> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так как из четырех основных арифметических действии только одно деление ве всегда выполнимо в области целых чисел

Так как из четырех основных арифметических действии только одно деление ве всегда выполнимо в области целых чисел

Так как из четырех основных арифметических действии только одно деление в всегда выполнимо в области целых чисел, то, естественно, первые и основные проблемы Т. ч. связываются с вопросами делимости чисел и разложения на множители („мулыпшиика-тнвпая“ Т. ч.). Осионную роль здесь играет понятие абсолютно простою или, коротко, простою числа; так называется положительное число, отличное от единицы и не имеющее иных делителей, кроме единицы и самого себя (вапр., 2, 3, 5, 7, 11 и так далее); фундаментальное значение этих чисел для мультипликативной теории обусловливается тем, что из них, как элементов, посредством умножения строятся все другие числа; в самом деле, имеет место основное предложение, в силу которого всякое положительное число, кроме единицы, может быть представлено как произведение простых сомножителей; при этом, что особенно важно, такоо представление возможно единственным образом (если отвлечься от порядка сомпожителей). Пауку уже давно заппмал вопрос о том, как расположены простые числа в ряду всех целых положительных чисел; здесь никак но удавалось уловить сколько-нибудь простых законов. И хотя в настоящее время многое в этом направлепни уже известно, тем не менее далеко не всо относящиеся сюда вопросы получили разрешепие. Еще Эвклид установил существование бесконечного множества простых чисел. По сверх этого почти ничего пебыло нзвестпо вплоть до середины XIX столетия, когда работами Чебышева и Шешапп’а проблема была, наконец, сдвинута с мертвой точки.

Вопрос шел, в первую очередь, о „густоте“ расположения простых чисел; обозначая через к(п) число простых чисел, не превосходящих и, естественно было спрашивать о характере роста этой величины я(п) при безграничном возрастании числа п. Euler’y было, г.(п)

известно, что дрооь —~ стремится к нулю при безграничном возрастании числа и; это можно истолковать так, что простых чисел имеется бесконечно мало в сравнении со множеством всех целых положительных чисел.

Но, попятпо, этот результат еще очень мало говорит. Наука настойчиво стремилась к тому, чтобы найти простое аналитическое выражение, которое могло бы приближенно выражать собою эту сложную арифметическую функцию к(п). Элементарные подсчетыппоказывали, что выражение j- - на первыхпорах дает хорошее приближение; по прошло много времени, прежде чем в этом направлении удалось установить что-либо непреложное. Чебышев показал, что отношение

Ф)

”11»

остается, при безграничном возрастании и, заключенным между двумя положительными числами. Целью дальнейших стремлений было установить, что это отношение с возрастанием it безгранично приближается к единице. Это удалось доказать лишь в 1896 г. сложпымн методами анализа, предначертанными Iliemann’oM в его известной работе, опубликованной в середине прошлого столетия. В дальнейшем требовалось возможно точнее оцепить порядок роста разности

Т.-е. той погрешности, какую мы делаем, заменяя функцию к(н) ее приближенным выражением. Эта задача и по настоящее время далека от полного разрешения.

Другой пптереспыи круг проблем, связанных с простыми числами, был порожден известной задачей об арифметической прогрессии. Уже в XVIII столетии был выска-зап (основанный на неточных рассуждениях) взгляд, что всякая арифметическая прогрессия, разность которой не имеет общих делителей с первым члепом, должна содержать бесконечное множество простых чисел.

Однако, доказать этого долгое время неудавалось, и только в середине XIX в Lc-jeune Dirichlet впервые точно обосновал эту теорему, базируясь на методах анализа. После этого возник ряд аналогичных проблем о существовании бесконечного множества простых чисел той или иной наперед заданной формы. По большей части задачи этого рода сопряжены с весьма значительными трудностями и остаются до настоящего времени неразрешенными.

Для современной Т. ч. вообще является черезвычайно характерным пользование принципиально инородными ей методами анализа, то есть учения о непрерывно изменяющихся величинах. Собственно арифметических методов эта паука, в сущности, почти не знает, несмотря па свою глубокую древность. Как всякая математическая дисциплина, Т. ч. выросла из отдельных частных задач, средп которых с древности первое место занимал так называемым неопределенный анализ, то есть решение уравнений в целых числах. Математики древнего мира и эпохи Возрождения, а также и начала нового времени, много занимались такого рода задачами, не пытаясь объединить их в целое единым методом.

Сколько-нибудь общие исследования в этом направлении начались со времепи Euler’a и Legendre’a; но лишь Gauss’y удалось дать сводку имевшихся результатов (с присоединением многих новых) в виде единой системы в его знаменитых „Disqnisitiones Arithme-ticae“. Им же был создан единственный элементарный арифметический метод — так называемым теория сравнений, являющаяся в значительной степени просто техническим приемом.

Принцип этой теории состоит в том, что два числа я и б, дающие при делении па некоторое число т один и тот же остаток, обладают по отношению к этому числу рядом общих свойств (наир., имеют с этим числом т одинаковых общих делителей), и потому во многих вопросах могут заменять друг друга. Эту взаимную связь чисел а и Ь Gauss называет сравнимостью по модулю т; число т называется модулем сравнения, а записывается этот <факг так:

α= Ь (mod. га).

Соотношение сравнимости обладает многими свойствами простого равенства, и имеп-по в этом — главная сила и продуктивность пового понятия, введенного Gauss’OM. Эта апалогия простирается особенно далеко в том случае, когда модуль т есть число простое, вследствие чего теория таких сравнений особенно хорошо разработана. Сравнения могут содержать неизвестные, и тогда встает вопрос об их решении, аналогично алгебраическим уравнениям. В частности, проблемы, связанные с решением сравнении второй степени с одним неизвестным, приводятк обнаружению весьма интересных закономерностей, сведенных Ganss’oM в цельную теорию.

Учение о сравнениях явилось мощным вспомогательным орудием Т. ч. Оно позволило во многих случаях значительно упростить рассуждения и благодаря этому сделать прозрачными скрытые до тех пор закономерности. В руках самого Ganss’a это учение дало прежде всего систематизацию неопределенного анализа второй степени. До этого систематически разработаны были только законы решения в целых числах уравнений первой степепи. Предшественники Gauss’a, хотя и много занимались уравнениями второй степепи, все же всегда вынуждены были ограничиваться более или менее частными случаями. Только на основе теории сравнений Gauss’y удалось рассмотреть вопрос в его общем виде и дать вполпе законченвьте результаты для случая двух неизвестных. Задача приводится к решению в целых числах уравнений видааж3 -j- bху -(- су2=т, (1)

где х я у — неизвестные. Левая часть этого уравнения, при переменных хну, представляет собою бинарную квадратичную форму, поставленная задача сводится, таким образом, к вопросу о представлении данного числа т с помощью данной квадратичной формы.

Это естественно приводит к необходимости построения арифметической теории квадратичных форм — теории, которая является одним из лучших созданий арифметики и до настоящего времени привлекает к себе внимание исследователей. Значительный интерес представляют собою и различные обобщения этой теории, получающиеся либо путем увеличения числа переменных, либо повышением степепи формы. Здесь область исследований становится уже значительно труднее. Чрезвычайно важный общий результат был получен в XX столетии норвежским математиком Thne: оказалось, что, в то время как уравнение (1), вообще говоря, может иметь бесчисленное множество решений, уравнение того же типа, где только и левой части стоит (бинарная) форма степени выше второй, всегда (sa исключением нескольких тривиальных случаев) имеет не более конечного числа решений.

Одну из самых трудных областей Т. ч. составляют так называемые аддитивные проблемы, то есть вопросы, связанные с представлением числа в виде суммы слагаемых того или иного заранее заданного вида. Сюда относится большая часть знаменитых задач Т. ч., отчасти но решенных и до настоящего времени. Перечислим важнейшие из этих задач.

Ужо Tigrange’eM было доказано, что всякое положительное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов (трех квадратов еще недостаточно, как показывает пример числа 7=23 I2 —|— I2 -4-

-)-12). Позднее удалось установить, что каждое число может быть представлено в виде суммы девяти кубов. Естественно, возник вопрос: можно ли для любого показателя fc найти такое число s, что всякое число может быть представлено в виде суммы s к-ых степенейе (s=4 при к— 2, s—9 при к—3). Это — знаменитая задача Waring’a. Она была впервые решена в положительном смысле Hilbort’oM в 1907 году Второе, гораздо более прозрачное доказательство было дано в 1918 году Hardy и Littlexvood’oa; наконец, наиболее простое доказательство той же теоремы было опубликовано в 1925 году Виноградовым.

Особенно замечателен метод, созданный английскими математиками Hardy и Little-Tvood’oM. Этот метод, осповапный на теории функций комплексного переменного, распространяется с большим успехом и на ряд других проблем аддитивной Т. ч. и, несомпеино, представляет собою одно из лучших достижений арифметики за последние десятилетия. В частности, с помощью этого метода впервые удалось найти подход к известной проблеме Goldbach’a: доказать, что всякое четное число, кроме 2, может быть представлено как сумма двух абсолютпо простых чисел. Эта задача, поставленная почти 200 лет тому пазад, не только остается до этих пор неразрешенной, но до создания нового метода мы не знали к ней ни одного серьезного подхода; правда, и сейчас еще проблема не решена; однако, метод Hardy и Little-xvood’a позволяет весьма глубоко проникнуть в сущность тех трудностей, какие лежат на пути ее разрешения, и тем самым впервые подает пам надежду с течепием времени разобраться и этих трудностях.

Наконец, в ряду классических проблем аддитивной Т. ч. необходимо упомянуть о так паз. Великой теореме Fermat. Состоит опа в том, что ураппениохп + у“=гппри любом данном и > 2 но может быть решено в целых положительных числах. Fermat утверждал почти 300 лет тому пазад, что ему удалось доказать это предложение; однако, этого доказательства не сохранилось, и, несмотря па усилие ряда крупнейших ученых, вопрос остается до настоящего времени открытым. В многочисленных работах, посвященных этому вопросу, удалось доказать справедливость утверждения Fermat для целого ряда отдельных значений п; но в общем впдо трудность проблемы столь велика, что не поддается разрешению никакими известпымп нам приемами.

Говоря о распределении простых чисел,

мм уже встречались с арифметической функцией в(п). Исследование законов роста арифметических фупкций (то есть функций, определяемых арифметическим путем) составляет одну из важнейших задач Т. ч. Обычно вопрос ставится так, что ищется возможно простая аналитическая функция, закон роста которой возможно точнее воспроизводил бы поведение данной арифметической функции при больших значениях п. Если ф(п) — данная арифметическая функция, а у(п)— та аналитическая функция, которая должна приближенно выражать ее, то наиболее обычным является требование, чтобы отношение

/.(’О

стремилось к единице при безграничном возрастании числа п; если это требование выполнено, функции ф(тг) и у[п) называют взаимно эквивалентными или асимптотическими, п

Так, функции г.(п) и у— взаимно эквивалентны. Но большинство арифметических Функций имеет столь сложное поведение, что его не удается имитировать с помощью простых аналитических выражений. Так, функция :(«), выражающая число различных делителей числа 9i, имеет, очевидно, весьма сложный характер; для всякого абсолютно простого и т(п)=2, в то время как для надлежаще подобранных значений « л(п) может, очевидно, получать сколь угодно большие значения. Здесь пе мои;ет иттп речь об отыскании асимптотической функции. Однако, среднее значение

Т(1) + т(2) + + е(»)

Также представляющее собою некоторую арифметическую функцию, имеет уже гораздо более правильный характер роста, благодаря взаимному сглаживанию больших и малых значений функции т(«); опо имеет простую асимптотическую функцию lg-n. Аналогичные явления мы имеем и во многих других случаях, вследствие чего приходится иметь дело, главным образом, с изучением средппх значений арифметических функций. Помимо отыскания асимптотической функции, здесь уделяется много внимания и второй проблеме— опенке погрешности, получаемой при :щмепе данной арифметической функции ее приближенным выражением. Именно этого рода вопросам посвящена большая часть современной литературы об арифметических функциях.

Помимо обыкновенных целых чисел, о которых была речь до этих пор, Т. ч. имеет дело в первую очередь с так называемым алгебраическими целыми числами. Алгебраическимчислом называется всякий корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Алгебраическое число называется целым, если определяющее его уравнение может быть выбрано так, чтобы коэффициент при его старшем члене был единицею. В отличие от алгебраических целых чисел обычные целые числа называют целыми рациональными.

Если дано какое-либо алгебраическое число, то всякая рациональная функция этого числа с рациональными коэффициентами также есть алгебраическое число. Совокупность всех таких рациональных функций данного числа называется алгебраическою областью, определяемой этим числом. Каждая алгебраическая область содержит бесчислепное множество целых чисел и, между прочим, — все целые рациональные числа. Целые алгебраические числа, входящие в состав какой-либо области, по своим взаимоотношениям во многом напоминают обычные (рациональные) целые числа. Сумма, разность и произведение двух целых чисел данной области в свою очередь являются целыми числами той же области. При делении же (если только делитель не нуль) мы всегда получаем число той же области, но но обязательно целое. Это дает повод рассматривать и здесь вопросы делимости. Подобно рациональной области, во всякой алгебраической области определяются абсолютно простые числа, и легко доказывается, что всякое целое число области может быть представлено, как произведение абсолютно простых чисел. Одпа-ко — и этим обусловливается главный интерес дела — такое разложение на простые множители в алгебраических областях, вообще говоря, не оказывается единственным. Этот факт, открытый Кпштег’ом и его исследованиях о Великой теореме Fermat, делает теорию делимости в алгебраических областях сложной и многообразной и обусловливает собою ее особую прелесть. Оказывается, что однозначность разложения может быть восстановлена ценою введения фиктив-пых, так иаз. идеальных чисел, что делает всю теорию стройной и легко обозримой. Последователи Кпттег’а позднее заменили его „идеальные“ числа вполне реальными образованиями (так ваз. „идеалами“), представляющими собою определенные множества целых чисел данной области.

В настоящее время теория алгебраических областей представляет собою широко разработанную, весьма содержательную ветвь арифметики, проблемы которой до этих пор служат предметом многочисленных исследований. Благодаря тому, что и здесь имеется теория делимости, все проблемы мультипликативной теории обычных чисел могут быть с соответствующими изменениями перенесены на алгебраические области. Арифметичеекая теория алгебраических областей не только представляет значительный самостоятельный интерес, но вместе с тем способствует и развитью арифметики обычных чисел. Так, важнейшие результаты, полученные в области проблемы Fermat, осповываются на теории алгебраических чисел; на этой же теории основано и доказательство упомянутой выше теоремы Time о неопределенных уравнениях.

Всякое не алгебраическое число называется трансцендентным. Арифметические исследования, связанные с трансцендентными числами, принадлежат к числу труднейших в Т. ч. Сюда, прежде всего, относятся исследования арифметической природы классических постоянных. Уже давно было известно, что числа е и к — иррациональны; однако, представило черезвычайные трудности доказать, что оба эти числа трансцепдептпы — результат, имеющий фундаментальное значение для анализа и геометрии. Для многих других важных постоянных математического анализа (например, для Еи1ег’овой константы (е) до настоящего времени пе решен даже вопрос об их рациопальности или иррациональности.

Уже Liouville’eM было замечено, что алгебраические числа, при их приближенном выражении посредством рациональпых дробей, подчиняются пекоторым особым законам. Это дало возможность построить первые примеры трансцендентных чисел („числа Liou-villeV1); это же в свое время послужило поводом к широкому и систематическому изучению законов приближенного выражения иррациональных чисел посредством рациональных дробей — законов, в которых с особою яркостью сказывается арифметическая природа каждой иррациональности. Это учение при дальнейшем своем расширении переходит в теорию приближенного решения уравнений в целых числах (так называемым „дио-фантовы приближения“) — одну из интереснейших глав сонремеппой арифметики, систематическая разработка которой была начата Минковским. Теория диофантовых приближений в настоящее время оказывает существенную помощь Т. ч. в ее дальнейшем развитии. Характерной методологической чертою этой ветви арифметики являются применяемые в ней по почину Минковского геометрические методы, действительно приносящие здесь очень хорошие результаты („Геометрия чисел“).

Литература. Элементы: Д. Ф. Егоров, „Элементы Т. ч.“; более полный курс: Lejeane-Dirichlet, „Vorlesungen iiber Zatilentheorie“, ! Aufl.; фундаментальный курс: Landau. rVor-lesungen iiber Zahlentheorie“, 1927 (это же трехтомное руководство можно рекомендовать и по вопросам аддитивной теории и но теории алгебраических чисел). Специально по распределению простых чисел: Landau, „Handbuch der

Lebre von der Verteilung der Primzahlen“, 1909 (2 тома). Специально по арифметическому анализу иррациональностей: Backmann, „Vorlesnn-gen iiber die Natur der Irrationalzahlen1“; Minkowski, „Diophantische Approximationen“.

A. Хинчин.