет собой наиболее глубокий из выводов Лобачевского. Он заключается в том, что теоретически, принципиально или, лучше сказать, формально константа R может иметь совершенно произвольное значение. Фиксировав это значение, мы получим определенную геометрическую систему с определенными метрическими соотношениями“ средствами которой мы можем оперировать столь же свободно, как и в евклидовой геометрии. Каждому значению R соответствует своя геометрия Геометрия положения, так сказать, во всех этих системах, одна и та же; но количественные соотношения меняются от одной к другой в зависимости от значения постоянной R. Геометрическая система Евклида, таким образом, не единственная. Каждому значению R отвечает до некоторой степени другая, система. Если бы дать свободный полет фантазии и представить себе различные миры, в каждом из которых эта константаимеет другое значение, то геометрия каждого пространства определялась бы значением этой константы. В соответствии с этим этой постоянной присвоено название радиуса кривизны пространства, а число--

называется кривизной пространства. Это находится в согласии с тем, что кривизнасферы радиуса R выражается числомздесь только взят знак минус. Причины, к этому приводящие, будут указаны ниже; покамест эта терминология выясняет, почему пространство, в котором имеет место геометрия Лобачевского, принято называть пространством постоянной отрицательной кривизны. Из иных соображений — может быть, менее подходящих — систему Лобачевского принято также называть гиперболической геометрией.

Если мы себе представим, что в соотношении (4), при определенном значении х, R возрастает, то вместе с ним возрастет и угол II (л:), приближаясь к прямому. Иными словами, угол параллельности, соответствующий данному отрезку х, тем больше, тем ближе к прямому углу, чем больше R, то есть, чем меньше по абсолютной величине кривизна пространства. Когда R обращается в оо. кривизна пространства превращается в 0. В соотношении (4) правая часть обращается в 1 и, следовательно, II (х) обращается в постоянную, в прямой угол. Это означает следующее: если кривизна пространства обращается в 0, и из точки О проведен перпендикуляр ON к прямой АВ, то прямая, проходящая через О параллельно к АВ. всегда перпендикулярна к ON, как это имеет место в евклидовой геометрии.

Вместе с тем вся геометрия переходитевклидову. Формально, таким образом, существует бесчисленное множество геометрических систем, одной из которых является геометрия Евклида. Она представляет собой предельный и простейший частный случай. Волее того, если обе части в каждом из тригонометрических уравнений (3) развернуть в ряды по возрастающим сте-а b спеням отношений -д- > -д- > и сохранить только первые члены этих отношений, то мы получим соотношение евклидовой геометрии. Пренебречь высшими степенями этих отношений можно только в том случае, когда они очень малы, то есть, когда стороны треугольника АВС очень малы по сравнению с R. Это значит: в гиперболическом пространстве, какова бы ни была его кривизна, метрические соотношения тем -Д1КЗ подхотяг к евклидов д а, чем меньш еразмеры фигуры. Это приводит Лобачевского к мысли, что вера в евклидову геометрию, быть может, представляет собой иллюзию, вызванную тем, что мы обитаем в ничтожном уголке мирового пространства, в пределах которого линейные размеры совершенно незначительны по сравнению с радиусом кривизны пространства.

Располагая тригонометрией гиперболического пространства и соотношением (4), Лобачевский имеет возможность установить всю его метрику, имеет возможность производить измерение длин, площадей и объёмов, имеет возможность развить аналитическую геометрию. Новая геометрическая система получает весь тот обхват, всю ту ширь, которую имела классическая геометрия. Произвольный же параметр, характеризующий кривизну, придает системе неизмеримо большую мощность, и евклидова геометрия получает в ней скромное место, как уже сказано, предельного частного случая.

Система, построенная Больай, не так детально разработана, как у Лобачевского; ко многим вопросам он подходит другими методами, другими путями. Но по существу это вполне та же самая система.

7. Интерпретация неевклидовой геометрии. Творцы неевклидовой геометрии — Гаусс, сохранивший свои идеи в строгой тайне, Лобачевский и Больай — имели глубокое убеждение в том, что эта геометрическая система логически так же совершенна, как и система Евклида, и никаких противоречий в себе не содержит. Это убеждение овладевает всяким, кто изучит основные работы Лобачевского и Больай. Но изучить их не легко; даже Гаусс, которому эти идеи были так близки, говорил, что работы Лобачевского представляют собой непроходимые дебри. Людям же, далеким от этого своеобразного миросозерцания, все эти идеи вообще казались неприемлемыми, даже нелепыми, а тяжеловесные рассуждения Лобачевского усиливали это впечатление. Гаусс достаточно прозорливо предусмотрел, что этот глубокий переворот в области столь установившейся доктрины, как геометрия, вызовет отрицательное к себе отношение. Так оно и случилось. Немногие читали работы Лобачевского, а те, которые читали, либо издевались над его идеями, либо оставили их совсем без внимания. Они долго не получали ни признания, ни распространения. Для обоих творцов неевклидовой геометрии молчание Гаусса и пренебрежительное отношение остального математического мира к их творению, величие которого они явственно ощущали, было источником глубокой жизненной трагедии. Но Лобачевский тщательно искал для самого себя неопровержимого доказа

Тельства логической правильности новой геометрии. Как ни твердо было его субъективное убеждение в том, что неевклидова геометрия никаких противоречий в себе не содержит, для ученого, не предубежденного ни в ту, ни в другую сторону, все же оставался открытым вопрос, не приведет ли в дальнейшем развитии, конца которому нет, новая геометрия к противоречию. Лобачевский искал строгого доказательства того, что это невозможно, что его геометрия логически не менее безупречна, чем евклидова. Он подходит к этой задаче с различных сторон. Главным доводом в его глазах является применение неевклидовой геометрии к вычислению определенных интегралов. Идея заключается в том, что вычисляемый интеграл трактуется как некоторая площадь, или объём, или масса в гиперболическом пространстве. Эта точка зрения дает возможность вычислить значение интеграла средствами неевклидовой геометрии; а затем интеграл вычисляется независимо от неевклидовой геометрии, и результат неизменно получается тот же самый. Подходит он к тому же вопросу и с других точек зрения, и по существу его рассуждения почти имеют доказательную силу; но они не доделаны, не досказаны, пожалуй, не додуманы. Лобачевский унес с собой в могилу только субъективное убеждение в логической правильности созданной им системы; строго установить ее незыблемую логическую достоверность было дано наследникам его научного достояния.

Все пути к этому, в настоящее время разнообразные, основываются на интерпретации неевклидовой геометрии. Это есть новая идея, которая в своем развитии привела к глубокому перевороту во взглядах на существо и значение геометрии. Это— тот источник, из которого был пролит яркий свет на Т. о. метров.